2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(浙江卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試浙江理科數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部共4頁,選擇題部分第1頁至第2頁,非選擇題部分第3至第4頁.全卷滿分150分,考試時間120分鐘.考生注意:1.2.參考公式:選擇題部分(共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015浙江,理1)已知集合p=x|x2-2x0,q=x|1<x2,則(rp)q=()a.0,1)b.(0,2c.(1,2)d.1,2答案:c解析:p=x|x(x-2)0=x|x2或x0,rp=(0,2).又q=(1,2,(rp)q=(1,2),故選

2、c.2.(2015浙江,理2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()a.8 cm3b.12 cm3c.323 cm3d.403 cm3答案:c解析:由三視圖知該幾何體是一個正方體與正四棱錐的組合體,其中正方體與正四棱錐的底面邊長為2 cm,正四棱錐的高為2 cm,則該幾何體的體積v=2×2×2+13×2×2×2=323(cm3),故選c.3.(2015浙江,理3)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是sn,若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()a.a1d>0,ds4>0b.a1d<0,ds4<

3、0c.a1d>0,ds4<0d.a1d<0,ds4>0答案:b解析:設(shè)an的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比數(shù)列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d2<0,且a1=-53d.ds4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0,故選b.4.(2015浙江,理4)命題“nn*,f(n)n*且f(n)n”的否定形式是()a.nn*,f(n)n*且f(n)>nb.nn*,f(n)n*或f(n)>nc.n0n*,f

4、(n0)n*且f(n0)>n0d.n0n*,f(n0)n*或f(n0)>n0答案:d解析:命題“nn*,f(n)n*且f(n)n”的否定為“n0n*,f(n0)n*或f(n0)>n0”,故選d.5.(2015浙江,理5)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點為f,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點a,b,c,其中點a,b在拋物線上,點c在y軸上,則bcf與acf的面積之比是()a.|bf|-1|af|-1b.|bf|2-1|af|2-1c.|bf|+1|af|+1d.|bf|2+1|af|2+1答案:a解析:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由拋物線定義,得|af|=x1+1,|b

5、f|=x2+1,則sbcfsacf=bcac=x2x1=|bf|-1|af|-1,故選a.6.(2015浙江,理6)設(shè)a,b是有限集,定義:d(a,b)=card(ab)-card(ab),其中card(a)表示有限集a中元素的個數(shù).命題:對任意有限集a,b,“ab”是“d(a,b)>0”的充分必要條件;命題:對任意有限集a,b,c,d(a,c)d(a,b)+d(b,c).a.命題和命題都成立b.命題和命題都不成立c.命題成立,命題不成立d.命題不成立,命題成立答案:a7.(2015浙江,理7)存在函數(shù)f(x)滿足:對于任意xr都有()a.f(sin 2x)=sin xb.f(sin 2

6、x)=x2+xc.f(x2+1)=|x+1|d.f(x2+2x)=|x+1|答案:d解析:|x+1|=(x+1)2=x2+2x+1,存在函數(shù)f(x)=x+1,使f(x2+2x)=|x+1|對xr成立,故選d.8.(2015浙江,理8)如圖,已知abc,d是ab的中點,沿直線cd將acd翻折成a'cd,所成二面角a'-cd-b的平面角為,則()a.a'dbb.a'dbc.a'cbd.a'cb答案:b解析:設(shè)adc=,設(shè)ab=2,則由題意ad=bd=1.在空間圖形中,設(shè)a'b=t.在a'bd中,cosa'db=a'd2

7、+db2-ab22a'd×db=12+12-t22×1×1=2-t22.在空間圖形中,過a'作a'ndc,過b作bmdc,垂足分別為n,m.過n作np􀱀mb,連結(jié)a'p,所以npdc.則a'np就是二面角a'-cd-b的平面角,所以a'np=.在rta'nd中,dn=a'dcosa'dc=cos ,a'n=a'dsina'dc=sin .同理,bm=pn=sin ,dm=cos .故bp=mn=2cos .顯然bp面a'np,故bpa&

