2010年考研數(shù)學(二)真題及參考答案

1、天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 1 頁 共 11 頁2010考研數(shù)學（二）真題及參考答案一、選擇題（1）函數(shù)22221()11xxfxxx的無窮間斷點是（）ab. c. d. （2）設12,yy是一階線性齊次微分方程()()yp x yqx的兩個特解， 若常數(shù),使12yy是該方程對應的齊次方程的解，則（a）a.11,22b. 11,22c. 21,33d. 22,33【詳解】：由題意知1122()()(1)()()(2)yp x

2、yq xyp x yq x1212( 1 )( 2 )()()()yypxyyqx得 ： (11212(1)(2)()()()yypxyyq x得 ： (0綜上12。（3）曲線2yx與曲線ln(0)yax a相切，則 a（c）a. 4e b. 3e c. 2e d.e 【詳解】：22lnaxxaxx，可得，22ax，由2lnxax，可得，12xe，2ae（4） 、設,m n是正整數(shù)，則反常積分210ln (1)mnxdxx的收斂性 ( d ) (a)僅與 m 的取值有關(b)僅與 n 有關(c)與,m n都有關(d)都無關【詳解】：顯然0,1xx是兩個瑕點，有22211121002ln(1)l

3、n (1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 2 頁 共 11 頁對 于2120l n( 1)mnxdxx的 瑕 點0 x， 當0 x時212ln(1)ln(1)mmnnxx xx等 價 于221(1)mmnx，而21120mnxdx收斂（因,m n是正整數(shù)211mn） ，故2120ln (1)mnxdxx收斂；對于2112ln(1)mnxdxx的瑕點1x，當1(1,1)(0)2x時121

4、22ln(1)2ln(1)2 (1)mnmnmnxxxx，而2112(1)mxdx顯然收斂，故2112ln(1)mnxdxx收斂。所以選擇d. （5）設函數(shù)(,)z xy，由方程(,)0yzfxx確定，其中f 為可微函數(shù)，且20f,則zzxyxy（ b）a. xb. zc. xd.z【詳解】： 等式兩邊求全微分得：121212()()()0 xxyyzzf uf vdxf uf vdyf uf vdz，所以有，1212xxzzf uf vzxf uf v，1212yyzzf uf vzyf uf v，其中，2xyux，1yux，0zu，2xzvx，0yv，1zvx，代入即可。(6) 11221

5、02200(ln)(ln)()()22(1)enmenixdxxdxdsrrde de（d）a12001(1)(1)xdxdyxyb. 1001(1)(1)xdxdyxyc. 11001(1)(1)dxdyxyd. 112001(1)(1)dxdyxy【詳解】：22211111111limlim()()(1)(1() )nnnnxnijijnijninjnnnn112001(1)(1)dxdyxy(7) 設向量組12:,ri可由向量組12:,sii線性表示。下列命題正確的是（a）a若向量組i 線性無關，則rsb.若向量組 i 線性相關，則rsc 若向量組ii 線性無關，則rsd . 若向量組

6、ii 線性相關，則rs天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 3 頁 共 11 頁【詳解】：設),(),(2121srba由題設知向量組12:,ri可由向量組12:,sii線性表示，即rsbka（其中k為系數(shù)矩陣）令0ax（其中trxxx,21）,即在rsbka等號兩側(cè)同乘以x若向量組線性無關，則只有零解只有零解00)(xbkaxrarrs（利用反證法）若sr，有0)(bkxrskr有非零解，與之相矛盾，所以sr，所以正確答案為)( a。

7、(8) 設 a 為 4 階實對稱矩陣，且20aa若 a 的秩為 3，則 a 相似于（d）a1110b. 1110c. 1110d. 1110【詳解】：設 a 的特征值為r,因為 a2+a=0，所以 2+=0即100)1(或又3r(a)，a 必可相似對角化，對角陣的秩也是3. 11110a是 三 重 特 征 根所以正確答案為（d）二、填空題（9） 3 階常系數(shù)線性齊次微分方程220yyyy的通解為y2123cossinxc ecxcx天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡

8、導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 4 頁 共 11 頁【詳解】：解特征方程，32220，特征值為，1，i，于是基礎解系為：2 xe， cos x ，sin x，線性組合可得通解。（10） 曲線3221xyx的漸近線方程2yx【詳解】：首先定義域是全體實數(shù)，股不存在垂直漸近線；其次，limxy，所以不存在水平漸近線。最后，lim2xyx，而lim (2)0 xyx，故斜漸近線為2yx。（11）函數(shù)ln(12)yx在0 x處的 n 階導數(shù)()(0)ny21 !nn【詳解】：由泰勒展開可得：231(1)ln(1)23nntttttn，令2tx代入可得：1()(1)(2 )(0)!nnnnxyxnn，

