初中數(shù)學(xué)特殊的平行四邊形

1、4特殊的平行四邊形知識點基本要求略高要求較高要求菱形會識別菱形掌握菱形的概念、性質(zhì)和判左，會用菱形的性質(zhì)及 判定解決簡單問題會用菱形的知識解決有關(guān) 問題正方形會識別正方 形掌握正方形的概念、性質(zhì)和判左，會用正方形的性 質(zhì)及判定解決簡單問題會用正方形的知識解決有 關(guān)問題1. 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2. 菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).回還具有自己獨特的性質(zhì): ® 邊的性質(zhì)：對邊平行且四邊相等. 角的性質(zhì)：鄰角互補,i 對角線性質(zhì)：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱,也是7菱形的面積等于底乘以爲，等于

2、對角線乘積的一半.點評：其實只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線乘積的一半.3. 菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形4. 三角形的中位線中位線：連結(jié)三角形兩邊的中點所得的線段叫做三角形的中位線也可以過三角形一邊的中點作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線. 以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中 位線，再用中位線的性質(zhì).定理：三角形的中位線平行第三邊且長慶等于第三邊的一半.5. 正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

3、6. 正方形的性質(zhì)正方形是特殊的平行四邊形.矩形.菱形.它具有前三者的所有性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊都相等 角的性質(zhì)：四個角都是直角. 對角線性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相等.回每條對角線平分一組對角 對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是M. 平行四邊形、矩形.菱形和正方形的關(guān)系：(¼)7. 正方形的判定判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定：有一個角是直角的菱形是正方形.板塊一、菱形【例1】已知菱形ABCQ的兩條對角線AC, BD的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個鈍角的大小是【解析】如圖，過點A作AE丄BC于E, AC BD = BC AE 9又AC BD =

4、AB29得AE = AB9 ZABC = 30q 9 ZBA£) = 150°【答案】150°【例2】 已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC CD上的點，且ZB = ZE4F = 60% Zft4E = 18。求:ZCEF的度數(shù).B E【解析】連接AC9 T四邊形ABCD為菱形 AB = BC = CD = AD ABC和ZVlCQ為等邊三角形 AB = ACf B = ZACD = BAC = 60QJ ZEAF = 60°： ABAE = ZCAF：.ABEACF AE = AIV AEAF = 60P：.EF為等邊三角形 ZAEF = 60

5、76;V ZAEC = AB+ BAE = ZAEF+ ZCEF：.ZCEF = I 8°在矩形.菱形的定理題中，有時也常連對角線.把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.【答案】18?！纠?】問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A, B, E在同一條直線上，P是線段DF的中 點，連結(jié)PG. PC.若ZABC = ZBEF = 60°,探究PG與PC的位宜關(guān)系及竺的值.PC小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決. 請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上而問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及竺的值；PC（2）將圖1中的菱形B

6、EFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊 加在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在中得到的兩個結(jié)論是否發(fā) 生變化？寫出你的猜想并加以i正明.（3）若圖1中ZABC = ZBEF = 2（0o<<90o）,將菱形BEFG繞點”順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問 題中的英他條件不變，求竺的值（用含的式子表示）.PC【解析】省略【答案】線段PG與PC的位置關(guān)系是PG丄PC;= 3 .猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化.證明：如圖，延長GP交AD于點H,連結(jié)CH, CG. P是線段DF的中點， FP = DP.由題意可知AD/FG ZGFP = ZWP.

7、又 ZGPF = HPD,：.SGFPSHDP , ：. GP = HP9 GF = HD.四邊形 ABCD是菱形，：.CD = CB9 HDC = ZABCW由ZABC=ZBEF = 60° 9且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線 上，可得ZGBC = 60°：.HDC =乙 GBC 四邊形BEFG是菱形，: GF = GB, ：. HD = GB ：.GBC9 ：. CH = CG9 乙DCH = ABCG ：.DCH + ZHCB = ZBCG +ZHCB = 20q9 即 ZHCG = I20。V CH=CG9 PH = PG,：.PG

