2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(廣東卷)理

1、1 / 15 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷廣東卷) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科) 本試卷共 4 頁,21小題,滿分 150 分?？荚囉脮r(shí) 120分鐘。 注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。用 2b 鉛筆將試卷類型(a)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。 2.選擇題每小題選出答案后,用 2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答

2、題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.作答選做題時(shí),請先用 2b鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點(diǎn),再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效。 5.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。 參考公式:臺體的體積公式 v=13(s1+12+s2)h,其中 s1,s2分別表示臺體的上、下底面積,h表示臺體的高. 一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5分,滿分 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2013 廣東,理 1)設(shè)集合 m=x|x2+2x=0

3、,xr,n=x|x2-2x=0,xr,則 mn=( ). a.0 b.0,2 c.-2,0 d.-2,0,2 答案:d 解析:m=-2,0,n=0,2, mn=-2,0,2. 2 / 15 2.(2013 廣東,理 2)定義域?yàn)?r的四個(gè)函數(shù) y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( ). a.4 b.3 c.2 d.1 答案:c 解析:y=x3,y=2sin x 為奇函數(shù);y=x2+1 為偶函數(shù); y=2x為非奇非偶函數(shù).所以共有 2 個(gè)奇函數(shù),故選 c. 3.(2013 廣東,理 3)若復(fù)數(shù) z滿足 iz=2+4i,則在復(fù)平面內(nèi),z 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ).

4、 a.(2,4) b.(2,-4) c.(4,-2) d.(4,2) 答案:c 解析:由 iz=2+4i,得 z=2+4=(2+4)(-)(-)=4-2i, 故 z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-2). 4.(2013 廣東,理 4)已知離散型隨機(jī)變量 x 的分布列為 x 1 2 3 p 35 310 110 則 x 的數(shù)學(xué)期望 e(x)=( ). a.32 b.2 c.52 d.3 答案:a 解析:e(x)=135+2310+3110=1510=32. 5.(2013 廣東,理 5)某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是( ). 3 / 15 a.4 b.143 c.163 d.6 答案:b 解

5、析:方法一:由三視圖可知,原四棱臺的直觀圖如圖所示, 其中上、下底面分別是邊長為 1,2的正方形,且 dd1面 abcd,上底面面積 s1=12=1,下底面面積 s2=22=4. 又dd1=2, v臺=13(s1+s1s2+s2)h =13(1+1 4+4) 2=143. 方法二:由四棱臺的三視圖,可知原四棱臺的直觀圖如圖所示. 在四棱臺 abcd-a1b1c1d1中,四邊形 abcd與四邊形 a1b1c1d1都為正方形, 4 / 15 ab=2,a1b1=1, 且 d1d平面 abcd,d1d=2. 分別延長四棱臺各個(gè)側(cè)棱交于點(diǎn) o, 設(shè) od1=x,因?yàn)閛d1c1odc, 所以od1od=

6、d1c1dc,即xx+2=12,解得 x=2. vabcd-a1b1c1d1=v棱錐o-abcd-v棱錐 o-a1b1c1d1 =13 2 2 4-13 1 1 2=143. 6.(2013 廣東,理 6)設(shè) m,n是兩條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是( ). a.若 ,m,n,則 mn b.若 ,m,n,則 mn c.若 mn,m,n,則 d.若 m,mn,n,則 答案:d 解析:選項(xiàng) a 中,m與 n還可能平行或異面,故不正確; 選項(xiàng) b中,m與 n還可能異面,故不正確; 選項(xiàng) c中,與 還可能平行或相交,故不正確; 選項(xiàng) d中,m,mn,n. 又 n,.故選 d. 7

7、.(2013 廣東,理 7)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 c 的右焦點(diǎn)為 f(3,0),離心率等于32,則 c的方程是( ). a.x24y25=1 b.x24y25=1 c.x22y25=1 d.x22y25=1 答案:b 5 / 15 解析:由曲線 c的右焦點(diǎn)為 f(3,0),知 c=3. 由離心率 e=32,知ca=32,則 a=2,故 b2=c2-a2=9-4=5, 所以雙曲線 c 的方程為x24y25=1. 8.(2013 廣東,理 8)設(shè)整數(shù) n4,集合 x=1,2,3,n,令集合 s=(x,y,z)|x,y,zx,且三條件xyz,yzx,zxy 恰有一個(gè)成立.若(x,y,z)和(z,w

8、,x)都在 s 中,則下列選項(xiàng)正確的是( ). a.(y,z,w)s,(x,y,w)s b.(y,z,w)s,(x,y,w)s c.(y,z,w)s,(x,y,w)s d.(y,z,w)s,(x,y,w)s 答案:b 解析:由(x,y,z)s,不妨取 xyz, 要使(z,w,x)s,則 wxz或 xzw. 當(dāng) wxz 時(shí),wxyz, 故(y,z,w)s,(x,y,w)s. 當(dāng) xzw時(shí),xyzw,故(y,z,w)s,(x,y,w)s. 綜上可知,(y,z,w)s,(x,y,w)s. 二、填空題:本大題共 7 小題,考生作答 6 小題,每小題 5分,滿分 30 分. (一)必做題(913題) 9

