統(tǒng)考版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)案理含解析2021（精編版）

1、第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【知識重溫】一、必記3 個知識點1分類加法計數(shù)原理完成一件事有n 類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第n 類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有n_種不同的方法2分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要分成n 個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，完成第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有n_種不同的方法3兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及_的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與_有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的 任

2、一 種 方 法 都 可 以 完 成 這 件 事 ； 分 步 乘 法 計 數(shù) 原 理 與 _ 有 關(guān) ， 各 個 步 驟_，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成二、必明2 個易誤點1分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的2分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的【小題熱身】一、判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同() (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事() (3)在分步乘法計數(shù)原理中

3、，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的() (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事 () 二、教材改編2已知集合m1， 2,3 ，n4,5,6， 7 ，從 m，n 這兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是() a12b8c6d 4 3. 如圖，從 a 城到 b 城有 3 條路；從 b 城到 d 城有 4 條路；從 a 城到 c 城有 4 條路，從 c城到 d 城有 5 條路，則某旅客從a 城到 d 城共有 _條不同的路線三、易錯易混4已知 a，b2,3,4,5,6,7,

4、8,9 ，則 logab 的不同取值個數(shù)為_5某項測試要過兩關(guān)，第一關(guān)有3 種測試方案，第二關(guān)有5 種測試方案，某人參加該項測試，不同的測試方法種數(shù)為() a35 b35 c35d53四、走進高考62020 山東卷 6 名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1 個場館，甲場館安排1 名，乙場館安排2 名，丙場館安排3 名，則不同的安排方法共有() a120 種b90 種c60 種d 30 種考點一分類加法計數(shù)原理自主練透型 12021 湘贛十四校聯(lián)考有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5 名同學(xué)只會用綜合法證明，有3 名同學(xué)只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1 名同學(xué)證明

5、這個問題，不同的選法種數(shù)為() a8b15c18d30 2橢圓x2my2n1 的焦點在x 軸上，且 m1,2,3,4,5 ，n1,2,3,4,5,6,7 ，則這樣的橢圓的個數(shù)為 _3如圖，從a 到 o 有_種不同的走法 (不重復(fù)過一點)悟 技法1.分類加法計數(shù)原理的實質(zhì)分類加法計數(shù)原理針對的是“分類 ”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，每類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事2使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則有時分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個，但不論是以哪一個為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“ 標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏 ”的原則 . 考點二分步乘法計數(shù)原理自主練透型 4201

6、6 全國卷 如圖，小明從街道的e 處出發(fā)，先到f 處與小紅會合，再一起到位于g 處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為() a24 b18 c12 d9 5用 0,1， 9 十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為() a243 b252 c 261 d279 62021 河北定州模擬將“?！薄暗摗薄皦邸比齻€字填入如圖所示的44 小方格中，每個小方格內(nèi)只能填入一個字，且任意兩個字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有() a.288 種b144 種c 576 種d96 種悟 技法1.分步乘法計數(shù)原理的實質(zhì)分類乘法計數(shù)原理針對的是“分步 ”問題，完成一件事要分為若

7、干步，各個步驟相互依存，完成其中的任何一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事2使用分步乘法計數(shù)原理的原則(1)明確題目中的 “完成這件事 ” 是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù). 考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用互動講練型 考向一：計數(shù)問題例 1用 0,1,2,3,4,5,6 這 7 個數(shù)字可以組成_個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答 ) 悟 技法(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解

8、決問題時，一般是先分類再分步，在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理(2)注意對較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化. 考向二：涂色問題例 2現(xiàn)有 5 種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是() a120 b140 c240 d260 悟 技法解決涂色問題(1)要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞?2)切實選擇好分類標(biāo)準(zhǔn)，分清哪些可以同色，哪些不同色. 變式練 (著眼于舉一反三) 1用數(shù)字 0,1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000 大

