小學思維數(shù)學講義：幾何計數(shù)(二)-含答案解析

1、幾何計數(shù)（二）2 + 2 + 3 +  + n = (n2 + n + 2) 個部分；n 個圓最多分平面的部分數(shù)為 n(n-1)+2；n 個三角形將平面最多分成教學目標1.掌握計數(shù)常用方法；2.熟記一些計數(shù)公式及其推導方法；3.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數(shù)和用容斥原理的計數(shù)思想知識要點一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計

2、數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n 條直線最多將平面分成123n(n-1)+2 部分；n 個四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2 部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關；組合問題與各事物所在的先后順序無關，只與這兩個組合中

3、的元素有關二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有 n+1 個點(包括兩個端點)（或含有 n 個“基本線段”），那么這 n+1 個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為 n+(n-1)+2+1 條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊，數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應法） 因為 DE 上有 15 條線段，每條線段的兩端點與點 A 相連，可構(gòu)成一個三角形，共有 15 個三角形，同樣一邊在 

4、;BC 上的三角形也有 15 個，所以圖中共有 30 個三角形ADEBC數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形） 若其橫邊上共有 n 條線段，縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn 個例題精講模塊二、復雜的幾何計數(shù)【例 1】如下圖在釘子板上有 16 個點，每相鄰的兩個點之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可以得1到個正方形【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，2

5、60;年級，第 4 題【解析】先看橫著的正方形如下圖，可以得到 9 + 4 + 1 = 14 個正方形，再看斜著的正方形如下圖可以得到4 個正方形，如下圖可以得到 2 個正方形這樣一共可以得到14 + 4 + 2 = 20 個正方形<考點>圖形計數(shù)【答案】 20 個【鞏固】如圖， 4 ´ 4 的方格紙上放了 

6、;16 枚棋子，以棋子為頂點的正方形有個【解析】根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形(如右圖)1´1 的正方形：9 個； 2 ´ 2 的正方形：4 個； 3 ´ 3 的正方形：1 個；以 1´1 正方形對角線為邊長的正方形：4 個；以1´ 2 長方形對角線為邊長的正方形：2 個故可以組成 9 + 4

7、0;+ 1 + 4 + 2 = 20 (個)正方形【鞏固】下圖是 3×3 點陣，同一行(列)相鄰兩個點的距離均為 1。以點陣中的三個點為頂點構(gòu)成三角形，其中面積為 1 的形狀不同的三角形有種?！究键c】復雜的幾何計數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 11 題【解析】在本題中，三角形的面積是 1，底和高只能一個是 1，一個是 2，可以有以下三種情況：【答案】【例 

8、2】一塊木板上有 13 枚釘子（如左下圖）。用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形，正方形，梯形，等等（如右下圖）。請回答：可以構(gòu)成多少個正方形？【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】4 星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 2 題2【解析】如下圖所示，可以將正方形分為四類，分別有 5 個、1 個、4 個、1 個，共 11 個?！敬鸢浮?1個【例 3】在 3×3 的方格紙上（如圖 1），用鉛筆涂其中的 5

9、60;個方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后相同，則認為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂法。例如圖 2 和圖 3 是相同類型的涂法?；卮鹱疃嘤卸嗌俜N不同類型的涂法？說明理由。【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，決賽，第 10 題，10 分【解析】不同類型的涂法有 3 種，如下圖 AAAA說明：所涂 5 個陰影方格分布在 3 行中，只有一行涂有 3 個陰影

10、方格同樣，僅有一列涂有 3 個陰影方格所以，僅有一個方格，它所在的行和列均有 3 個陰影方格，有這種性質(zhì)的方格稱為“特征陰影方格”“特征陰影方格”在 3×3 正方格紙中的位置，就唯一地決定了 3×3 的方格紙的涂法“特征陰影方格”在方格紙的角上（圖 A 左邊）、外邊中間的方格（圖A 中間）和中心的方格（圖A 右邊）三個位置確定了只有 3 種類型的涂法【答案】 3 種【例 4】在下面的圖中，包含蘋果的正方形一

