高中數(shù)學(xué)必修一 第1章 1.2　集合間的基本關(guān)系

1、1 / 8 1.2 集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解集合之間的包含與相等的含義(重點(diǎn)) 2能識別給定集合的子集、真子集，會判斷集合間的關(guān)系(難點(diǎn)、易混點(diǎn)) 3在具體情境中，了解空集的含義(難點(diǎn)) 1.通過對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 2借助子集和真子集的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示 (1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀 (2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部代表集合 2子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念 思考 1：(1)任何兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？ (2)符號“”與“”有何不同？ 提示：(1)不一定如集合

2、a0,1,2，b1,0,1，這兩個(gè)集合就沒有包含關(guān)系 (2)符號“”表示元素與集合間的關(guān)系； 而“”表示集合與集合之間的關(guān)系 2 / 8 3空集 (1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為. (2)規(guī)定：空集是任何集合的子集 思考 2：0與相同嗎？ 提示：不同0表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素 0；而表示空集，其不含有任何元素，故0. 4集合間關(guān)系的性質(zhì) (1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即 aa. (2)對于集合 a，b，c， 若 ab，且 bc，則 ac； 若 a b，b c，則 a c. (3)若 ab，ab，則 a b. 1設(shè)集合 m1,2,3，n1，則下列關(guān)系正確的是( )

3、 anm bnm cnm dnm d 11,2,3，1m， 又 2n，nm. 2下列四個(gè)集合中，是空集的為( ) a0 bx|x8，且 x4 b 滿足 x8 且 x8，且 x5. 3集合0,1的子集有_個(gè) 4 集合0,1的子集有，0，1，0,1，共 4 個(gè) 4已知集合 ax|x23x20，b1,2，cx|x8，xn，用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?(1)a_b；(2)a_c； (3)2_c；(4)2_c. 3 / 8 (1) (2) (3) (4) 集合 a為方程 x23x20的解集，即 a1,2，而 cx|x8，xn0,1,2,3,4,5,6,7故(1)ab；(2)a c；(3)2 c；(4)2c. 集

4、合間關(guān)系的判斷 【例 1】 判斷下列各組中集合之間的關(guān)系： (1)ax|x是 12 的約數(shù)，bx|x是 36 的約數(shù)； (2)ax|x是平行四邊形，bx|x是菱形，cx|x是四邊形，dx|x是正方形； (3)ax|1x4，bx|x5 解 (1)因?yàn)槿?x是 12 的約數(shù)，則必定是 36的約數(shù)，反之不成立，所以a b. (2)由圖形的特點(diǎn)可畫出 venn圖如圖所示，從而 d b a c. (3)易知 a中的元素都是 b中的元素，但存在元素，如2b，但2a，故 a b. 判斷集合關(guān)系的方法. (1)觀察法：一一列舉觀察. (2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元

5、素的特征判斷關(guān)系. (3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或 venn圖. 提醒：若 ab 和 a b 同時(shí)成立，則 a b更能準(zhǔn)確表達(dá)集合 a，b之間的關(guān)系. 1能正確表示集合 mxr|0 x2和集合 nxr|x2x0關(guān)系的4 / 8 venn圖是( ) b 解 x2x0得 x1 或 x0，故 n0,1，易得 n m，其對應(yīng)的 venn圖如選項(xiàng) b 所示 子集、真子集的個(gè)數(shù)問題 【例 2】 已知集合 m滿足：1,2 m1,2,3,4,5，寫出集合 m所有的可能情況 解 由題意可以確定集合 m必含有元素 1,2，且至少含有元素 3,4,5 中的一個(gè)，因此依據(jù)集合 m的元素個(gè)數(shù)分類如下： 含有 3個(gè)元素：1

6、,2,3，1,2,4，1,2,5； 含有 4個(gè)元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5； 含有 5個(gè)元素：1,2,3,4,5 故滿足條件的集合 m為1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5 1求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的 3 個(gè)步驟 2與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的 4 個(gè)結(jié)論 假設(shè)集合 a中含有 n個(gè)元素，則有 (1)a的子集的個(gè)數(shù)有 2n個(gè) (2)a的非空子集的個(gè)數(shù)有 2n1個(gè) (3)a的真子集的個(gè)數(shù)有 2n1個(gè) (4)a的非空真子集的個(gè)數(shù)有 2n2個(gè) 5 / 8 2已知集合 a(x，y)|xy2，x，yn，試寫出 a的所有子

7、集及真子集 解 a(x，y)|xy2，x，yn， a(0,2)，(1,1)，(2,0) a的子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0) a的真子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0) , 由集合間的關(guān)系求參數(shù) 探究問題 集合 ax|1x1 時(shí)，集合 a中的元素用數(shù)軸可表示為： 【例 3】 已知集合 ax|2x5，bx|m1x2m1，若b a，求實(shí)數(shù) m的取值范圍 思路點(diǎn)撥 bx|m1x2m1 分b和b結(jié)合數(shù)軸列不等

8、式組 求m的取值范圍 解 (1)當(dāng) b時(shí)， 由 m12m1，得 m2. (2)當(dāng) b時(shí)，如圖所示 6 / 8 m12，2m12，2m15，2m1m1， 解這兩個(gè)不等式組，得 2m3. 綜上可得，m 的取值范圍是m|m3 1若本例條件“ax|2x5”改為“ax|2x2m1，得 m2，2m13，m3，m2，即 2m3， 綜上可得，m 的取值范圍是m|mm1，m12，2m15，即 m2，m3，m3，m不存在 即不存在實(shí)數(shù) m使 ab. 1利用集合的關(guān)系求參數(shù)問題 (1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來建立變量間的

9、關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問題 7 / 8 (2)空集是任何集合的子集，因此在解 ab(b)的含參數(shù)的問題時(shí)，要注意討論 a和 a兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面 2數(shù)學(xué)素養(yǎng)的建立 通過本例嘗試建立數(shù)形結(jié)合的思想意識，以及在動態(tài)變化中學(xué)會用分類討論的思想解決問題 1ab隱含著 ab 和 a b兩種關(guān)系 2求集合的子集時(shí)，可按照子集元素個(gè)數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集 3由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法 (1)注意點(diǎn)：不能忽視集合為的情形； 當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論 (2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時(shí)，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答 1思考辨析 (1)空集中只有元素 0，而無