9、的偶數(shù)共有 () a144 個b120 個c96 個d72 個2. 如圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法() a24 b72 c84 d120 第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【知識重溫】m1 m2 mnm1m2 mn完成一件事情分類分步相互依存【小題熱身】1答案： (1)(2)(3)(4)2解析： 分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3 種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2 種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是326，故選 c. 答案： c 3解析： a

10、 城到 b 城到 d 城共有 3412(條)，a 城到 c 城到 d 城共有 4 520(條)，a 城到 d 城共有 122032(條)答案： 32 4解析： (a，b)的不同的取值共有64 個，其中l(wèi)ogab1 有 8 個， logab2 有 2 個， logab12有 2 個， logab log23 有 2 個，logablog32 有 2 個，則不同取值的個數(shù)為64 71111 53. 答案： 53 5解析： 根據(jù)題意，某人參加該項測試，第一關(guān)有3 種測試方案，即有3 種測試方法，第二關(guān)有5 種測試方案，即有5 種測試方法，則有35 種不同的測試方法答案： b 6解析： c16c25c

11、3360. 答案： c 課堂考點突破考點一1解析： 由題意知本題是一個分類計數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有 5 種選法，二是用分析法證明，有3 種選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有35 8 種選法，故選a. 答案： a 2解析： 因為焦點在x 軸上， mn，以m 的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為四類：第一類：m5時，使 mn，n 有 4 種選擇；第二類：m4 時，使 mn，n 有 3 種選擇；第三類：m3 時，使 mn，n 有 2 種選擇；第四類：m2 時，使 mn，n 有 1 種選擇由分類加法計數(shù)原理，符合條件的橢圓共有10 個答案： 10 3解析： 分 3 類：第一類，直接由a 到 o，

12、有 1 種走法；第二類，中間過一個點，有abo 和 aco2 種不同的走法；第三類，中間過兩個點，有abco 和 acbo2 種不同的走法由分類加法計數(shù)原理可得共有1225(種)不同的走法答案： 5 考點二4解析： 本題以實際生活為背景，考查乘法計數(shù)原理從e 到 f，每條東西向的街道被分成 2 段，每條南北向的街道被分成2 段，從 e 到 f 最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2 段方向相同，另2 段方向相同，每種最短走法，即是4 段中選出2 段走東向的，選出 2 段走北向的，故共有走法c24c226 種同理從f 到 g，最短的走法，有c13c223 種小明到老年公寓可以選擇的最短路徑

13、條數(shù)為6 318.故選 b. 答案： b 5解析： 由分步乘法計數(shù)原理知：用0,1，9 十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字 )的個數(shù)為 910 10900，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為998648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900648252，故選 b. 答案： b 6解析： 依題意可分為以下3 步： (1)先從 16 個格子中任選一格放入第一個字，有16 種方法； (2)因為任意兩個字既不同行也不同列，所以第二個字有9 個格子可以放，有9 種方法；(3)第三個字有4 個格子可以放，有4 種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的填寫方法有1694576(種)故選 c. 答案： c 考點三例

14、 1解析： 要完成的 “一件事 ”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為 0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步第 1 類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5 中的任意一個時，個位數(shù)字可取0,2,4,6 中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有34 54240(種)取法第 2 類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6 中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有33

15、54180(種)取法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可以組成240180420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)答案： 420 例 2解析： 由題意， 先涂 a 處共有 5 種涂法， 再涂 b 處有 4 種涂法，最后涂c 處，若 c處與 a 處所涂顏色相同，則c 處共有 1 種涂法， d 處有 4 種涂法；若c 處與 a 處所涂顏色不同，到 c 處有 3 種涂法， d 處有 3 種涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(種)，故選 d. 答案： d 變式練1解析： 由題意可得，比40 000 大的五位數(shù)萬位只能是4 或 5，當(dāng)萬位是4 時，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個位只能從0 或 2 中任選一個，其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個，有 24 3248(種)情況；當(dāng)萬位是5 時，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個位只能從0,2 或 4 中任選一個，其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個，有343272(種)情況；由分類加法計數(shù)原理可得，滿足題