11、共有個【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，1 年級，第 4 題【解析】包含 1 個基本正方形的帶蘋果正方形有 1 個，包含 4 個基本正方形的帶蘋果正方形有 4 個，包含 9個基本正方形的帶蘋果正方形有 6 個，包含 16 個基本正方形的帶蘋果正方形有 2 個，所以共有1 + 4 + 6 + 2 =

12、0;13 (個)<考點> 圖形的計數(shù)方法之分類計數(shù)【答案】13 個的【鞏固】圖中，不含“A” 正方形有個?！究键c】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4 年級，1 試【解析】面積為 1 的有 15 個，面積為 4 的有 7 個，面積為 3 的有 2 個，共 24 個.A【答案】 243【鞏固】圖中，不含“A”的正方形有_個。A【考點】復雜的幾何

13、計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 10 題【解析】面積為 1 的有 15 個，面積為 4 的有 5 個，面積為 9 的沒有，所以不含 A 的有 20 個.【答案】 20 個【例 5】在下圖中，不包含的長方形有_個【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【關鍵詞】學而思杯，4 年級，第 4 題【解析】根 據(jù)乘法

14、原理，所有長方形總數(shù)為(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(個 ) ，包含  的長方形有3×3×4×4=144(個)，所以不包含的長方形有 C 2 ´ C 2 - 9 ´ 16 = 21´ 21 - 9 ´ 16 = 441 - 144 =&#

15、160;297 (個)77【答案】 297 個【例 6】如圖，其中同時包括兩個的長方形有個【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】先找出同時包括兩個的最小長方形，然后其余所有滿足題目要求的長方形都必須包括該最小長方形根據(jù)乘法原理 2×2×2×3=24（種）不同的長方形【答案】 24 個【例 7】圖中含有“”的長方形總共有_個【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】根據(jù)本題特點，可采用分類的方法計數(shù)按長方形的寬分類，數(shù)出含號的長方形的個

16、數(shù)含有左上號的長方形有： 6 + 6 + 6 = 18 個，其中，寬為 1(即高度為一層)的含號的長方形為：6 個；寬為 2(即高度為兩層)的含號的長方形為：6 個；寬為 3(即高度為三層)的含號的長方形為：6 個；含有右上號的長方形有： 6 + 6 ´ 2 + 6 = 24 個，其中，寬為 1(即高度為一層)的含號的長方形為：6

17、0;個；寬為 2(即高度為兩層)的含號的長方形為： 6 ´ 2 個；寬為 3(即高度為三層)的含號的長方形為：6 個；同時含有兩個號的重復計算了，應減去，同時含有兩個號的長方形有： 4 + 4 = 8 個，其中，寬為 2(即高度為兩層)的含號的長方形為：4 個；寬為 3(即高度為三層)的含號的長方形為：4 個；所以，含有號的長方形總共有：18 + 24 - 8 =&#

18、160;34 個【答案】 34 個【例 8】在圖中，包含 A 的三角形一共有個。4A【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，2 年級，第 5 題【解析】包含五角星的三角形中含一個基本三角形的有1 個；含四個基本三角形的有4 個；含9 個基本三角形的有 3 個；含16 個基本三角形的有1 個。這樣包含五角星的三角形一共有1 + 4 + 3 + 

19、;1 = 9 （個）?！敬鸢浮?#160;9【例 9】右圖中有個正方形，個三角形，包含的三角形有個【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，2 年級，第 7 題【解析】正方形：正著的方塊有 4 個小的，1 個大的，斜的方塊有 4 個小的，1 個大的；以正方形共有 10 個。三角形：小號的三角形有 16 個，其中有 1 個包含中號的三角形有 16 個，其

20、中有 2 個包含大號的三角形有 8 個，其中有 3 個包含特大號的三角形有 4 個，其中有 2 個包含所以三角形有 44 個，包含的有 8 個【答案】正方形10 個，三角形 44 個，包含的有 8 個【例 10】下圖是 5×5 的方格紙，小方格為邊長 1 厘米的正方形，圖中共有_個正方形，所有這些正方形的面積之和為_?！究键c】復雜的幾何計數(shù)【難度】

