運(yùn)用曲線系解曲線方程問(wèn)題

1、運(yùn)用曲線系解曲線方程問(wèn)題張寬鎖在解析兒何中，有關(guān)求dli線方程的問(wèn)題，大都采川待定系數(shù)法求解，而采取這種方 法有吋未知數(shù)多，解方程組比較麻煩，有些還要分類(lèi)討論，因此，有沒(méi)有一些更簡(jiǎn)便的方法 解決這些問(wèn)題呢？本文就此談?wù)勄€系方程的應(yīng)用。引入：高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)p88第4題是：如果兩條曲線方程是fi(x, y) = 0和f2(x, y) = 0,它們的交點(diǎn)是p (xo, yo),求證：方程f】(x, y)+ x f2 (x, y) =0的曲線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)p (入是任意常數(shù))。山此結(jié)論可得出：經(jīng)過(guò)兩曲線fi(x, y)=0和f2(x, y) =0交點(diǎn)的曲線 系方程為：斤(x, y) +xf2 (x,

2、 y) =0。利用此結(jié)論可得出相關(guān)曲線系方程。一.直線系概念：具有某種共同屬性的一類(lèi)宜線的集合，稱(chēng)為直線系。它的方程稱(chēng)直線系方程。兒 種常見(jiàn)的直線系方程：(1) 過(guò)已知點(diǎn)p (xo，y0)的直線系方程yyo=k (xx() (k為參數(shù))(2) 斜率為k的直線系方程y=kx+b (b是參數(shù))(3) 與已知宜線ax + by+c=0平行的直線系方程ax+by+入=0 (入為參數(shù))(4) 與已知直線ax + by+c=o垂直的直線系方程bxay+入=0 (入為參數(shù))(5) 過(guò)直線h： ax+biy+c】 =0與® a2x+b2y+c2=0的交點(diǎn)的直線系方程:aix+biy+c+入(a2x

3、+ b?y+c2)=0 (入為參數(shù))【例1】已知直線li： x+y+2=0與i2： 2x3y3=0,求經(jīng)過(guò)的交點(diǎn)且與已知直線3x + y 1 =0平行的直線l的方程。解：設(shè)ft線l的方程為2x3y3+ 入(x+y+2) = 0o(入+2) x+(入一3)+2 x 3 0ol與直線3x+yl =0平行,.九+2 九一3 2九一3 ho31-1解得： o2所以直線l的方程為：15x+5y+16=()【例2】求證:m為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(m l)x+(2m l)y=m5恒過(guò)一定點(diǎn)p,并求p點(diǎn)坐標(biāo)。分析：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因此，這個(gè)定點(diǎn)就一定是直線系中任意兩直 線的交點(diǎn)。解：rh原方程得m

4、(x+2y1) (x + y 5)=0,即|x + 2y-1 = ° 解得$ = 9 ,x + y-5 = 0y = -4直線過(guò)定點(diǎn)p(9, -4)注：方程可看作經(jīng)過(guò)兩玄線交點(diǎn)的立線系。二圓系概念：具有某種共同屬性的圓的集合，稱(chēng)為圓系。兒種常見(jiàn)的惻系方程：(1) 同心圓系:(xxo)2+ (yyo)2=r2, x()、yo為常數(shù)，i為參數(shù)。(2) 過(guò)兩已知圓 ci： fi (x, y) =x2+y2+d|x+eiy+f1 = 0o和c2： f2 (x, y) =x2+y2+d2x + e2y+f2=0的交點(diǎn)的圓系方程為：x2+y2 + d)x+ey+f + a. (x2 + y2+d

5、2x+e2y+f2) =0 (入工1)若入=1 時(shí)，變?yōu)?dd?) x+ (e)e?) y+f f2=0,貝ij表示過(guò)兩圓的交點(diǎn)的立線。其屮兩惻相交時(shí)，此直線表示為公共弦所在直線，當(dāng)兩i員【相切時(shí)，此直線為兩i員i的公切 線，當(dāng)兩i員相離時(shí)，此直線表示與兩圓連心線垂直的直線。(3) 過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程：設(shè)直線l： ax+by+c=0與圓c： x2+y2 + dx+ey+f=0相交，則過(guò)直線l與圓c交 點(diǎn)的圓系方程為 x2+y2+dx+ey+f+ x (ax+by+c) =0。【例3】高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)p82第8題是：求經(jīng)過(guò)兩gx2+y2+6x-4 = 0和x?+ y2+6y-28=0的

