2013年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)：專題七 立體幾何

1、專題七 立體幾何自查網(wǎng)絡(luò)核心背記一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（一）多面體1棱柱可以看成是一個(gè)多邊形（包含圖形所圍成的平面部分）上各點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)_所形成的幾何體2主要結(jié)構(gòu)特征：棱柱有兩個(gè)面互相平行，而其余    的交線都互相平行，其余的這些面都是四邊形3側(cè)棱和底面_的棱柱叫做直棱柱，底面為    的直棱柱叫做正棱柱4有一個(gè)面是多邊形，而其余各面都    的三角形的多面體叫做棱錐5如果棱錐的底面是    一，它的頂點(diǎn)又在過  且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱

2、錐，正棱錐各側(cè)面都是    一的等腰三角形，這些等腰三角形_都相等，叫做棱錐的斜高6.棱錐被    一的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)一7.由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)正棱臺(tái)各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些    一叫做棱臺(tái)的斜高正棱臺(tái)中兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和    組成一個(gè)直角梯形；兩底面中心連線，    和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成一個(gè)直角梯形 （二）旋轉(zhuǎn)體 1分別以    一、直

3、角梯形中、_所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊叫做這個(gè)幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的    叫做這個(gè)幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的    叫做這個(gè)幾何體的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線，      2-個(gè)半圓繞著_所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的幾何體稱為球球面也可以看做空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合3球的截面性質(zhì)：球的截面是  

4、;  ；球心和截面（不過球心）圓心的連線    于截面；設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離d就是球心0到截面圓心0i的距離，它們的關(guān)系是    一4球的大圓、小圓：球面被    的平面截得的圓叫做球的大圓；球面被    的平面截得的圓叫做球的小圓（三）投影1當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影具有如下性質(zhì)：2 / 13直線或線段的平行投影是_；平行直線的平行投影是    ；平行于投射面的線段，它的投影與這條線

5、段    ；與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形    ；在同一直線或平行線上，兩條線段的平行投影的比等于_2. -個(gè)    把一個(gè)圖形照射在一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投影空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但是平行線可能變成_3在物體的平行投影中，如果投射線與投射面_，則稱這樣的平行投影為正投影4除了平行投影的性質(zhì)正投影還具備如下性質(zhì)：直于投射面的直線或線段的正投影是     于投射霹的平面圖形的正投影是（四）斜二測畫法與三視圖1斜

6、二測畫法的作圖規(guī)則可以簡記為：水平方向方向長度      豎直方向線，變?yōu)?#160;    方線，長度  2.投射面與視圖：通常，總是選取三個(gè)_的平面作為投射面，來得到三個(gè)投影圖一個(gè)投射面水平放  置，叫做水平投射面，投射到水平投射面內(nèi)的圖形叫做     ，一個(gè)投射面放置在正前方，這個(gè)投射面叫做直立投射面投射到直立投射面內(nèi)的圓形叫做     和直立、水平兩個(gè)投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射l面投射到側(cè)立投

7、射面內(nèi)的圓形叫做             3.三視圖定義：將空間圖形向水平投射面，直立投射 面、側(cè)立投射面作正投影然后把這個(gè)投影按一定的布局放 在一個(gè)平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空悶圖形的三視圖  4三視圖的畫法要求；三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的  看到的物體的正投影圍成的平面圖形5. 一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在     的下面，長度與   

8、; 一樣；左視圖放在主視圖的     ，高度與_一樣，寬度與的寬度樣為了便于記憶通常說：“長對正  高平齊、寬相等”或“主左一樣高、主俯樣長、左俯樣寬  6畫三視圖時(shí)應(yīng)注意：被擋住的輪廓要畫成瘦線，尺寸線用細(xì)實(shí)線標(biāo)出；表示直徑，R表示半徑；單位不注明按mm計(jì)， 二、空間幾何體的表面積與體積 （一）柱、錐、臺(tái)的表面積公式 1設(shè)直棱柱的高為b ，底面多邊形的周長為c，則直棱柱側(cè)面面積計(jì)算公式為設(shè)圓柱的底面半徑為r  周長為C，側(cè)面母線長為l，則圓柱的側(cè)面積是_2.設(shè)正棱錐的底面邊長為a，底