9、比較系數(shù)可得答案。（12）當0時，對數(shù)螺旋re的弧長為21e【詳解】：由弧長公式：2200()()22 (1)dsrrde de（ 13 ） 已 知 一 個 長 方 形 的 長l以2/cms的 速 率 增 加 ， 寬 w 以3/cms的 速 率 增 加 。 則 當12,5lcmwcm時，它的對角線增加速率為3/cms【詳解】：對對角線求導數(shù)：2222dlwllwwdtlw，代入數(shù)據(jù)即可。（14） 、設 a、b為 3 階方陣，且13,2,2,abab，則1ab3 【詳解】：1111()()abbbaebbaaa33221)(1)()(11111aabbaabbaabb天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考

10、研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 5 頁 共 11 頁三、簡答題。（15） （本題滿分10 分）求函數(shù)221()()xtfxxt edt的單調(diào)區(qū)間與極值?！?詳解】 ：由21()20 xtfxxe dt，可得，0 x，1判斷在區(qū)間，1, 0 ，(1,)，()0fx，函數(shù)單增在區(qū)間，,1 ，(0,1)，()0fx，函數(shù)單減。極小值：110ff極大值為2(0)1fe單增區(qū)間1,0 , 1,單減區(qū)間,1 , 0,1（16） 、（）比較10lnln(1)nttdt與1

11、0ln,1,2,nt t dt n的大小，說明理由（）設10lnln(1)(1,2,)nnmttdt n，求極限limnnm【詳解】：1100lnln(1)ln(1,2,)nnttdttt dt n10limlnln(1)0nnttdt（17） （本題滿分11 分）設函數(shù)()yfx由參數(shù)方程22,(1)( )xtttyt所確定，其中( ) t具有 2 階導數(shù)，且5(1)2，(1)6,已知223,4(1)d ydxt求函數(shù)( ) t。解答：233( )2ttt【詳解】：( )( )( )22dyyttdxxtt，223( )(22 )2( )3(22 )4(1)dytttdxtt得到二階微分方程

12、：13(1)1tt，所以1(1)(3)ttc由(1)6，得到10c，所以( )3 (1)ttt天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 6 頁 共 11 頁又因為5(1)2，所以323( )2ttt（18） （本題滿分10 分）一個高為1 的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b 的橢圓，現(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為32b 時（如圖），計算油的質(zhì)量。 （長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為常數(shù)3/kgm）【詳解】：23ablk

13、g（19） （本題滿分11 分）設函數(shù)(,)fxy具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足等式2222241250 xx yy，確定 a，b 的值，使等式在變換,xayxby下化簡為20【詳解】：xyxy，()()()0 x xx yy xy yx xx yy yxyxxyyxxxyxyyy坐標變換可得，baxba，yba，所以，bxba，axba，1yba，1yba代入上式，并對比2222241250 xx yy，比較系數(shù)可得125ab，45ab所以答案為225ab或252ab（20） （本題滿分10 分）計算二重積分22sin1cos,dirrdrd其中,0sec,04drr【詳解】：將極坐標轉(zhuǎn)化為直角

14、坐標可得積分區(qū)域為,01,0dxyxyx所以122001132xdiyx dxdyx dxydy（21） （本題滿分10 分）天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 7 頁 共 11 頁設函數(shù)()fx在閉區(qū)間 0 ,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導，且100,1.3ff證明：存在110,1,22使得22()().ff【詳解】：令31( )()3f xfxx ，(1)(0)0ff11,1,0, . .221112212210122122s

15、 tffffffff即22()()0ffff即22()()ff（22） （本題滿分11 分）設110101111aab已知線性方程組axb存在 2 個不同的解，（）求，a；（）求方程組的axb通解。解答：（）1 2a天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 8 頁 共 11 頁（）axb的通解為52110211k（其中 k 為任意常數(shù)）【詳解】： （）由題意知，axb的增廣矩陣為111101011111101011)(31aabaarr11

16、00101011110101011222313aaaarrrraxb有 2 個不同的解11,2)(1)(110111013)()(2abaxararaaarar無解方程組時但，或（）由（）知，000010201111a等價方程組為1212321xxxx2)()(arar對應齊次線性方程組0ax的基礎解系含1 個解向量，即101天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 9 頁 共 11 頁bax的一個特解為12125bax的通解為121251

17、01k（其中k為任意常數(shù)） 。（23） （本題滿分11 分）設0141340aaa，正交矩陣q使得tqaq為正交矩陣，若q的第一列為11261t， 求 a ，q. 解答：1a，11162321063111623q【詳解】：設1112611天津考研網(wǎng)（）- 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！724 全天候客服熱線：86-22-89761734 ，89761570，網(wǎng)址： http:/ 天津考研網(wǎng)， 考研快樂主義倡導者！ 天津地區(qū)考研門戶網(wǎng)站！第 10 頁 共 11 頁由11a得1111111122,22661111aa即111120142521134204aaaa所以11122542aa121a則40413141141314113rrae5,4,20)5) ( (2) ( (4(3214)4(40013241432131cc當42時，414414171414171414421rrae000027017123124rrrr其等價方程組為027072321xxxx由此得其基礎解系含有1 個解向量，即1012天津考研網(wǎng)（）- 天津地