2020年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、a.充要條件充分b.必要不充分條件既不c.不必要條件d,充分也不必要條件2 .一個半徑為r的扇形，它的周長是4r,則這個扇形所含弓形的面積為（）b. r2ssinlcosld. (1-sin1cos1) r2 3 .已 知abc內(nèi)接于單位圓，則長為sina、sinb、sinc的三條線段（）a能構(gòu)成一個三角形，其面積大丞abc面積的一半r能構(gòu)成一個三角形，其面積等于abc面積的一半c,能構(gòu)成一個三角形，其面積小于abc面積的一半d.不一定能構(gòu)成一個三角形4,已知函數(shù) / 閏三瓶（siim）；匕（功 =sin（cosx ）,則下列說法正確的是。a憫與麗忸定義域都是mr鬧為奇函數(shù)，g（力為偶函數(shù)的值

2、c.再蕨為卜 7 川?的植域為與psinl,sinl 二、填空題（本大題共12 小題，共 36.0 分）5.已知角a的終邊在射線y=-x （x0）上，則cosa= 6,若式na =則cos2a=. 7.已知tan （tt-0） =3,則+ 曲片 - ?8已知sea=，a 6 花），則se（0, 30, 0wb ” 是“sinasab” 的( )走到d用了10分鐘，從d沿da走到a用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑oa的長約為（精確到1米） . 1 2019 15.設(shè)ar,且訂逅十 2石 = 2019, 則tan （a十a(chǎn)=?已知函數(shù)f(x)=sin2o)x-2cos2c

3、ox+1 (co0) , xer,若函數(shù)f (x)在區(qū)間沒有零點，則的取值范圍為三、解答題（本大題共5 小題，共 48.0 分）17 .已知 ,tana-cola = -d （1）求tana的值；（2）求s1力（2出一3的值 . 18 .在abc中，a, b,吩別為內(nèi)角a, b, c所對的邊，且滿（2匕一、瓦）cos4 = ? ?acosc 足,（1）求a的大?。唬?）現(xiàn)給出三個條件：a=2；b=45。；c= b 試從中選出兩個可以確定abc的條件，寫出你的選擇，并以此為依據(jù)求abc的 面積（只需寫出一個選定方案即可）19 .如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為bc的半圓形空aabc外的地方種草

4、aabc網(wǎng)的內(nèi)接正方形pqrs為一水池，其余的地方種花，若bc=1, zabc=0丘（, 城設(shè)aabc的面積為正方形的面積為s 2（1）用6表示s1和s, 向（2）當6變化時，求才勺最小值，及此時角e的大小 . 16. 20.某種波的傳播是由曲線f （x） =asin （cox+cp ） （a0）來實現(xiàn)的，我們把解析式f （x）=asin（3x+q）稱為“波”，把振幅都是a的波稱為“a類波”，把兩個波的解析式相加稱為波的疊加 . （1）已如“1類波”中的兩個波，/ 式幻=5加。 + 3與心（工） =5皿 （加后是一個“ a類波”，求a的值；（2）已知三個不同的“a類波”，從f（x） =asin

5、 （x+（p , f2（x） =asin （x+cp ） , f 3（x） =asin （x+（p公（其中cp、q 2（p3不相同），三個波疊加后是“平波 y=0,即f （3）+f （p +f （獷=0,求cos （p? （p? cys （p -sinb, 反之，vab, .-.ab, va=2rsina, b=2rsinb, ?.sinasinb 故選：a. 、r 0 匕由正弦定理知訴二砌由sinasinb,知ab,所以ab,反之亦然，故可得結(jié)論. 本題以三角形為載體，考查四種條件，解題的關(guān)鍵是正確運用正弦定理及變形.2. 【答案】d可得：s= jr= ?2rxr=r2, 可得：s jx2r

6、sin1xrcos1=sin1?cos1?r2 三角形2可得：s =s -s =r2.sjni .cos1 *r2= (1-sin1cos1) r2. 弓形 扇形三角形故選：d.通過扇形的周長，求出扇形的弧長，求出扇形的圓心角，然后求出扇形的面積，三角形的面積，即可得到這個扇形所含弓形的面積. 本題是基礎(chǔ)題，考查扇形的面積公式的應(yīng)用，弓形面積的求法，考查計算能力，注意弓形面積的求法 . 3 . 【答案】c【解析】 解：遨abc的三邊分別為a, b, c ft b c 利用正弦定理可得，,= 痂=菽=2?.a=2sina, b=2sinb, c=2sinc ?a, b, c為三角形的三邊.-.s