9、面周長為C，斜高為h，則正n梭錐的側(cè)面積計(jì)算公式為一·如果圓錐底面半徑為r，周長為C，側(cè)面母線長為l，那么圓錐的側(cè)面積是一3.如果設(shè)正棱臺(tái)下底面邊長為a、周長為C，上底面邊長為a'、周長為C'斜高為h'，則正竹棱臺(tái)的側(cè)面積公式為_    如果圓臺(tái)的上下底面半徑分為r'，r，周長為C，C，側(cè)面母線長為l，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是  （二）柱、錐、臺(tái)的體積公式1.棱柱的底面面積為S，高為h，則體積為底面半徑為r，高是h的圓柱體的體積計(jì)算公式是一2.若一個(gè)棱錐的底面面積為S高為h，那么它的體積公式為_若圓錐的底面圓

10、的半徑為r，高為h,則體積為_3.若臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）上、下底面面積分別為S，S，高為h，則臺(tái)體的體積公式為一，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，r，高為h則圓臺(tái)的體積公式為（三）球的表面積與體積公式設(shè)球的半徑為R則球的表面積計(jì)算公式為- .  即球面面積等于它的大圓面積的_球的體積公  式為三、平面的基本性質(zhì)與推論（一）平面的定義平面是一個(gè)不加定義，只需理解的最基本的原始概  念在生活中平靜的水面、鏡面、書桌面都給我們平面的印  象，立體幾何中的平面就是由此抽象出來的平面是處處  平直的面，它是向四面八方    一

11、的無大小、厚薄之  分，它是不可度量的（二）平面的基本性質(zhì)及推論1平面的基本性質(zhì)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)  平面內(nèi)，那么這條直線上的    都在這個(gè)平面內(nèi)，這  時(shí)我們說：直線在平面內(nèi)或平面_直線2.平面的基本性質(zhì)2：經(jīng)過_的三點(diǎn)，有且只  有一個(gè)平面，即：_的三點(diǎn)確定一個(gè)平面3.推論1：經(jīng)過一條直線和_一點(diǎn)，有且只  有一個(gè)平面4.推論2：經(jīng)過兩條    直線有且只有一個(gè)  平面5.推論3：經(jīng)過兩條    直線有且只有一個(gè)  平

12、面6面面相交：如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱之  為兩平面相交，這條公共直線也叫做兩個(gè)平面的交線平  面口與p相交，交線是Z，符號(hào)表示為    7平面的基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們    一條經(jīng)過  一的公共直線（三）異面直線1_    _的直線叫做異面直線 2異面直線的判定：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)一    的直線是異面直線，用符號(hào)表示為：若ABn口-B，B垂z，Zc口，則直線AB與直線z是異面直線

13、 四、空間中的平行關(guān)系 （一）平面的基本性質(zhì)4與等角定理 1平面的基本性質(zhì)4：平行子同一直線的兩條直線_符號(hào)表示為：若直線矗6c6，那么2.等角定理：如果一個(gè)角的p邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且一    ，那么這兩個(gè)角相等（二）空間四邊形順次連接_    的四點(diǎn)AB，CD所梅成的圖形叫做空聞四邊形其中，四個(gè)點(diǎn)A，B，CD，每個(gè)點(diǎn)都q它的_    所連接的相鄰頂點(diǎn)fa-的線段叫做它的_連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的_（三）直線與平面平行1.直線a和平面口只有一個(gè)公