8、#39;p.在rta'bp中,a'p2=a'b2-bp2=t2-(2cos )2=t2-4cos2.在a'np中,cos =cosa'np=a'n2+np2-a'p22a'n×np=sin2+sin2-(t2-4cos2)2sin×sin=2+2cos2-t22sin2=2-t22sin2+cos2sin2=1sin2cosa'db+cos2sin2.因為1sin21,cos2sin20,所以cos cosa'db當(dāng)=2時取等號,因為,a'db0,而y=cos x在0,上為遞減函數(shù),所以

9、a'db.故選b.非選擇題部分(共110分)二、填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.9.(2015浙江,理9)雙曲線x22-y2=1的焦距是,漸近線方程是. 答案:23y=±22x解析:由雙曲線的方程x22-y2=1可知,a=2,b=1.所以c=a2+b2=3.故雙曲線的焦距為2c=23;雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±12x,即y=±22x.10.(2015浙江,理10)已知函數(shù)f(x)=x+2x-3,x1,lg(x2+1),x<1,則f(f(-3)=,f(x)的最小值是. 答案:02

10、2-3解析:f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,f(f(-3)=f(1)=1+21-3=0.當(dāng)x1時,f(x)=x+2x-322-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即x=2時取得最小值,當(dāng)x<1時,x2+11,lg(x2+1)0,綜上所述,f(x)的最小值為22-3.11.(2015浙江,理11)函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間是. 答案:38+k,78+k,kz解析:f(x)=sin2x+sin xcos x+1=1-cos2x2+12sin 2x+1=12(sin 2x-cos 2x)+32=22sin2x-4+32.故t=22

11、=.令2k+22x-42k+32,kz,解得k+38xk+78,kz,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為38+k,78+k,kz.12.(2015浙江,理12)若a=log43,則2a+2-a=. 答案:433解析:由a=log43,知2a+2-a=2log43+2-log43=2log23+2log233=3+33=433.13.(2015浙江,理13)如圖,在三棱錐a-bcd中,ab=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,點m,n分別為ad,bc的中點,則異面直線an,cm所成的角的余弦值是. 答案:78解析:連結(jié)dn,取dn的中點p,連結(jié)pm,cp,因為m是ad的中點,故pm

12、an,則cmp即為異面直線an,cm所成的角,ab=ac=bd=cd=3,ad=bc=2,可得an=cm=dn=22,故mp=pn=2.在rtpcn中,cp=pn2+cn2=2+1=3,由余弦定理可得,coscmp=cm2+mp2-cp22·cm·mp=8+2-32×22×2=78,故異面直線an,cm所成的角的余弦值為78.14.(2015浙江,理14)若實數(shù)x,y滿足x2+y21,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是. 答案:3解析:畫出直線2x+y-2=0和x+3y-6=0以及圓x2+y2=1的圖形,如圖.(1)如圖,當(dāng)點(x,

13、y)在區(qū)域(陰影部分)時,2x+y-20,x+3y-6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=2x+y-2+6-x-3y=x-2y+4.令t=x-2y+4,則y=12x+2-t2,畫出直線l1:y=12x,平移l1經(jīng)過點b時,t取得最小值.由2x+y-2=0,x2+y2=1得x=1,y=0或x=35,y=45,即a(1,0),b35,45.所以tmin=35-2×45+4=3.(2)如圖,當(dāng)點(x,y)在區(qū)域時,2x+y-20,x+3y-6<0,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=-2x-y+2+6-x-3y=-3x-4y+8.令s=-3x-4y+8,則y=-3

14、4x+2-s4,畫出直線l2:y=-34x,平移l2經(jīng)過點b時,s取得最小值,所以,smin=-3×35-4×45+8=3.綜上,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3.15.(2015浙江,理15)已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=12.若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=52,且對于任意x,yr,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0r),則x0=,y0=,|b|=. 答案:1222解析:設(shè)e3為空間單位向量,且滿足e3e2,e3e1,|b-(x0e1+y0e2)|=1,故設(shè)b=

15、x0e1+y0e2+e3,b·e1=2,即(x0e1+y0e2+e3)·e1=2,得x0+12y0=2,又b·e2=52,即(x0e1+y0e2+e3)·e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此時,b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1·e2+2e1·e3+4e2·e3=1+4+1+4×12+0+0=8=22.三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本題滿分14分)(2015浙江,理16)