7、ina, sinb, sinc也能構(gòu)成三角形的邊,面積為原來三角形面積: 故選：c.設(shè)abc的三邊分別為a, b, c利用正弦定理可得，3=焉=/? = 2可得a=2sina, b=2sinb, c=2sinc由a, b, c為三角形的三邊判斷即可本題主要考查了正弦定理的變形形式a=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinc (r為三角形外接圓的半徑) 的應(yīng)用，屬于中檔試題.4 . 【答案】c【解析】 解：a. f (x)與g (x)的定義域都是r,故a錯誤 .b. f (-x) =cos (sin (-x) ) =cos (-sinx) =cos (sinx) =f (x),則f

8、(x)是偶函數(shù)，故b錯誤. 答案和解析【解析】 解：l=4r-2r=2r, a=4 c. v-isinxl, -1cosx0）, 【解析】 解：f （x） =sin2cox-2cos2cdx+1 =sin2cox-cos2cox= 由f （x） =0 得2cox-干km 即x= .+ 吊:由z, ? ?函數(shù)f（x）在區(qū)間g，江）內(nèi)沒有零點，itn| jt ?力?x=+麗/（2，兀），若五；十菰e （力兀），可frjrj n則委五升而（九，得_4k2cd-4, 若函數(shù)f（x）在區(qū)間g，兀）內(nèi)沒有零點，等價為在（3.；，23;）內(nèi)沒有整數(shù)，1 2k fr訂則至 ?g “一2二3，即0v cd1,

9、若（ 3- 不2co-4）內(nèi)有整數(shù) , 則當k=0時，由 ? ：v0v23二，得1 1 若當k=1 時, 由o-7vl2(0-7,得1 3彳w5 3彳b 即畝 3彳5 5| g即此時亦 3w1, 當k=2 時，由61223-$ 得此時 3 超出范圍 , 9 9即fcov 41 1, 1 !1 5 即若（cd-4， 2（0-彳）內(nèi)有整數(shù) , 則 3v或聲勺，1 1 1 1 5 則若（3-4，23-4）內(nèi)沒有整數(shù)，則ovcowf或whil 同15 即的取值范圍為（o,捫1與故答案為：（o, jud，1 利用倍角公式以及輔助角公式進行化簡，結(jié)合f （x）在區(qū)間弓，江）內(nèi)沒有零點，建立不等式關(guān)系進行求

10、解即可. 本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)零點問題件轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵 . 817. 【答案】 解：（1）由于 tana-cota = -?,貝 ij 有3tan2a+8tana-3=0, 解得 lana =，或tana=-3, e i-a7r,-tana=-3；(2) si ”(2僅一 ?)= ?cos2a tan a-l 【解析】（1）運用同角的倒數(shù)關(guān)系，解方程，即可得到；（2）運用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式及同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，計算即可得到. 本題考查同角的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 . _

11、18. 【答案】 解：（1）由2bcosa二&cosa+ dacosc代入正弦定理得：2sinbcosa= 3sinccosa+ %inacosc 即2sinbcosa二v3in （c+a） = vinbo j*. ?.cosa=2又0 vatc(2)選由余弦定理：a2=b2 +c2-2bccosa ?b2+3b2 -3b2=4.*.b=2, c=23 .-.s=bcsina = 選 由正弦定理得：布熱語二 m 訴2業(yè)又sinc=sin (a+b) =sinacosb+cosasinb= =-(cos2a-sin2a)= xtnla-cosla sin1 a十coska ?.s=；bs

12、sec = 3 + 1 選這樣的三角形不存在. 【解析】(1)化簡(2b加/0?= 口訛。5。利用正弦定理，推出關(guān)系式，然后求出a的值. (2)選通過余弦定理，求出b, c,求出三角形的面積；選通過正弦定理求出的值，推出sinc的值，然后求出面積；選這樣的三角形不存在. 本題是基礎(chǔ)題，考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計算能力，邏輯推理能力 . 19 . 【答案】 解：?bc是半圓的直徑，a在半圓上，.?.ab，ac,又bc=1, .*.ab=cos0, ac=sin0, 51 i 所以：s 尸ab ? ac= jin0cos0；設(shè)正方形的邊長為x,則：bp=高/ap=xc

