小學數(shù)學典型應用題-問題與答案

1、第一章行程問題1、相遇問題2、追及問題3 行船問題4列車問題5時鐘問題第二章分數(shù)問題1 工程問題2百分數(shù)問題3存款利率問題4溶液濃度問題5商品利潤問題第三章比例問題1、歸一問題2、歸總問題3正反比例問題4 按比例分配問題5、盈虧問題第四章和差倍比問題1和差問題2和倍問題3. 差倍問題4倍比問題5年齡問題第五章植樹與方陣問題1植樹問題2方陣問題第六章雞兔同籠問題第七章條件最值問題1公約公倍問題2最值問題第八章還原問題第九章列方程問題第十章“牛吃草”問題第十一章數(shù)學游戲1構圖布數(shù)問題2幻方問題3抽屜原則問題第一章行程問題1、相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用

2、題叫做相遇問題?！緮?shù)量關系】相遇時間總路程÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時間【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路長 392 千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行 28 千米，從上海開出的船每小時行 21 千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？例 2甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15 千米，乙每小時行 13 千米，兩人在距中點 3 千米處相遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點 3 千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點 3 千米，乙距中點

3、3 千米，就是說甲比乙多走的路程是（ 3×2）千米，因此，相遇時間（ 3×2）÷（ 1513） 3（小時）兩地距離（ 1513）× 384（千米）答：兩地距離是 84 千米。2、追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關系】追及時間追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變

4、通后利用公式。例 1好馬每天走 120 千米，劣馬每天走75 千米，劣馬先走12 天，好馬幾天能追上劣馬？例 2甲、乙二人練習跑步，若甲讓乙先跑10 米，則甲跑 5 秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2 秒鐘，則甲跑 4 秒鐘就能追上乙 .問：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲讓乙先跑 10 米，則 10 米就是甲、乙二人的路程差， 5 秒就是追及時間，據(jù)此可求出他們的速度差為 10÷ 5=2（米 /秒）；若甲讓乙先跑 2 秒，則甲跑 4 秒可追上乙，在這個過程中，追及時間為 4 秒，因此路程差就等于 2×4=8（米），也即乙在 2 秒內(nèi)跑了 8 米，所以可求出乙的速度，也可求出

5、甲的速度 .綜合列式計算如下：解： 乙的速度為： 10÷5× 4÷ 2=4（米 /秒）甲的速度為： 10÷5+4=6（米 /秒）答：甲的速度為6 米/秒，乙的速度為4 米 /秒.例 3 幸福村小學有一條200 米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6 米，晶晶每秒鐘跑4 米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？分析 這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致.因此，當冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長（200 米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是

6、，根據(jù)追及問題的基本關系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程.解： 冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：200÷（ 6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應為：6×100=600（米）晶晶第一次被追上時所跑的路程：4× 100=400（米）冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)：（600×2）÷ 200=6（圈）晶晶第 2 次被追上時所跑的圈數(shù)：（400×2）÷ 200=4（圈）答：略 .解答封閉路線上的追及問題，關鍵是要掌握從并行到下次追及的路程差恰是一圈的長度.3 行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解

7、答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。順水速度 =船速 +水速，逆水速度 =船速 -水速 .【數(shù)量關系】（順水速度逆水速度）÷2船速（順水速度逆水速度）÷2水速順水速船速× 2逆水速逆水速水速×2逆水速船速× 2順水速順水速水速×2船速 水速順水速度逆水速度，其中三個的關系【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例 1 某船在靜水中的速度是每小時15 千米，它從上游甲地開往下游乙地共花

8、去了8 小時，水速每小時3 千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？例2.已知一條小船，順水航行60 千米需 5 小時，逆水航行 72 千米需 9 小時?，F(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是 96 千米，開船時，船夫扔了一塊木板到水里，當船到乙城時，木板離乙城還有多遠？順水航行 60 千米需 5 小時順水速度： 60÷5=12逆水航行 72 千米需 9 小時逆水速度： 72÷9=8水流速度：（ 12-8）÷2=2現(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是板到水里，當船到乙城時，木板離乙城還有多遠？ 96-2 ×（ 96÷1

9、2）=8096 千米，開船時，船夫扔了一塊木小船從上游甲城到下游乙城： （96÷12）木板行的距離2×（96÷12）例 3.一摩托車頂風行 40 千米用了 2 小時，風速為每小時 2 千米，則這輛摩托車行駛時每小時行多少千米？4 列車問題【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）÷車速火車追及：追及時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。將列車簡縮為一個點例