16、在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別是a,b,c,已知a=4,b2-a2=12c2.(1)求tan c的值;(2)若abc的面積為3,求b的值.本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識,同時考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.解:(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2b-12=12sin2c,所以-cos 2b=sin2c.又由a=4,即b+c=34,得-cos 2b=sin 2c=2sin ccos c,解得tan c=2.(2)由tan c=2,c(0,)得sin c=255,cos c=55.又因為sin b=sin(a+c)=sin4+c,所以sin b=31010

17、.由正弦定理得c=223b,又因為a=4,12bcsin a=3,所以bc=62,故b=3.17.(本題滿分15分)(2015浙江,理17)如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90°,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面abc的射影為bc的中點,d是b1c1的中點.(1)證明:a1d平面a1bc;(2)求二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值.本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.滿分15分.(1)證明:設(shè)e為bc的中點,由題意得a1e平面abc,所以a1eae.因為ab=ac,所以aebc.故ae平面a1bc.由d,e

18、分別為b1c1,bc的中點,得deb1b且de=b1b,從而dea1a且de=a1a,所以a1aed為平行四邊形.故a1dae.又因為ae平面a1bc,所以a1d平面a1bc.(2)解:方法一:作a1fbd且a1fbd=f,連結(jié)b1f.由ae=eb=2,a1ea=a1eb=90°,得a1b=a1a=4.由a1d=b1d,a1b=b1b,得a1db與b1db全等.由a1fbd,得b1fbd,因此a1fb1為二面角a1-bd-b1的平面角.由a1d=2,a1b=4,da1b=90°,得bd=32,a1f=b1f=43,由余弦定理得cosa1fb1=-18.方法二:以cb的中點e

19、為原點,分別以射線ea,eb為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系e-xyz,如圖所示.由題意知各點坐標(biāo)如下:a1(0,0,14),b(0,2,0),d(-2,0,14),b1(-2,2,14).因此a1b=(0,2,-14),bd=(-2,-2,14),db1=(0,2,0).設(shè)平面a1bd的法向量為m=(x1,y1,z1),平面b1bd的法向量為n=(x2,y2,z2).由m·a1b=0,m·bd=0,即2y1-14z1=0,-2x1-2y1+14z1=0,可取m=(0,7,1).由n·db1=0,n·bd=0,即2y2=0,-2x2-2y2+14z

20、2=0,可取n=(7,0,1).于是|cos<m,n>|=|m·n|m|·|n|=18.由題意可知,所求二面角的平面角是鈍角,故二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值為-18.18.(本題滿分15分)(2015浙江,理18)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,br),記m(a,b)是|f(x)|在區(qū)間-1,1上的最大值.(1)證明:當(dāng)|a|2時,m(a,b)2;(2)當(dāng)a,b滿足m(a,b)2時,求|a|+|b|的最大值.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力,分析問題和解決問題的能力.滿分15分.(1)證明:由f

21、(x)=x+a22+b-a24,得對稱軸為直線x=-a2.由|a|2,得-a21,故f(x)在-1,1上單調(diào),所以m(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|.當(dāng)a2時,由f(1)-f(-1)=2a4,得maxf(1),-f(-1)2,即m(a,b)2.當(dāng)a-2時,由f(-1)-f(1)=-2a4,得maxf(-1),-f(1)2,即m(a,b)2.綜上,當(dāng)|a|2時,m(a,b)2.(2)解:由m(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2,故|a+b|3,|a-b|3,由|a|+|b|=|a+b|,ab0,|a-b|,ab<0,得|a|+|b|3.當(dāng)a=2,b=-1時,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在-1,1上的最大值為2,即m(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值為3.19.(本題滿分15分)(2015浙江,理19)已知橢圓x22+y2=1上兩個不同的點a,b關(guān)于直線y=mx+12對稱.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)求aob面積的最大值(o為坐標(biāo)原點).本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分15分.解:(1)由題意知m0,可設(shè)直線ab的方程為y=-1mx+b.由x22+y2=1,y=-1mx+b,消去y,得12+1m2x2-2bmx