13、os0, 由bp+ap=ab,得：t+xcos9=cos0, 解得：x=1 smocose9slnffcosff所以：s2=x2=( 1?$加)2?(2)才=| 2d向co冊h 6rtm / 麗埒sin28+l, at=sin28,因為0v8v ；所以：o207u,則1=$桁2花(0, 1, 所以：令g (t)=: + ” (0tl),i i it一則g (t)=-產(chǎn)不下0, 所以函數(shù)g (t)在(o, 1上遞減，因此：當t=1時，g (t)取得最小值g (1) =1+1= 此時：sin20=l,解得9=. 所以：當6=樹，施值最小，最小值為彳【解析】(1)據(jù)題三角形abc為直角三角形，利用三

14、角函數(shù)分別求出ac和ab,得出三角形abc的面積s r 設(shè)正方形pqrs的邊長為x,利用三角函數(shù)分別表示出bq和rc,由bq+qr+rc=a歹lj出方程求出x,算出s, 2(2)化簡比值 ?設(shè)1=皿26來化簡求出s均s酌比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值以及對應(yīng)此時的仇本題考查了根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型的能力，是綜合題 . 20 . 【答案】 解：(1)八( 。=$出(無+ 3與/2q)= sm(x + 3加后是一個“a類波”，nr 7t 7t) 7t即：f1 (x) +f2 (x) =sin (x+口)+sin (x+ ? =sinxco

15、s gcosxsin sinxcos 十cosxsin 3廬+】?r+1 邠+ =_ smx+-/ cosx=-rsin (x+，；由定義解析式f (x) =asin (cox+(p)稱為“波”，把振幅都是a的波稱為“a類波”，所以：a=與斗(2)設(shè)(x)=asin (x+(pi), f 2 (x) =asin (x+q)3 , f 3 (x) =asin (x+cp3, 由f(x) +f2 (x) +3 (x) =0恒成立，同(1)化簡方法利用兩角和差公式及輔助角公式，可解得：(cosq j+cosq /coscp 3)sinx+ (sin(p -sincp jsincp cosx=o, 易

16、得：cos(p +cos(p /coscp =0； sincpi+sin(p2+sinq)3=0；由兩式變型平方可得:coscp 在coscp 2=-cos(p sincp 才sirup -sincp 勺111兩式左右完全平方相加可得：2+2cos (p-(p =1； cos ( , f/x) =asin (x+(p )2, f 3(x) =asin (x+(p ),由f (x) +f gx) +f gx) =0 恒成立，可解得：cos(p +pos(p + os(p =p； sinq)i+sin(p2+sin(p3=0；由兩式變型平方可得結(jié)論.本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，輔

17、助角公式，考查了歸納推理的常用方法，綜合性較強，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題4 2n nlon, 21 . 【答案】 解：(1)由表格根據(jù)五點法作圖的規(guī)律，可得否季( ?亨 (? )=亍4 k rra 解得xi=f, x尸幣a= m nk 1 4 n 2171 (2)將函數(shù)f (x) ) = 3sin (本+可) 的圖象向右平移不單位, 1 n 4fr ijr ;1 可得y=3sin(*- 可+石)=?3siqx的圖象 ; 再所得圖象上各店的橫坐標縮小為原來的？縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)= &inx的 圖象 . 函數(shù)y = 1?！毙??舞雁加百 , s in 1 3 f (x) =-3

18、sin (3+ j). 由3sinx-j0,可得sinx？要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求y=sinx的減區(qū)間，而丫 =目修的減區(qū)間，故”坐僅。 )_ 亍的單調(diào)遞增區(qū)間為g號. (3) f(? = g (1)+ 3t ? 9(*)t=3sin2x+asinx-1, 令f (x) =0,則asinx=1-3sir)2x, 顯然當sinx=0時,f (x)不存在零點，因此只需考慮sinx加時，f (x)的零點情況，i3f 1?t=sinx (sinx#)且0vxw2兀), 則te 1, 0) u (0, 1 , a= -y =, 一 3 心 則函數(shù)y=：3在1, 0)和(0, 1上單調(diào)遞減，且t=1時片2,當t=?1時，y=?2 ? 當ye (-2, 2)時，y=t與y=：31有兩個交點，此時方程asinx=1-3sin2x存在4個實根 , 當ye (-co, -2) u (2, +oo)時，y=t 與y-3t有一個交點，此時方程asinx=1-3sir)2x存 在2個實根，當y=2或y=?2時，y=t與y=：-3有兩個交點，此時方程asinx=1-3sin2 x存在3個實根 .?/ 0)=9 幻+ : 聯(lián)以、 )- 1 在)(6 (0 , 20 1 97t)上恰有奇數(shù)個零點，? 當xe (2018兀，20 1 97t)時