2005年數(shù)學(xué)一試題評注

1、2005年數(shù)學(xué)一試題評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 的斜漸近線方程為 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.【詳解】 因為a=， ，于是所求斜漸近線方程為【評注】 如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應(yīng)熟練掌握。這里應(yīng)注意兩點：1）當(dāng)存在水平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)時，極限不存在，則應(yīng)進一步討論或的情形，即在右或左側(cè)是否存在斜漸近線。（2） 微分方程滿足的解為.【分析】直接套用一階線性微分方程的通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價為，于是通解為 =，由得

2、C=0，故所求解為【評注】 本題雖屬基本題型，但在用相關(guān)公式時應(yīng)注意先化為標(biāo)準(zhǔn)型. 另外，本題也可如下求解：原方程可化為 ，即 ，兩邊積分得 ，再代入初始條件即可得所求解為（3）設(shè)函數(shù)，單位向量，則=.【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量的方向?qū)?shù)為： 因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】 因為 ，于是所求方向?qū)?shù)為 =【評注】 本題若=非單位向量，則應(yīng)先將其單位化，從而得方向余弦為：.（4）設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，則.【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進行計算即可.【詳解】 =.【評注】 本題屬基本題型

3、，不論是用球面坐標(biāo)還是用柱面坐標(biāo)進行計算，均應(yīng)特別注意計算的準(zhǔn)確性，主要考查基本的計算能力.（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 =，于是有 【評注】 本題相當(dāng)于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示。一般地，若 ， ，則有 （6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】

4、 =+ + =【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是考查的重點.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點.(C) 恰有兩個不可導(dǎo)點. (D) 至少有三個不可導(dǎo)點. C 【分析】 先求出f(x)的表達式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】 當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，即 可見f(x)僅在x=時不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).【評注】 本題綜合考查了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個知識點.（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原

5、函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項. 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D)

6、; 故應(yīng)選(A).【評注】 函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過. 請讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？（9）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因為， ，于是 ， ， ，可見有，應(yīng)選(B).【評注】 本題綜合考查了復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)和隱函數(shù)求偏導(dǎo)以及高階偏導(dǎo)的計算。作為做題技巧，也可取，則，容易驗算只有成立，同樣可找到正確選項(B).（10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(0,1,1)的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程 (

7、A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(0,1,1)處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z)=, 則 ， ，且 ，. 由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應(yīng)選(D).【評注】隱函數(shù)存在定理是首

8、次直接考查，有部分考生感到較生疏. 實際上本題也可從隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式著手分析：若偏導(dǎo)表達式有意義，相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)也就存在.（11）設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關(guān)，于是有 當(dāng)時，顯然有，此時，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關(guān)的充要條件是故應(yīng)選(B).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)

9、的概念.（12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D) 交換的第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨矩陣的性質(zhì)進行分析即可.【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應(yīng)選(C).【評注】 注意伴隨矩陣的運算性質(zhì)：，當(dāng)A可逆時，.（13）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b

10、 0.1已知隨機事件與相互獨立，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應(yīng)選(B).【評注】 本題考查二維隨機變量分布律的性質(zhì)和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的基本內(nèi)容.（14）設(shè)為來自總體N(0,1)的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(A) (B) (C)

11、 (D) D 【分析】 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和分布、t分布及F分布的定義進行討論即可.【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能斷定(B)是正確選項. 因為 ，且相互獨立，于是 故應(yīng)選(D).【評注】 正態(tài)總體的三個抽樣分布：、是常考知識點，應(yīng)當(dāng)牢記.三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù). 計算二重積分 【分析】 首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】 令 ， .則 = =【評注】 對于二重積分（或三重積分）的計算問題，當(dāng)被積

12、函數(shù)為分段函數(shù)時應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域積分. 而實際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，如取絕對值函數(shù)、取極值函數(shù)以及取整函數(shù)等等.（16）（本題滿分12分）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項求導(dǎo)得到.【詳解】 因為，所以當(dāng)時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而【評注】 本題求收斂區(qū)間是基本題型，應(yīng)注意收斂區(qū)間一般只開區(qū)間. 而冪級數(shù)求和盡量將其轉(zhuǎn)化為形如或冪級數(shù)，再通過逐項求導(dǎo)或逐項積分求出其和函數(shù).（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x

13、)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分【分析】 題設(shè)圖形相當(dāng)于已知f(x)在x=0的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處的函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =【評注】 本題f(x) 在兩個端點的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值通過幾何圖形給出，題型比較新穎，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和定積分的計算. 另外，值得注意的是，當(dāng)被積函數(shù)含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一般優(yōu)先考慮用分部積分.（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1

14、)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同的點，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，于是 【評注】 中值定理的證明問題是歷年出題頻率最高的部分，而將中值定理與介值定理或積分中值定理結(jié)合起來命題又是最常見的命題形式.（19）（本題滿分12分）

15、設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達式.【分析】 證明（I）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求的表達式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可. Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所

16、以，從而 【評注】 本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形.（20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（III） 求方程=0的解.【分析】 （I）根據(jù)二次型的秩為2，可知對應(yīng)矩陣的行列式為0，從而可求a的值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III） 利用第二步的結(jié)果，通過標(biāo)準(zhǔn)形求解即可.【詳解】 （I） 二次型對應(yīng)矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位

17、化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).【評注】 本題綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及方程組求解等多個知識點，特別是第三部分比較新穎. 但仔細(xì)分析可以看出，每一部分均是大綱中規(guī)定的基本內(nèi)容. （21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相當(dāng)于告之B的每一列均為Ax=0的解，關(guān)鍵問題是Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣A的秩.【詳解】 由A

18、B=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設(shè),則其通解為 為任意常數(shù).【評注】 AB=O這類已知條件是反復(fù)出現(xiàn)的，應(yīng)該明確其引申含義：1）B 的每一列均為Ax=0的解；2）本題涉及到對參數(shù)k及矩陣A的秩的討論，這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會越來越多.（22）（本題滿分9分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度.【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當(dāng)時，；2） 當(dāng)時， =; 3) 當(dāng)時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：【評注】 本題屬基本題型，只需注意計