8、丄 PC, ZGCP = ZHCP = 60°. PG疋=510PG礦tan(9d).證明過程略.【點評】本題是一道探究性的幾何綜合題，本題的題干是以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，從而降低了題目的難度,本題應(yīng)該是在05年大連中考壓軸題的基礎(chǔ)上改進而來的.【例4】如圖：菱形ABCD由兩個等邊三角形組成，點P是MBD內(nèi)任一點，將ABPD繞點B旋轉(zhuǎn)到ABQC 的位置.貝J:(1) 當四邊形BPDQ是平行四邊形時，求ZBPD；(2) 當APQD是等腰直角三角形時，求ZBPD；(3) 若ZAPB=IOOo,且APQD是等腰三角形時，求ZBPD【答案】（1）連接PQVABD. ABCD都是等邊三角形 ZA

9、BD=ZDBC=60°"BQC是由ABPD繞點B旋轉(zhuǎn)得到 ZPBD=ZQBC：.ZPBD+ ZDBQ= ZQBC+ ZDBQ：.ZPBQ=ZDBC=60。：.ZBPD=I20。（2）分三種情況： 當ZDP = 90o, PD=PQ 時由題意，BP=BQ,由（1）, ZPBQ=60Q ：'BPQ為等邊三角形， ZBPQ=60。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+90°= 150° 當ZPD = 90o, DP=D2 時同理得ABPQ為等邊三角形，ZBPQ=60° ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+45°= 105&#

10、176; 當ZPQD = 90S DQ=PQ 時同理得bBPQ為等邊三角形，ZBPQ=60°：.ZBPD= ZBPQ+ ZDPQ=60。+45。= 105°（3）也分三種情況： 當PD=PQ時Y ZABD= ZPBQ=60S ：. ZABP= ZDBQ 又 AB=DB, PB=QB, ： ZBPQ'DBQ：.ZDQB=ZAPB=IOoOV ZPQB=60% ：. ZPDQ= ZPQD=40°：.ZDP0=100。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+100°= 160° 當DP=DQ時則 ZDPQ=ZDQP=40。 ZBPD= ZB

11、PQ+ ZDP=60o+40°= 100° 當DQ=PQ時則 ZDPQ=ZPDQ=Hy：.ZBPD= ZBPQ+ ZDP(2=60o+70°= 130°板塊二、正方形【例5】 已知正方形ABCD,在AP、AC上分別取G F兩點，EDiAD = 2FC： AC.求證：MEF是 等腰直角三角形.【解析】省略【答案】解法一：如圖，過F作HGC£交AD、Be于H、G ,罡根F、ACGF均為等腰直角三角形 AH = HF = BG V hgcd9 FC _HD aczdV ED 2FC ED 2HDAD AC AD AD故 ED=2HD ： EH = H

12、D = CG = FG,RIBGF 竺 RtAFHE, : BF = FE, ZEFH = ZGBF 而 ZBGF + ABFG = 9QP 9 ZEFH+ ZBFG=90° 9 打 ZBFE = 90。,：.MEF為等腰直角三角形解法二：如圖，連接DF,作FH丄ED于H顯然由正方形對稱性可知3F = M, ABFC = DFCFCFH 5 FHD752FC ED盂二兀ED = 2HD, .EH = HD,： EF = DF , AEFH = ZDFH : EF = BF ZDFH = AFDC9 ZBFD = ZBFE+2ZDFH = ZBFE+2ZFDC ZBFD = 90Q+

13、2 AFDC 9 ：. ZBFE = 90。/. Ez是等腰直角三角形.解法三：如圖，過F作FH丄DC于H延長EF、DQ交于G ,連接BG.則陽AZ兒 FH FC = AD ACP ED 2FCX. =AD AC：.ED=IFH ,即為AGDE的中位線 EF = FG9 DH = HG 又 FH = HC, AE = AD-ED = DC - 2HC = DH-HC = HG - HC , ' AE=CG ：.BE = BG 9 ZABE = ZCBG ：.ZEBG = ZABC=90° 3F是等腰直角三角形BGE斜邊上的中線，: BF 丄 EF , BF = EF 故SBE

14、F是等腰直角三角形.解法四：如圖，過F作FG丄AC交BC于G ,過E作EH CD交AC于H ,連接HG顯然FGC是等腰直角三角形， FC = FG9 ZFGC=45o. ZBGF = I 35° 又 Y EH /DC 9： ZEHC = I 35° = ZBGF , = = .AD AC AC FH = FC = FG, HGC是等腰直角三角形： ZHGC = 90。 HG / DC 又陽 DC,: E、H、G 共線.： BG = AE = EH SBGFgAEHF 9右 BF = EF, ABFG = ZEFH 久 ZBFG+ZAFB = 90。： ZEFH+ ZAFB