9、.(2013 廣東,理 9)不等式 x2+x-20的解集為 . 答案:x|-2x1 解析:x2+x-20即(x+2)(x-1)0, 解得-2x1,故原不等式的解集為x|-2x4,故 s=7. 12.(2013 廣東,理 12)在等差數(shù)列an中,已知 a3+a8=10,則 3a5+a7= . 答案:20 解析:因?yàn)閿?shù)列an的等差數(shù)列, 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a3+a8=a5+a6=a4+a7=10. 所以 3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2 10=20. 13.(2013 廣東,理 13)給定區(qū)域 d:x + 4y 4,x + y 4,x 0.令點(diǎn)集 t=(x0,y0

10、)d|x0,y0z,(x0,y0)是 z=x+y在 d上取得最大值或最小值的點(diǎn),則 t中的點(diǎn)共確定 條不同的直線. 答案:6 7 / 15 解析:由區(qū)域 d:x + 4y 4,x + y 4,x 0,畫出可行域如圖所示. 滿足條件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0), 故 t 中的點(diǎn)共確定 6條不同的直線. (二)選擇題(1415 題,考生只能從中選做一題) 14.(2013 廣東,理 14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線 c的參數(shù)方程為x = 2t,y = 2t(t為參數(shù)),c在點(diǎn)(1,1)處的切線為 l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸的正半

11、軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則 l的極坐標(biāo)方程為 . 答案:sin( +4) = 2 解析:曲線 c的參數(shù)方程為x = 2t,y = 2t(t為參數(shù)), 其普通方程為 x2+y2=2. 又點(diǎn)(1,1)在曲線 c上,切線 l的斜率 k=-1. 故 l的方程為 x+y-2=0,化為極坐標(biāo)方程為 cos +sin =2,即 sin( +4) = 2. 15.(2013 廣東,理 15)(幾何證明選講選做題)如圖,ab是圓 o的直徑,點(diǎn) c 在圓 o上.延長 bc 到 d使bc=cd,過 c作圓 o的切線交 ad于 e.若 ab=6,ed=2,則 bc= . 答案:23 8 / 15 解析:連接 oc.ab

12、 為圓 o的直徑,acbc. 又 bc=cd,ab=ad=6,bac=cad. 又 ce為圓 o的切線,則 occe. ace為弦切角,ace=b. ace+cad=90 .cead. 又 accd,cd2=edad=2 6=12, 即 cd=23.bc=23. 三、解答題:本大題共 6 小題,滿分 80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16.(2013 廣東,理 16)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x)=2cos(x-12),xr. (1)求 f(-6)的值; (2)若 cos =35,(32,2),求 f(2 +3). 解:(1)f(-6) = 2cos(-6-12)

13、=2cos(-4) = 2cos 4=1. (2)f(2 +3) = 2cos(2 +3-12) =2cos(2 +4)=cos 2-sin 2. 因?yàn)?cos =35,(32,2),所以 sin =-45. 9 / 15 所以 sin 2=2sin cos =-2425,cos 2=cos2-sin2=-725. 所以 f(2 +3)=cos 2-sin 2 =-725 (-2425) =1725. 17.(2013 廣東,理 17)(本小題滿分 12 分)某車間共有 12 名工人,隨機(jī)抽取 6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù). (1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均

14、值; (2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間 12名工人中有幾名優(yōu)秀工人? (3)從該車間 12名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名優(yōu)秀工人的概率. 解:(1)樣本均值為17+19+20+21+25+306=1326=22. (2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為26=13,故推斷該車間 12 名工人中有 1213=4名優(yōu)秀工人. (3)設(shè)事件 a:從該車間 12名工人中,任取 2 人,恰有 1名優(yōu)秀工人,則 p(a)=4181122=1633. 18.(2013 廣東,理 18)(本小題滿分 14 分)如圖(1),在等腰直角三角形 abc 中,a=90 ,

15、bc=6,d,e分別是 ac,ab上的點(diǎn),cd=be=2,o為 bc 的中點(diǎn).將ade沿 de折起,得到如圖(2)所示的四棱錐a bcde,其中 ao=3. 圖(1) 10 / 15 圖(2) (1)證明:ao平面 bcde; (2)求二面角 a cd b 的平面角的余弦值. 解:(1)由題意,得 oc=3,ac=32,ad=22. 如圖,連結(jié) od,oe,在ocd中, 由余弦定理可得 od=o2+ c2-2occd45 = 5. 由翻折不變性可知 ad=22, 所以 ao2+od2=ad2,所以 aood. 同理可證 aooe,又 odoe=o, 所以 ao平面 bcde. (2)傳統(tǒng)法:過