14、共點(diǎn)A，叫做 直線與平面_這個(gè)公共點(diǎn)A叫做直線與平面的交點(diǎn)記作_2直線a與平面a沒有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平行記作一    一3.判定定理：如果_的一條直線和的一條直線平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行4性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，_    的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行      （四）平面與平面平行1兩不重合平面有公共點(diǎn)就叫兩平面相交，記作口n盧2 Z若兩個(gè)平面    一，則稱這兩個(gè)平面為平行平面，“平面口平行

15、于平面p"可以記作“口2平面與平面平行的判定定理；如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條    一直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行3推論：如果個(gè)平面內(nèi)有兩條_直線分別平行于另個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行4性質(zhì)定理：如果兩個(gè)_平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語言表示為：口/p，a(l y=a，pffy=b凈_，。_一5兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的    一直線平行于另一個(gè)平面五，空間中的垂直關(guān)系（一）直線與平面垂直1如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為   

16、一，則稱這兩條直線互相垂直2直線與平面垂直的定義：如果一條直線Z和一個(gè)平面口相交于點(diǎn)O，并且Z和這個(gè)平面內(nèi)過點(diǎn)0的直線都垂直，則該直線垂直于這個(gè)平面這條直線叫做平面的，這個(gè)平面叫做直線的_，交點(diǎn)叫做_-。_。-。-。_一3.點(diǎn)到平面的距離：垂線上任意一點(diǎn)到_間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離 4判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直 5推論：如果在兩條_  直線中，有一條直線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面。 6.性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直予同一個(gè)平面，那么這兩條直線_-&

17、#160;7.如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的一直線（二）平面與平面垂直1*如果兩個(gè)相交平面的一與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條直線互相_就稱這p個(gè)平面互相垂直   2.如果-個(gè)平面過另一個(gè)平面的一，則這兩個(gè)平面互相垂直3如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一垂直予它們_二、  的直線垂直于另一個(gè)平面4.如果p個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的 一點(diǎn)垂直于第二AI平面的直線在    平面內(nèi)參考答案一、（一）1相同的距離2每相鄰兩個(gè)面3.垂直正多邊形4有一個(gè)公共頂點(diǎn)5正多邊形底面

18、中心全等底邊上的高6平行于底面7等腰梯形的高斜高側(cè)援(=)1矩形的一條邊  直焦三角形的一條直角邊垂直于底邊的腰圓面曲面(=)1所有點(diǎn)經(jīng)過2不在同一直線上不共線 3直線外  4相交 5平行 6a    7有且只有這個(gè)點(diǎn)      （三）1既不平行也不相交2不經(jīng)過該點(diǎn)四、（一）1互相平行a/c2方向相同（二）不共面頂點(diǎn)邊對角線（三）1相交ana=A 2.a/a3不在一個(gè)平面內(nèi)平面內(nèi)4經(jīng)過這條直線（四）1沒有公共點(diǎn)2相交3相交4平行a/b 5任意五、（一）1-直角2任何

19、垂線垂面垂足3垂足4相交5平行6平行7任意條（二）1交線垂直2一條垂線3_AI平面內(nèi)交線4第一個(gè)規(guī)律探究1在正棱錐中，要利用四個(gè)直角三角形（高、斜高及底  面邊心距組成一個(gè)直角三角形，高、側(cè)棱與底面外接圓的  半徑組成一個(gè)直角三角形，底面的邊心距、外接圓半徑及  底邊一半組成一個(gè)直角三角形，側(cè)棱、斜高與底邊一半組  成一個(gè)直角三角形）進(jìn)行有關(guān)計(jì)算2.在正棱臺(tái)中，要充分利用三個(gè)直角梯形（高、斜高及上  下底面的邊心距組成一個(gè)直角梯形，側(cè)棱、斜高及上下底邊  的一半組成個(gè)直角梯形，側(cè)梭、高及上下底面外接圓半徑組成個(gè)直角梯形）、兩個(gè)直角三角

