函數(shù)的極限48實用教案

1、一、自變量趨于有限值時函數(shù)(hnsh)的極限自變量的變化趨勢： x x0，x x0-0，x x0+0，x ，x -，x +0limxxf (x)=A或f (x) A(當x x0)函數(shù)極限的通俗(tn s)定義： 在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值 f(x)無限接近于某一確定的常數(shù)A，那么這個確定的常數(shù)A就叫做在這一變化過程中函數(shù)f(x)的極限當x x0時，f(x)以 A為極限記為分析(fnx)： 當xx0時，f(x) A當|x-x0| 0 時，|f (x)-A|能任意小任給e 0， 當|x-x0|小到某一時刻，有|f (x)-A|0， 存在d 0， 使當|x-x0| d 時 ，有|f

2、(x)-A|0， d0， x：0|x-x0|d ，有|f (x)-A|e 0limxx函數(shù)極限的精確定義： 設(shè)函數(shù)f (x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義如果對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小)，總存在正數(shù)d，使得對于適合不等式0|x-x0|d的一切(yqi)x ，對應(yīng)的函數(shù)值f (x)都滿足不等式|f (x)-A|0， d0， 使當0|x-x0|d 時，有|f (x)-A|e 的幾何(j h)意義： 若 f (x)=A，0limxx第3頁/共21頁第三頁，共22頁。因此對于(duy)任意給定的正數(shù)e ，任意(rny)取一正數(shù)d ，當0|x-x0|d 時，都有|f (x)-A|=|c-c|=

3、0e成立(chngl)，所以舉例： 證明: 這里|f(x)-A|=|c-c|=0，.lim0ccxx=第4頁/共21頁第四頁，共22頁。成立(chngl)|f (x)- A|=|x- x0| e當 0|x- x0| d=e 時，總可取(kq)d=e ，因此對于任意(rny)給定的正數(shù)e ， 能使不等式所以.lim00 xxxx= 證明：這里|f(x)- A|=|x- x0|，第5頁/共21頁第五頁，共22頁。|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|e ，使當0|x-1|d時，有只要 |x-1| 0，d = 0， 2e所以. 1) 12(lim1=-xx 分析(fnx)： |f(x)

4、-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，為了使|f(x)-A|0 ， d =e 0 ，所以(suy)只需 |x-1|d ，即取d = e |f(x)- 2|=|x-1|e ，使當0|x-1|d ，有112-xx |f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|，要使|f (x)-2|e ，. 211lim21=-xxx 分析：注意(zh y)函數(shù)在x=1是沒有定義的 但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關(guān)系第7頁/共21頁第七頁，共22頁。Ay=f (x)x0O yxA-eA+ex0+dx0-d取0e0(或f(x)0， 取正數(shù)e A，根據(jù)極限的定義， 對于這個取定的正數(shù)e ，必存在

5、著一個(y )正數(shù)d ，當0|x- x0|d 時，不等式 |f(x)-A|e , 或A-e f (x)0點x0的某一去心鄰域(ln y)，當x在該鄰域(ln y)內(nèi)時，就有f(x)0(或f(x)0(或f(x)0)極限(jxin)的局部保號性： 證明： 設(shè)f(x)0 假設(shè)上述論斷不成立，即設(shè)A0， 那么由定理 1 就有 x0 的某一去心鄰域 ， 在該鄰域內(nèi) f(x)0， d0， x： x0- d xx0，有|f (x)-A|+=0， X 0， x: |x|X，有 | f (x)-A|X的一切x，對應(yīng)的函數(shù)(hnsh)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|e，則常數(shù)A叫做函數(shù)(hnsh)f (x

6、)當x 時的極限極限(jxin)的精確定義：第15頁/共21頁第十五頁，共22頁。y=f (x)O xy-XXA-eA+eA第16頁/共21頁第十六頁，共22頁。所以 01lim=xx 證明(zhngmng)：. 01ex解不等式得 ，eX時，要證存在(cnzi)正數(shù)X， 分析(fnx)：設(shè)e是任意給定的正數(shù)因為對e0，X= ，e1使當|x|X時，有第17頁/共21頁第十七頁，共22頁。水平(shupng)漸近線：直線y=0是函數(shù)y = 的圖形的水平漸近線x1已知 01lim=xxxyO11xy1=第18頁/共21頁第十八頁，共22頁。如果 ，cxfx=)(limOxy p 2p2y=arct

7、an x 例如，函數(shù)(hnsh)y=arctanx的圖形的水平漸近線有兩條：則直線(zhxin)y=c是函數(shù)y=f (x)的 圖形(txng)的水平漸近線一般地，2p=y2p-=y和第19頁/共21頁第十九頁，共22頁。5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H

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9、J7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlU

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