15、=網(wǎng),即ZBFE = 90o. /. ABEF是等腰直角三角形.【例6】如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作正方形ABE. CE與加相交于點F , 貝IJZAro =1 OnO _ Q _ 600 【解析】AAFB 竺 'CFB, ZFAB = ZFCB =一一 = 15% 故 ZAT> = 45o + 15o = 60o2【解析】60°【例7】如圖所示，43CD是正方形，E為3F上的一點，四邊形AEFC恰好是一個菱形，則ZEAB=【解析】省略【答案】連接CE,作過B、E點的AC垂線，垂足分別為H,G,則四邊形BEGH是矩形,GE = BH=丄 AC =

16、丄 AE92 2所以 ZG4E = 30o,所以 XEAB = I 5°.【例8】如圖，點M, N分別在正方形ABeQ的邊BC, CD上,已知MCN的周長等于正方形ABCQ周長的一半，求ZMAN的度數(shù)【解析】省略【答案】MN = BM + DN ,延長CQ至,使MD = BM, 證明 ADM,ABM, AM,N 竺AMN ,測得乙MAN = ZMyN =丄ZAM = 45°2【例9】如圖所示，任直角梯形ABCD中，AD/ BC . ZADC = 90°. /是AD的垂直平分線，交AD于點M ,以腰AB為邊作正方形創(chuàng)遲，作EP丄/于點P，求證2EPAD2CD【解析】

17、省略【答案】直接證明2EPAD = 2CD不太可行，可轉(zhuǎn)化成證明EPADCD 9而丄AD = AM ,故進而考2 2慮到 AM . EP集中到一條線段上，然后將CQ也平移過來.我們將視線集中在正方形ABFE之 中通過ABGSEHA可以得證.過A點作3C的垂線.過P作AG的垂線，垂足分別為G . H ,則有HGPN為矩形，ZBAG = 90。-ZEAH = ZAEH ZABG ×90o - ZBAG ZEAH 又因為AB = AE 9所以ABGSEHA所以 2EP + AD = 2HR = 2AG = 2CD【例10】如圖，ABCD是邊長為1的正方形，EFGH是內(nèi)接于ABeQ的正方形，

18、AE = a9AF=b ,若SEFGH =，貝H h _ "I =I【解析】MEF竺2HE, AF = DE ,則"丄人_ 1【答案】E3【例11】如圖，若在平行四邊形ABCD邊上向平行四邊形的外側(cè)作正方形，求證：以四個正方形中心為頂點組成一個正方形【解析】省略 【答案】證法一：先證明MBF竺竺DA（如圖陰影的兩個三角形所示）設(shè)平行四邊形ABCD的中心為O, AB 9 BC9 CD9 QA邊上的正方形的中心分別為P , Q9 R9S由平行四邊形及正方形的性質(zhì)知AB = CD = DE,BF=BC=AD因為ZFEM與NAQE的兩雙對邊反向平行，所以"BM = ZND

19、E,ZABF = ZADE （在上式兩邊各加9（）0）,AEDA9AF=AE又由于ED丄AB及ZDEa = ZBAF9所以AE丄AF （若等角的一紐對邊互相垂直，則另一組對邊也互相垂直）因為 OR/ AE 且 O/? =丄 AE.OR = OQ 且 OR 丄 O0. 用同樣方法可以證明：OP = OQ = OR = OS , 且O/?與OS, OS與OP9 OP與OQ也兩兩垂苴,從而P, O9 0及Q, O9 S三點共線，進而PR 與QS互相垂直平分于O點，且PR = QS ,故四邊形PQRS是正方形.如果我們從證明5QCR9fDR下手，可得到證明二：因為 QC = SDf RC = RDtZ

20、DCB = ZEDN 9ZQCR = ZSDR,所以 'QCRmaR ,從而 QR = RS同證法樣，因ZQRC = ZSRD 及 C7?丄 DR9所以QR丄RS用同樣的方法可以證明QR = RS=SP = PQ,結(jié)合QR丄RS ,四邊形PQRS為正方形.正方形除了具有平行四邊形的一般性質(zhì)外，要特別注意利用直角條件【例12】如圖，已知四邊形ABDE. AeFG都是AMC外側(cè)的正方形，連接DF,若M、/V分別為OF、BC的 中點,求證：M丄BCSLMN=BC.【答案】分別過點從AX F作直線BC的垂線，垂足分別為P、R、Q四邊形 ABDE 為正方形，：.AB=BDf ZABD=90