10、 1 一座大橋長 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。這列火車長多少米？解火車 3 分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車 3 分鐘行多少米？900×32700（米）（2）這列火車長多少米？27002400300（米）列成綜合算式900×32400 300（米）答：這列火車長300 米。例 2 一列火車穿越一條長2000 米的隧道用了 88 秒，以同樣的速度通過一條長1250 米的大橋用了秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？58解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道

11、比大橋長?？芍疖囋冢?858）秒的時間內(nèi)行駛了（ 2000 1250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（20001250）÷（ 8858） 25（米）進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為25×58 1250 200（米）答：這列火車的車速是每秒25 米，車身長 200 米。例3一列快車長 184 米，一列慢車長168 米，兩車相向而行，從相遇到離開需4 秒鐘，如果同向而行，從快車追及慢車到離開，需16 秒種，問快車和慢車速度各是多少？解、由于兩車兩車相向而行，從相遇到離開所行的距離為兩車的長度和184+168=352 米，用時 4 秒，則兩車

12、的速度和為352÷4=88 米/秒；如果同向而行， 從快車追用慢車到離開的追及距離同為兩車的長度為 352 米，用時 16 秒，則兩車的速度差為 352÷16=22 米/秒根據(jù)和差問題公式可知，快車的速度為：（88+22）÷2=55 米/秒慢車為 55-22=33 米/秒例 4 一列長 225 米的慢車 以每秒 17 米的速度行駛，一列長 140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（ 225 140）米，而快車比慢車每秒多行（ 22 17）米，因此，所求的時間為（225 140）

13、7;（ 2217） 73（秒）答：需要 73 秒。5 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為 60 度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關系】分針的速度是時針的12 倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格，分針的速度是 1；時針每小時走 5 格，每分鐘走 5/601/12 格。速度是 1【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。12例 1.從時針指向4 點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格

14、，每小時走60 格；時針每小時走5 格，每分鐘走5/60 1/12 格。每分鐘分針比時針多走（ 11/12） 11/12 格。 4 點整，時針在前，分針在后，兩針相距 20 格。所以分針追上時針的時間為20÷（ 1 1/12） 22（分）答：再經(jīng)過 22 分鐘時針正好與分針重合。例 2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時候相差 15 格（包括分針在時針的前或后 15 格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（ 5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5×415）

15、格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×415）格。再根據(jù) 1 分鐘分針比時針多走（ 11/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5×415）÷（ 11/12） 6（分）（5×415）÷（ 11/12） 38（分）答： 4 點 06 分及 4 點 38 分時兩針成直角。例 3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解 六點整的時候，分針在時針后（ 5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（ 11/12） 33（分）答： 6 點 33 分的時候分針與時針重合

16、例 4 一只鐘的時針與分針均指在 4 與 6 之間，且鐘面上的“ 5”字恰好在時針與分針的正中央，問這時是什么時刻？分析 由于現(xiàn)在可以是 4 點多，也可以是5 點多，所以分兩種情況進行討論：先設此時是 4 點多：4 點整時，時針指 4，分針指 12.從 4 點整到現(xiàn)在“ 5 在時針與分針的正中央” ，分針走的格數(shù)多于25，少于 30，時針走不足 5 格.由于 5 到分針的格數(shù)等于 5 到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間內(nèi)共走 30 格.時針和分針的路程和是 30，除以速度和，可得時間。再設此時是 5 點多：5 點整時，時針指 5，分針指 12.從 5 點整到現(xiàn)在“ 5 在時針與分針的正中央

17、” ，分針走的格數(shù)多于 20 格少于 25 格，時針走的格數(shù)不足 5 格，由于 5 到分針的格數(shù)等于 5 到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間內(nèi)共走 25 格.因此，時針和分針的路程和是 25，除以速度和，可得時間。第二章分數(shù)問題1 工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程” 、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“ 1”表示工作總量?！緮?shù)量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾） ，

18、進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量工作效率×工作時間工作時間工作量÷工作效率工作時間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式例 1 一件工作，甲獨做 12 小時完成， 乙獨做 10 小時完成，丙獨做 15 小時完成。現(xiàn)在甲先做 2 小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為 12、10、和 15 的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù) 60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷1

19、2 560÷10660÷15 4因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（ 64） 5（小時）答：還需要 5 小時才能完成。例 2一批零件，甲獨做6 小時完成，乙獨做個，求這批零件共有多少個？8 小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24解 設總工作量為 1，則甲每小時完成 1/6，乙每小時完成 1/8，甲比乙每小時多完成（ 1/61/8），二人合做時每小時完成（ 1/61/8）。因為二人合做需要 1÷（ 1/61/8）小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24 個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？24÷ 1÷（

