高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題95統(tǒng)計(jì)初步

1、- 1 - / 6 微專(zhuān)題 95 高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí) 一、基礎(chǔ)知識(shí)： （一）隨機(jī)抽樣： 1、抽簽法：把總體中的n個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到容量為n的樣本 2、系統(tǒng)抽樣：也稱(chēng)為等間隔抽樣，大致分為以下幾個(gè)步驟： （1）先將總體的n個(gè)個(gè)體編號(hào) （2）確定分段間隔k，設(shè)樣本容量為n，若nn為整數(shù)，則nkn= （3）在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l，則后面每段所確定的個(gè)體編號(hào)與前一段確定的個(gè)體編號(hào)差距為k，例如：第 2 段所確定的個(gè)體編號(hào)為lk+，第m段所確定的個(gè)體編號(hào)為()1lmk+，直至完成樣本 注：（1）

2、若nn不是整數(shù)，則先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除若干個(gè)個(gè)體，使得剩下的個(gè)體數(shù)能被n整除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如 501 名學(xué)生所抽取的樣本容量為 10，則先隨機(jī)抽去 1 個(gè)，剩下的500個(gè)個(gè)體參加系統(tǒng)抽樣 （2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個(gè)體編號(hào)排成等差數(shù)列，其公差為k 3、分層抽樣：也稱(chēng)為按比例抽樣，是指在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本。 分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個(gè)層次的比例相等，這條結(jié)論會(huì)經(jīng)常用到 （二）頻率分布直方圖： 1、頻數(shù)與頻率 （1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個(gè)確定的范圍內(nèi)

3、出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù). （2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù) （3）各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于 1 2、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過(guò)頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出 （1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 （2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常 5-12 組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱(chēng)為組距，所- 2 - / 6 以有組距=極差/組數(shù) （3）統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖 （4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距” （5）頻率分布直方圖的特點(diǎn)： 頻率

4、=頻率組距組距，即分布圖中每個(gè)小矩形的面積 因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于 1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個(gè)矩形的面積和為1 （三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個(gè)數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行分類(lèi)排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次 （四）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征： 1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù) 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱(chēng)為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個(gè)，則為中間兩個(gè)數(shù)的平均值。 3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記

5、為x，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：12,nx xx，則有： 12nxxxxn+= 4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為2s，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：12,nx xx，其平均數(shù)為x，則有：()()()2222121nsxxxxxxn=+，其中2s越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中 5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根 二、典型例題 例 1：某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為185的樣本，已知在高一年級(jí)抽取了75人，高二年級(jí)抽取了60人，則高中部共有學(xué)生_人 思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級(jí)和高二年級(jí)的人數(shù)可得高三人數(shù)為185756050=人，所以抽樣比為501=

6、100020，從而總?cè)藬?shù)為1185370020=人 答案：3700 例 2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，abc 三種產(chǎn)品共 3000 件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì) - 3 - / 6 員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格： 產(chǎn)品類(lèi)別 a b c 產(chǎn)品數(shù)量（件） 1300 樣本容量（件） 130 由于不小心，表格中 ac 產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得 a 產(chǎn)品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多 10，根據(jù)以上信息，可得 c 的產(chǎn)品數(shù)量是 件 思路：由b產(chǎn)品可得抽樣比為1301130010=，所以若 a 產(chǎn)品的樣本容量比 c 產(chǎn)品的樣本容量多10 ， 則 a 產(chǎn) 品 的 數(shù) 量 比 c 產(chǎn) 品 的 數(shù)

7、 量 多11010010=， 且,a c產(chǎn) 品 數(shù) 量 和 為300013001700=，從而可解得c產(chǎn)品的數(shù)量為800 答案：800 例 3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)了 100 根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的 100 根中_根棉花纖維的長(zhǎng)度小于 15mm 思 路 ： 由 頻 率 直 方 圖 的 橫 縱 軸 可 得 ： 組 距 為 5mm ， 所 以 小 于 15mm 的 頻 率 為()0.010.0150.1+=，所以小于 15mm 共有1000.1=10根 答案：10 例 4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來(lái)的

8、5 次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這 5次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是 ；已知兩位同學(xué)這 5 次成績(jī)的平均數(shù)都是 84，成績(jī)比較穩(wěn)定的是 （第二個(gè)空填“甲”或“乙”） - 4 - / 6 思 路 ： 由 莖 葉 圖 可 讀 出 ， 乙 同 學(xué) 的 成 績(jī) 為79,80,82,88,91， 甲 同 學(xué) 的 成 績(jī) 為81,82,83,84,91，所以乙同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)為82，相比較而言，甲同學(xué)的成績(jī)比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲 答案：82，甲 小煉有話(huà)說(shuō)：在求中位數(shù)時(shí)要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績(jī)穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，

9、所以定性的判斷。 例 6：某校從參加高三年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)分成五段：)50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130，130,150，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)生中成績(jī)不低于 90 分的人數(shù)是_ 思路：)90,100的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為1，可以考慮間接法。從圖中可觀察到(50,90的頻率為()0.00250.0150200.35+=，所以不低于 90 分的頻率為10.350.65=，故人數(shù)為1000.6565=（人） 答案：65 - 5 - / 6 例 7：從某小區(qū)抽取 100 戶(hù)

10、居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50 到 350 度之間,頻率分布直方圖所示 （1）直方圖中x的值為_(kāi)； （2）在這些用戶(hù)中,用電量落在區(qū)間)100,250內(nèi)的戶(hù)數(shù)為_(kāi) 思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于 1，由圖可得組距為50，所以有()0.00240.00360.00600.00240.0012501x+=，解得0.0044x = （2）圖中)100,250的頻率為()0.00360.0060.0044500.7+=，所以用戶(hù)數(shù)為1000.770=（戶(hù)） 答案：（1）0.0044x = （2）70戶(hù) 例 7：某校 1000 名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不

11、低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為 175 人，則a的估計(jì)值是_ 思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為10，從而可得： (140,150的人數(shù)為()10000.01 10100=，同理可得(130,140的人數(shù)為150人，而優(yōu)秀的人數(shù)為175人，所以應(yīng)包含(140,150的全體，以及(130,140中的一半人數(shù)，所以估計(jì)值為130到140的中間值，即135 答案：135a - 6 - / 6 例 8：某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間（單位：h）,隨機(jī)選擇了n位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第 1 個(gè)、第 4 個(gè)、第 2個(gè)、

12、第 3 個(gè)小長(zhǎng)方形的面積依次構(gòu)成公差為 0.1 的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是 10，則n = _. 思路：設(shè)第一個(gè)的面積為1sa=，則第 4 個(gè)為40.1sa=+，第 2 個(gè)為20.2sa=+，第 3 個(gè)為30.3sa=+，依題意可得四部分的頻率和為1，從而12341ssss+=可解得0.1a =，所以10.1s =，從而101000.1n = 答案：100 例 9：某單位有職工 200 名，現(xiàn)要從中抽取 40 名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按 1200 編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為 40 組（15 號(hào)，610 號(hào)，196200 號(hào)）.若第 5 組抽出的號(hào)碼為 22，則第 10 組抽出的號(hào)碼應(yīng)是_ 思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號(hào)碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距5d =，所以522a =，則1055222547aad=+=+= 答案：47 例 10：某單位有 8