21、76;： ZDBP=ZBAR、：.RDPBRBAR:DP=BR. PB=AR,同 CQ=AR. CR=FQ：.PB=CQ又N為BC的中點，：BN=NC:PB+BN=CQ+NC, MPN=QN在直角梯形DPQF中，M為DF的中點，N為PQ的中點MNDP. MN=*DP+FQ)=*BR+CR)=舟BC又 DP丄BC, ：. MN丄BC 即：MN丄 BC 且 MN= BC【例13】如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線/】、/2、/3、/4上，這四條直線中相鄰兩條之間 的距離依次為加、加、A3 (>O, 2>0, 3>0).(1) 求證：h=hit(2) 設(shè)正方形ABCD的

22、而積為S,求證：5=(n+2)2+A2:3(3) 若亍加+加=1,用島的代數(shù)式表示正方形ABCD的而積為S.【答案】(1)設(shè)AD與/2交于點& BC與人交于點F由已知 BF/ED. BE/FD：.四邊形BEDF是平行四邊形,.BE=DF又 AB=CD, RtZXABE竺RtZkCDF, .hl=h3(2)作3G丄DH丄/4，垂足分別為G. H在 Rt8GC 和 RtZkCHD 中/ ZBCG+ ZDCH= 180°- ZBCD=90o, ZCDH+ ZDCH=90:ZBCG=ZCDH又 ZBGC=ZCHD=90 BC=CD：.RtGCRtCHD. ：. CG=DH=h3乂 B

23、G=b2+b3, * BCZ = BG2-CGI= (h2+h3)2÷hj2= (h+h2) 2+h2 S=C2= (h1+h2) 2+h2/、33(3) V y/7i+/?2=1, .:/)2=1亍Zh* S= (h+lhi) +2=y712+1G CH【例14】在正方形ABCD的邊AB h任取一點E,作EF丄AB交BD于點F,如圖1.(1) 將圖1中的MEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，取DF的中點G,連接EG, CG,如圖2,貝IJ線 段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫岀你的猜想：(2) 將圖1中的ABEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180。，取DF的中點G,連接EG, CG,如圖

24、3,則線 段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：(3)將圖1中的ABEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點G,連接EG, CG.如圖3, 則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.圖2D4D圖3【答案】(1) EG=CG, EG丄CG(2) EG = CG. EG丄CG證明：如圖3,延長FF交DC延長線于H,連接GHV ZAEH=90°, ZFBC=90°, ZBCH=90°四邊形 BEHC 是矩形，：.BE=CH. ZfHC= 90°又 YBE=EF, ：. EF=CH1 VZfHC=9

25、0°, FG=DG, ：.HG= DF=FGYBC=EH, BC=CD, ：. EH=CDYEF=CH, :FH=DH. ZF=45o 1又 FG = DG, ：. ZCHG= -ZEHC=45° : ZF=ZCHG, ：. AEFGACHGEG=CG, ZEGF=ZCGHVZFHC=90o, FH=DH, FG = DG, ：.HGLDFZEGF+ZEGH=90°ZCGH+ZEGH=90°,即 ZEGC=90°EG 丄 CG(3) EG = CG, EG丄CG證明：如圖4,延長CG至H,使GH=CG,連接HF、HE、EC/ GF=GD,上 H

26、GF=ZCGD,GH=GC, HFGCDG：.HF=CD, ZGHF=ZGCD, ：.HF/CDT 正方形 ABCD, ：. HF=BC. HF丄BC是等腰直角三角形，.FF=8E, EF丄BE ZHFE= ZCBE, ：. AHFEACBE:EH=EC, ZFEH=ZBEC, ：. ZHEC=ZBEF=90.FCH為等腰宜角三角形又 TGH=GC：.EG=CG. EG丄CG【例15】如圖，正方形ABCD的邊長為2,以對角線BD為邊作菱形BEFD,點C、E、F在同一直線上(1) 求ZEBC的度數(shù)；(2) 求CE的長.【解析】(1)設(shè)O為正方形ABCD的中心，過E作EG丄BD于G則 Co丄BD, ZDBC=ASC:菱形BEFD,點C、E、F在同一直線上.CF/BD9 BE=EF=DF=BD