21、3 星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第 14 題【解析】圖中面積為 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分別有 25、16、9、4、1 個，共有 55 個小正方形，所有小正方形的面積和為 259.【答案】 55 個，面積和為 259【例 11】由 20 個邊長為 1 的小正方形拼成一個 4 ´ 5 長方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長方形（含正方

22、形）共有個，它們的面積總和是【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【關鍵詞】走美杯，6 年級，決賽，10 題【解析】根據(jù)鼠標法，左上角共有 6 個點，右下角有 8 個點，所以共有長方形有 6 ´ 8 = 48 （個）面積總和為: (1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5) 

23、0; (1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4) = 360 【答案】長方形 48 個，面積和為 360【例 12】圖中內(nèi)部有陰影的正方形共有個。5【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 10 題【解析】面積為 1 的正方形有 8 個，面積為 4 的正方形有 8 個，面積為

24、 9 的正方形有 8 個，面積為 16 的正方形有 2 個，共計 26 個.【答案】 26 個【例 13】在圖中(單位：厘米)：一共有幾個長方形?所有這些長方形面積的和是多少?【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】一共有 (4 + 3 + 2 + 1)´ (4 + 3 + 2 + 1)

25、60;= 100 (個)長方形；所求的和是5 + 12 + 8 + 1 + (5 + 12) + (12 + 8) + (8 + 1) + (5 + 12 + 8) + (12 + 8 + 1) + (5 + 12 + 

26、8 + 1)´2 + 4 + 7 + 3 + (2 + 4) + (4 + 7) + (7 + 3) + (2 + 4 + 7) + (4 + 7 + 3) + (2 + 4 + 7 + 3

27、)= 144 ´ 86 = 12384 (平方厘米)【答案】（1）100 ，（2）12384【鞏固】如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為 5 厘米、7 厘米、9 厘米、2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有 n 條線段

28、，縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊 形 ） nm 個 ， 所 以 有 (4 + 3 + 2 + 1)´ (4 + 3 + 2 + 1) = 100 （ 個 ）， 這 些 長 方 形 的 面 積 

29、;和 為 ：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23） ´ （4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664（平方厘米）【答案】長方形共有：100 ，面積和為10664【例 14】如圖是由 18 個大小相同的小正三角形拼成的四邊形其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大6的正三角形若干個那么，圖中包含“ A ”號的大、小正三角形一共有_個A【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】2 星【題型】解答【解析】分三類進行計數(shù)(設小正三角形邊長為

30、 1)包含*的三角形中，邊長為 1 的正三角形有 1 個；邊長為 2 的正三角形有 4 個；邊長為 3 的正三角形有 1 個；”因此，圖中包含“*的所有大、小正三角形一共有1 + 4 + 1 = 6 (個)【答案】 6 個【例 15】圖中共有多少個三角形？ABC【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】解答【解析】顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類

31、中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為 6類（1）最大的三角形 1 個(即ABC)，（2）第二大的三角形有 3 個（3）第三大的三角形有 6 個（4）第四大的三角形有 10 個（5）第五大的三角形有 15 個（6）最小的三角形有 24 個所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（個）圖中共有三角形 2×59=118（個）【答案】118 個【例 16】圖 3，由邊長為 1

32、0;的小三角形拼成，其中邊長為 4 的三角形有_個?！究键c】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯五年級一試第 16 題，5 分)【解析】1+2+3=6【答案】 6 個【例 17】右圖是半個正方形，它被分成一個一個小的等腰直角三角形，圖中，正方形有個，三角形有個。7【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3 星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 7 題【解析】正方形 10 個,角形 18+15+4+4+1=42【答案】正方形1

33、0 個，三角形 42 個【例 18】如圖，連接一個正六邊形的各頂點問圖中共有多少個等腰三角形(包括等邊三角形)？【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】4 星【題型】解答【關鍵詞】華杯賽【解析】本題需要分類進行討論先考慮其中的等邊三角形圖中，六邊形的每1個頂點是某個小號等邊三角形的頂點，而且，每個小號等邊三角形，有且僅有一個頂點是六邊形的一個頂點，既然六邊形有6個頂點，所以圖中有6個小號三角形；圖中，六邊形的每一條邊是某個中號等邊三角形的一條邊，而且，每個中號等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個中號等邊三角形；圖中