20、 1/61/8） 7（個）（2）這批零件共有多少個？7÷（ 1/6 1/8） 168（個）答：這批零件共有168 個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的1/7所以，這批零件共有24÷1/7168（個）例 3一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4 個進水管時，需要 5 小時才能注滿水池；當打開2 個進水管時，需要15 小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當

21、于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要 2 小時內(nèi)將水池注滿，即要使 2 小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水） 。只要設某一個量為單位 1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為 1，則 4 個進水管 5 小時注水量為（ 1×4×5），2 個進水管 15小時注水量為（ 1×2×15），從而可知每小時的排水量為（ 1× 2×151×4×5）÷（ 155） 1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。

22、由此可知一池水的總工作量為1×4×51×515又因為在 2 小時內(nèi)，每個進水管的注水量為1×2，所以， 2 小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？（151×2）÷（ 1×2） 8.59（個）答：至少需要 9 個進水管。2 百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率” ；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個

23、概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮?shù)量關系】掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關系：百分數(shù)比較量÷標準量標準量比較量÷百分數(shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例 1.紅旗化工廠有男職工 420 人，女職工 525 人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？例 2 一桶水，用去 70%后，又向桶里倒入 10 千克的水，這是桶內(nèi)的水正好是原來整桶水的一半，原來一桶水有

24、多少千克？例 3.果品公司儲存一批蘋果， 售出這批蘋果的 30后，又運來 160 箱，這時比原來儲存的蘋果多 1/10 ，這時有蘋果多少箱？3 存款利率問題【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)?！緮?shù)量關系】 年（月）利率利息÷本金÷存款年（月）數(shù)× 100% 利息本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率本利和本金利息本金×1年（月）利率×存款年（月）數(shù)【解題思路和方法】

25、簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例 1 李大強存入銀行 1200 元，月利率 0.8%，到期后連本帶利共取出 1488 元，求存款期多長。解 因為存款期內(nèi)的總利息是（ 1488 1200）元，所以總利率為 （ 1488 1200）÷ 1200 又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為 （14881200）÷ 1200÷0.8%30（月）答：李大強的存款期是30 月即兩年半。例 2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年期 9%。如果甲乙二人同時各存入 1 萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五

26、年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？解 甲的總利息10000×7.92%× 2 10000×（ 17.92%× 2）× 8.28%×3 158411584×8.28%× 3 4461.47（元）乙的總利息10000×9%×54500（元）45004461.47 38.53（元）答：乙的收益較多，乙比甲多38.53 元。4 溶液濃度問題【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解

27、的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關系】溶液溶劑溶質濃度溶質÷溶液× 100%【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。例 1 爺爺有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀釋成 10%的糖水，需加水多少克？（ 2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷ 10%5030（克）（2）需要加糖多少克？ 50×（ 116%）÷（ 1 30%） 50 10（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖

28、10 克。例 2要把 30%的糖水與 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？解 假設全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出600×（ 30% 25%） 30（克）這是因為 30%的糖水多用了。 于是，我們設想在保證總重量 600 克不變的情況下， 用 15%的溶液來“換掉”一部分 30%的溶液。這樣，每“換掉” 100 克，就會減少糖 100×（30% 15%）15（克） 所以需要“換掉” 30%的溶液（即“換上” 15%的溶液） 100×（ 30÷15） 200（克）由此可知，需要15%的溶液 20

29、0 克。需要 30%的溶液600200 400（克）答：需要 15%的糖水溶液 200 克，需要 30%的糖水 400 克。例 3 甲容器有濃度為 12%的鹽水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500 克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有鹽水 500水 500鹽 500× 12% 60第一次把甲中一半 鹽水 500

30、47;2250鹽水 500250750倒入乙中后鹽 60÷230鹽 30第而次把乙中一半鹽水 250375625鹽水 750÷2375倒入甲中后鹽 3015 45鹽 30÷215第三次使甲乙中鹽水 500鹽水 500鹽水同樣多鹽 45936鹽 45361524由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24÷500 4.8% 答：乙容器中最后的百分比濃度是 4.8%。5 商品利潤問題【含義】 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關系】利潤售價進貨價利潤率（售價進貨價）÷進貨價×

31、;100%售價進貨價×（ 1利潤率）虧損進貨價售價虧損率（進貨價售價）÷進貨價×100%【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例 1 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52 元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解要知虧還是盈，得知實際售價52 元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52 元是原價的 80%，所以原價為（ 52÷ 80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為52÷80%÷（130%） 50（元）可以看出該店