6、交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。解：根據(jù)(2)設(shè)所求圓的方程為：x2+y2 + 6x 4+ x (x2 + y2 + 6y28) = 0o即(1+入)x'+(l + 入)y' + 6x+6 入 y(4+28 入)= 0。其中圓心為（一，邑），1+九 1+九又該圓心在直線xy4 = 0上 即二l +亙_4 = 0,得x=-7c1 +九1 +九：所求圓方程為x2+y2x+7y32=0o【例4】高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）p72第9題是：求經(jīng)過(guò)兩條曲線x2+y2+3xy=0 和3x2+3y2+2x+y=0 交點(diǎn)的直線方程。分析：此題常規(guī)方法是聯(lián)立解方程組得交點(diǎn)處標(biāo)，再用兩點(diǎn)式

7、寫(xiě)出直線方程。若用（2） 中方法則非常簡(jiǎn)單。解：先化為圓的一般式方程：2 1x2 + y2 + x + -v = 0（3）3 32 1由一得：（3）x + （ 1）y = 0即7x-4y=0o此為所求直線方程?！纠?】求過(guò)直線2x+y+4=0和圓x2 + y2 + 2x -4y + 1 = 0的交點(diǎn),口過(guò)原點(diǎn)的圓方程。解：根據(jù)（3）,設(shè)所求圓的方程為：x2 4- y2 + 2x - 4y + 1 + 入（2x + y + 4） = 0。即x?+y2+2（1 +九）x + （入一4）y + （l + 4入）=0 ,因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，所以1+4九=0,得九=1o4故所求圓的方程為：x2 + y2 + x

8、 - y = 0 o24三.橢圓系? 2 2 2（1）與橢圓冷+當(dāng)=1 （半焦距為c）共焦點(diǎn)的橢圓系方程：+ - = 1 （ x >c2） a2 b2x x-c2與橢圓$ +待1具有相同離心率的橢圓系方程為令+令眾（x >0）.【例6】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -3）,且與橢圓9x2+4y2 = 36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。 解：因已知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且c2=5,2 2則可設(shè)所求橢圓方程為：+=1九 九+ 549乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -3）,代入方程得：- + - = 1,解得：九=10或九=一2 （舍去）九九+ 52 2【例7】求與橢圓+厶=1有相同離心率冃經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 侖）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

9、43解：由題意，設(shè)所求橢圓方程為2 2+=t（t>0）o4 3丁橢圓過(guò)點(diǎn)（2, y/i ）,故 1= （= 2。432 2故所求的橢圓方程是 二+l=1。8 6三.雙曲線系2 2x +c2 -x(0< x <c2=（1）與雙曲線罕-斗=1共焦點(diǎn)的雙曲線系方程: b_2 2 2 2（2）與雙曲線于計(jì)1共漸近線的雙曲線系方程為于計(jì)入（心°）（3）籌軸雙曲線系方程為：x2-y2= x （入h0）2 2【例8】求與雙曲線話_計(jì)1共漸近線且過(guò)點(diǎn)a （2心）的雙啊方程。分析：一般解法是分類(lèi)討論，還需解方程組。利用(2)可簡(jiǎn)化運(yùn)算。解：設(shè)所求雙曲線方程為:- = x (心0)169因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)a ( 23-3 ),1? qi丿斤以=九,九=o16 94所求雙曲線方程為：- =-1694即1。94后記：應(yīng)用dli線系方程不當(dāng)時(shí)也會(huì)失效?！纠?求以圓x2+y2=5與拋物線y2=4x的公共弦為直徑的圓的方程。分析：常規(guī)解法是：x/y p解得 v2 = 4xx = 1yi =2llhx2=1y2 =-2得圓方程：(x 1) 2+y2=4若用曲線系方程思想，則可構(gòu)造方程為(x2+y25) + 入(y24x) =0 (*)即 x2+(l+ 入)y24x x5 = 0o則入=0時(shí)為圓方程，顯然為己知圓，不是所求圓。錯(cuò)誤原因分析