20、形（上下底面的邊心距，外接圓半徑和邊的一半）進(jìn)行有關(guān)計(jì)算3解與直觀圖有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則，關(guān)鍵是確定宣觀圖的頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)因此，盡量把頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)放在軸上或與軸平行的直線上4學(xué)習(xí)三視圖應(yīng)會(huì)選取投射面，正確放置三視圖中三個(gè)圖的位置，掌握三視圖之間的聯(lián)系和規(guī)律：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相同5棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積可以分別求各面面積，再求和對于直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)也可直接利用公式，6圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積就是其側(cè)面展開圖的面積，要熟記公式7有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切、接問題，特別要注意應(yīng)用軸截面8有關(guān)體積的問題，要注意“等積變換”“分割求和”“拼補(bǔ)求

21、差”等解題思路9結(jié)合模型，在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺(tái)的表面積公式和體積公式10.球的體積公式和表面積公式是用無限分割的極限思想推導(dǎo)出來的主要是記憶、掌握公式11.求柱、錐、臺(tái)體的表面積就是求它們的側(cè)面積和底面積之和，對于圓柱、圓錐、圓臺(tái)，已知上、下底面半徑和母線長可以用表面積公式直接求出；對于棱柱、棱錐、棱臺(tái)沒有一般計(jì)算公式，可以直接根據(jù)條件求各個(gè)面的面積12.求柱、錐、臺(tái)體的體積時(shí)，根據(jù)體積公式，需要具備已知底面積和高兩個(gè)重要條件，底面積一般可由底 面邊長或半徑求出，但當(dāng)高不知道時(shí)，求高比較困難，一般要轉(zhuǎn)化勾平面幾何知識(shí)求出高 13證明直線共面可通過先證明其中的兩條直線確定一

22、個(gè)平面，再證明其余的直線都在這個(gè)平面內(nèi)；也可以利用共面向量定理來證明證明空間幾點(diǎn)共面，可先取不共線的三點(diǎn)確定個(gè)平面，再證明其他的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)14.理解“有且只有一個(gè)”的含義，它強(qiáng)調(diào)存在性和唯一性兩個(gè)方面，也稱為“確定”平面15求證三點(diǎn)及三點(diǎn)以上的點(diǎn)共線，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)3，只要證明這些點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)'那么它們都在這兩個(gè)平面的交線上；求證三條直線或三條以上的直線共點(diǎn)的一般方法是：首先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明其余各直線都經(jīng)過這點(diǎn)-16平面的基本性質(zhì)2及其推論是空間中確定平面的依據(jù)，也是證明兩個(gè)平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體

23、辦法17直線和平面平行時(shí)，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系，直線和平面平行的性質(zhì)定理在應(yīng)用時(shí)，要特別注意“一條直線平行于一個(gè)平面，就平行于這個(gè)平面的一切直線”的錯(cuò)誤結(jié)論18.以求角為背景考查兩個(gè)平行平面間的性質(zhì)，也可以是已知角利用轉(zhuǎn)化和降維的思想方法求鏘其他幾何參量19.線面平行和面面平行的判定和性質(zhì)20轉(zhuǎn)化思想方法：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)就是線線平行與線面平行的轉(zhuǎn)化21.要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題對  此需強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)；第一，輔助線、輔助面不能隨意作，要有理  論根據(jù)；第二，輔助線或輔助面有什么性質(zhì)，一定要以某一  性質(zhì)定理為依據(jù)，決不能憑主觀臆斷，否則謬誤難免22.直線與平面垂直，只需這條直線垂直于這個(gè)平面  內(nèi)的兩條相交直線，至于這兩條相交直線是否和已知直線  有公共點(diǎn)，這無關(guān)緊要23.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中的重要定  理，復(fù)習(xí)運(yùn)用時(shí)要注意：弄清定理中所指明的三種垂線，  定理中的直線a-定在某直線的射影所在的平面a內(nèi)，  因此要熟練地掌握直線n在不同位置時(shí)的情況24.在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有直線的平面