32、是盈利的，盈利率為（5250）÷ 50 4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。例 2成本 0.25 元的作業(yè)本 1200 冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是 0.25×（ 1 40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即0.25×1200×40%×86

33、% 0.25×1200×40%×80% 7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊盈利7.20÷ 1200×（ 1 80%） 0.03（元）又可知（0.25 0.03）÷ 0.25×（ 1 40%） 80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例 3 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜 10%，甲店按 30%的利潤定價，乙店按 20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴 6 元，求乙店的定價。解設乙店的進貨價為 1，則甲店的進貨價為 110% 0.9 甲店定價為 0.9×（ 130%） 1.17乙店定價為1

34、5;（ 120%） 1.20由此可得乙店進貨價為6÷（ 1.20 1.17） 200（元）乙店定價為200×1.2240（元）答：乙店的定價是240 元。第三章比例問題1、歸一問題【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量） ，然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關系】總量÷份數(shù) 1 份數(shù)量1 份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。例 1 一個糧食加工廠要磨面粉 20000 千克， 3 小時磨了 6000 千克

35、 .照這樣計算，磨完剩下的面粉還要幾小時？例 2 某車間要加工一批零件，原計劃由 18 人，每天工作 8 小時， 7.5 天完成任務 .由于縮短工期，要求4 天完成任務，可是又要增加6 人.求每天加班工作幾小時？例 3 學校買來一些足球和籃球 .已知買 3 個足球和 5 個籃球共花了 281 元；買 3 個足球和 7 個籃球共花了 355 元 .現(xiàn)在要買 5 個足球、 4 個籃球共花多少元？2、歸總問題【含義】 解題時，常常先找出“總數(shù)量” ，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。【數(shù)量關系

36、】1 份數(shù)量×份數(shù)總量總量÷ 1 份數(shù)量份數(shù)總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量例 1 小華每天讀 24 頁書，12 天讀完了紅巖一書。小明每天讀 36 頁書，幾天可以讀完 紅巖？例 2 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃 50 千克， 30 天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？3 正反比例問題【含義】 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定） ，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

37、正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例 1 下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程與時間路程一定，速度與時間路程一定

38、，已走的路程與未走的路程總時間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個零件所用的時間總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商同時同地，竿高和影長半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積兩個齒輪嚙合轉動時轉速和齒數(shù)圓的半徑和面積(11)長方體體積一定，底面積和高(12)正方形的邊長和它的面積(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)(15)汽車行駛時每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量分析 以上每題都是兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關鍵是能否把兩個兩種形式，或只能寫出加減法關系，那么這兩

39、種量就不成比例例如×零件數(shù)總時間，總時間一定，制造每個零件用的時間與要制造的零件總數(shù)成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關系，不成比例解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13)例 2 一條路全長 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時間之比依次是456，已知他上坡的速度是每小時3 千米，問此人走完全程用了多少時間？分析要求此人走完全程用了多少時間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時行3 千米）和上坡路的路程，已知全程60

40、 千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程例 3 修一條公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的變成未修的 1/2，求這條公路總長是多少米？解 由條件知，公路總長不變。原已修長度總長度 1（ 13） 1 4 3 12現(xiàn)已修長度總長度 1（ 12） 1 3 4 12比較以上兩式可知，把總長度當作 12 份，則 300 米相當于（ 4 3）份，從而知公路總長為 300÷（ 4 3）× 123600（米）答： 這條公路總長 3600 米例 4一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A252036B16

41、解 由面積÷寬長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A36201625B20 16解這兩個比例，得A45 B20所以，大矩形面積為 45 362520 2016162答：大矩形的面積是 1624 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)比的前后項之和【

42、解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例 1學校把植樹 560 棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三個班各植樹多少棵？解總份數(shù)為474845 140一班植樹560×47/140188（棵）二班植樹560×48/140192（棵）三班植樹560×45/140180（棵）答：一、二、三班分別植樹188 棵、 192 棵、 180 棵例

43、2從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17 只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的 1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/21/31/99629621717× 9/17917× 6/17617×2/172答：大兒子分得9 只羊，二兒子分得6 只羊，三兒子分得2 只羊。5、盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈） ，一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，

44、這類應用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總人數(shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數(shù)（大盈小盈）÷分配差參加分配總人數(shù)（大虧小虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。例 1.一筐蘋果分給一些學生吃，如果每人吃4 個，要多出 48 個蘋果；如果每人吃6 個，則又（多）少8 個蘋果 .那么有多少人，多少蘋果？例 2 少先隊員去植樹 .如果每人種 5 棵，還有 3 棵沒人種；如果其中 2 人各種 4 棵，其余的人各種 6 棵，這些樹苗正好種完 .問有多少少先隊員參加植樹，