16、 o作 ohcd交 cd 的延長線于 h,連結(jié) ah, 因?yàn)?ao平面 bcde,所以 ahcd. 所以aho 為二面角 a cd b 的平面角. 結(jié)合題圖(1)可知,h為 ac中點(diǎn),故 oh=322,從而 ah=oh2+ oa2=302, 所以 cosaho=ohah=155. 所以二面角 a-cd-b 的平面角的余弦值為155. 向量法:以 o點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 o-xyz如圖所示. 11 / 15 則 a(0,0,3),c(0,-3,0),d(1,-2,0), 所以ca =(0,3,3),da =(-1,2,3). 設(shè) n=(x,y,z)為平面 acd 的法向量, 則n = 0

17、,n = 0, 即3y + 3z = 0,-x + 2y + 3z = 0,解得y = -x,z = 3x. 令 x=1,得 n=(1,-1,3). 由(1)知,oa =(0,0,3)為平面 cdb的一個(gè)法向量, 所以 cos=n |n| | =353=155, 即二面角 a-cd-b的平面角的余弦值為155. 19.(2013 廣東,理 19)(本小題滿分 14分)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn.已知 a1=1,2snn=an+1-13n2-n-23,nn*. (1)求 a2的值; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)證明:對一切正整數(shù) n,有1a1+1a2+1an74. 解:(1)依題意

18、,2s1=a2-13-1-23, 又 s1=a1=1,所以 a2=4. (2)當(dāng) n2時(shí),2sn=nan+1-13n3-n2-23n, 12 / 15 2sn-1=(n-1)an-13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1), 兩式相減得 2an=nan+1-(n-1)an-13(3n2-3n+1)-(2n-1)-23, 整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1), 即an+1n+1ann=1.又a22a11=1, 故數(shù)列ann是首項(xiàng)為a11=1,公差為 1 的等差數(shù)列, 所以ann=1+(n-1) 1=n.所以 an=n2. (3)當(dāng) n=1時(shí),1a1=174; 當(dāng) n=2時(shí),1a1+

19、1a2=1+14=5474; 當(dāng) n3時(shí),1an=1n21(n-1)n=1n-11n, 此時(shí)1a1+1a2+1an=1+14+132+142+1n21+14+ (12-13) + (13-14)+(1n-1-1n) =1+14+121n=741n74. 綜上,對一切正整數(shù) n,有1a1+1a2+1an0)到直線 l:x-y-2=0 的距離為322.設(shè) p為直線 l上的點(diǎn),過點(diǎn) p 作拋物線 c的兩條切線 pa,pb,其中 a,b為切點(diǎn). (1)求拋物線 c的方程; (2)當(dāng)點(diǎn) p(x0,y0)為直線 l上的定點(diǎn)時(shí),求直線 ab 的方程; (3)當(dāng)點(diǎn) p 在直線 l上移動時(shí),求|af| |bf|

20、的最小值. 解:(1)依題意,設(shè)拋物線 c的方程為 x2=4cy, 13 / 15 由|0-c-2|2=322,結(jié)合 c0,解得 c=1. 所以拋物線 c 的方程為 x2=4y. (2)拋物線 c 的方程為 x2=4y,即 y=14x2,求導(dǎo)得 y=12x, 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2)(其中y1=x124,y2=x224), 則切線 pa,pb的斜率分別為12x1,12x2, 所以切線 pa的方程為 y-y1=x12(x-x1), 即 y=x12x-x122+y1,即 x1x-2y-2y1=0, 同理可得切線 pb的方程為 x2x-2y-2y2=0, 因?yàn)榍芯€ pa,pb 均過點(diǎn)

21、p(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0. 所以(x1,y1),(x2,y2)為方程 x0 x-2y0-2y=0的兩組解. 所以直線 ab 的方程為 x0 x-2y-2y0=0. (3)由拋物線定義可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1, 所以|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1. 聯(lián)立方程x0 x-2y-2y0= 0,x2= 4y, 消去 x 整理得 y2+(2y0-x02)y+y02=0. 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02, 所以|af|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+ x02-2y0+1. 又點(diǎn) p(x0,y0)在直線 l上,所以 x0=y0+2. 所以y02+ x02-2y0+1=2y02+2y0+5 =2(y0+12)2+92. 14 / 15 所以當(dāng) y0=-12時(shí),|af|bf|取得最小值,且最小值為92. 21.(2013 廣東,理 21)(本小題滿分 14 分)設(shè)函數(shù) f(x)=(x-1)ex-kx2(kr). (1)當(dāng) k=1時(shí),求函數(shù)