34、，大號等邊三角形有2個；再考慮其中非等邊的等腰三角形圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖其中小號的等腰三角形有6個，因為這類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長，并且，六邊形的每一條邊只唯一對應一個小號等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個小號等腰三角形；中號的等腰三角形有12個，因為每個中號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長邊的三角形有2個，如圖，這樣的弦共有6條，所以有12個中號等腰三角形；大號的等腰三角形有6個，因為每個大號等腰三角形的長邊都是六邊形的一條直徑，每條直徑上都對應有2個大號三角形，如圖，共有3條直徑，所以有6個大號等腰三角

35、形那么圖中共有 6 + 6 + 2 + 6 + 12 + 6 = 38 個等腰三角形【答案】 38 個【例 19】圖中有個正方形，有個三角形?！究键c】復雜的幾何計數(shù)【難度】4 星【題型】解答【關鍵詞】華杯賽，初賽，第 14 題【解析】邊線是水平或垂直方向的正方形共有 62 + 52 + 42 + 32 + 2

36、2 + 12 = 91 (個)，形如8的正方形有 4 個，所以共有正方形 91 + 4 = 95 (個) (如何保證沒有其它的斜正方形了？如右圖，擦去橫線和豎線，只留下斜線，就一目了然了)此題也可以計算不同面積的正方形各有多少個，以面積大小數(shù)正方形，記最小的正方形面積為1；則面積為 1 的正方形的個數(shù)為 36；面積為 2 的正方形的個數(shù)為 4；面積為 4 的正方形的個數(shù)為

37、60;25；面積為 9 的正方形的個數(shù)為 16；面積為 16 的正方形的個數(shù)為 9；面積為 25 的正方形的個數(shù)為 4；面積為 36 的正方形的個數(shù)為 1所以，共有 36 + 4 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 95 (個)正方形第 2 問。方法 1：以圖中的最小的直角三角

38、形為計數(shù)基本單位數(shù)三角形：只有 1 個基本圖形單位的三角形共 72 個；由 2 個基本圖形單位組成的三角形共 37 個；由 4 個基本圖形單位組成的三角形共 30 個；由 8 個基本圖形單位組成的三角形共 4 個；由 9 個基本圖形單位組成的三角形共 10 個；由 16 個基本圖形單位組成的三角形共 2 個；所以圖中共有三角形 72+37+30+4

39、+10+2=155（個）。方法 2：依三角形的斜邊的長度數(shù)三角形。（1）斜邊和水平線成 45 度角的三角形，記這類三角形最小的斜邊的長度為 1：長度為 3 的斜邊共有：5 條；長度為 4 的斜邊共有：1 條。因為圖中這類斜邊每條帶有 2 個三角形，所以共有 2×（36+15+5+1）=114（個）。（2）斜邊水平的三角形，從上向下：斜邊在第一條線有 2 個；斜邊在第二條線有 4 個；斜邊在第三條線有 4&#

40、160;個；斜邊在第四條線有 5 個；斜邊在第五條線有 2 個；斜邊在第六條線有 2 個；斜邊在第七條線有 2 個；所以這種類型的三角形共有 21 個。（3）斜邊為垂直線的三角形，從左向右：斜邊在第一條線有2 個；斜邊在第二條線有 2 個；斜邊在第三條線有 5 個；斜邊在第四條線有 3 個；斜邊在第五條線有 3 個；斜邊在第六條線有 4 個；斜邊在第七條線有 1 個，所以這種類型的三角形共有 20 個。共有 114+21+20=155（個）三角形?！敬鸢浮?#160;95 個正方形，155 個三角形【例 20】將右圖中的 2007(即陰影部分)分成若干個 1×2 的小長方形，共有種分法【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】5 星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，15 題【解析】下圖中用斜線標出的部分是只存在唯一分法的部分，也就是說，實際上只需要考慮未用斜線連接的陰影部分，先把這些方框標記上字母，以便分析R &