45、一共種多少樹苗？分析 這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2 人各種 4 棵，其余的人各種 6 棵，就恰好種完 .這組條件中包含著兩種種樹的情況 2 人各種 4 棵，其余的人各種 6 棵。如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種 6 棵，那么，就可以多種樹（ 6-4）×24（棵） .因此，原問題就轉化為：如果每人各種 5 棵樹苗，還有 3 棵沒人種；如果每人種 6 棵樹苗，還缺 4 棵.問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？解： 3+（6-4）× 2÷（ 6-5） 7（人）5× 7+338（棵）或 6×7-438（棵）答

46、：有 7 個少先隊員，一共種 38 棵樹。例 3參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20支， 2 個人多出 20支，一個人分得 10支。列式為（ 25-5）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 ×12+5=125 （支）。第四章和差倍比問題1 和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮?shù)量關系】大數(shù)

47、（和差）÷2小數(shù)（和差）÷2【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例 1 小明期末考試時語文和數(shù)學的平均分數(shù)是 94 分，數(shù)學比語文多 8 分，問語文和數(shù)學各得了幾分？例 2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。例 3.甲乙兩車原來共裝蘋果97 筐，從甲車取下 14 筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3 筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？2和倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍 （或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾） ，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題

48、?！緮?shù)量關系】將兩個數(shù)的關系轉換成比，按照比的關系來解決。總和 ÷（幾倍 1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例 1 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？例2甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是多少？例3一個長方形，周長是30 厘米，寬是長的2 ，求這個長方形的面積。33差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍 （或小數(shù)是大數(shù)的

49、幾分之幾） ，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關系】將兩個數(shù)的關系轉換成比，按照比的關系來解決。兩個數(shù)的差÷（幾倍 1）較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例11 班的圖書角里故事書的本書是文藝書的4 倍，故事書比文藝書多48 本，兩種書各有多少本？例 2 有兩根同樣長的繩子，第一根截去12 米，第二根接上14 米，這時第二根長度是第一根長的3 倍（第一根長度是第二根長的1 ），兩根繩子原來各長多少米？3例 3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2 倍還多 12 萬元，又知本月盈利比

50、上月盈利多 30 萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？例 4 糧庫有 94 噸小麥和 138 噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是 9 噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的 3倍？解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（ 138 94）。把幾天后剩下的小麥看作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相當于（ 31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（ 13894）÷（ 3 1） 22（噸）運出的小麥數(shù)量 94 2272（噸）運糧的天數(shù) 72÷98（天）答： 8 天以后剩下的玉米是小麥的3 倍4 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其

51、中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關系】總量÷一個數(shù)量倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關系求出要求的數(shù)。例 1今年植樹節(jié)這天，某小學300 名師生共植樹400 棵，照這樣計算，全縣48000 名師生共植樹多少棵？解（ 1） 48000 名是 300 名的多少倍？48000÷300160（倍）（2）共植樹多少棵？400×160 64000（棵）列成綜合算式400×（ 48000÷ 300） 64000（棵）例 2 鳳翔縣今年蘋果大

52、豐收，田家莊一戶人家 4 畝果園收入 11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入多少元？全縣 16000 畝果園共收入多少元？解（ 1） 800 畝是 4 畝的幾倍？800÷ 4 200（倍）（2）800 畝收入多少元？11111× 2002222200（元）（3）16000 畝是 800 畝的幾倍？16000÷ 80020（倍）（4）16000 畝收入多少元？2222200×2044444000（元）5年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關

53、系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例 1 父親現(xiàn)年 50 歲，女兒現(xiàn)年 14 歲.問：幾年前父親年齡是女兒的5 倍？例 2 在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73 歲.家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子 .父親比母親大 3 歲，女兒比兒子大2 歲.四年前家庭里所有的人的年齡總和是58 歲.現(xiàn)在家里的每個成員各是多少歲？分析 根據(jù)四年前家庭里所有的人的年齡總和是58 歲，可以求出到現(xiàn)在每個人長4 歲以后的實際年齡和是 58+4× 4=74（歲）。但現(xiàn)在實際的年齡總和只有73 歲，可見家庭成員中最小的一個兒子今年只有3 歲.女兒比兒子大2歲，女兒是 3+2=5（歲） .現(xiàn)在父母的年齡和是73-3-5=65（歲）