高中數(shù)學(xué)選修一拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用 (2)

1、- 1 - / 9 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用 （4545 分鐘分鐘 100100 分）分） 一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013安陽(yáng)高二檢測(cè))過(guò)點(diǎn)(-1,0)且與拋物線 y2=x 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有( ) a.1 條 b.2 條 c.3 條 d.4 條 2.將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 y2=2px(p0)上,另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形的個(gè)數(shù)記為 n,則( ) a.n=0 b.n=1 c.n=2 d.n3 3.設(shè)拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn)為 f,準(zhǔn)線為 l,p 為拋物線上一點(diǎn),pal,a 為垂足,如果直線

2、 af 的斜率為-,那么|pf|=( ) a.4 b.8 c.8 d.16 4.(2013長(zhǎng)春高二檢測(cè))拋物線 y=x2上一點(diǎn)到直線 2x-y-4=0 的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) a.( , ) b.(1,1) c.( , ) d.(2,4) 5.(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)拋物線 c:y2=4x 的焦點(diǎn)為 f,直線 l 過(guò) f 且與 c 交于 a,b 兩點(diǎn).若|af|=3|bf|,則 l 的方程為( ) a.y=x-1 或 y=-x+1 b.y=(x-1)或 y=-(x-1) - 2 - / 9 c.y=(x-1)或 y=-(x-1) d.y=(x-1)或 y=-(x-1) 二、填空題二、填

3、空題( (每小題每小題 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.設(shè)已知拋物線 c 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為 f(1,0),直線 l 與拋物線 c 相交于a,b 兩點(diǎn).若 ab 的中點(diǎn)為(2,2),則直線 l的方程為 . 7.(2012北京高考)在直角坐標(biāo)系 xoy 中,直線 l 過(guò)拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) f,且與該拋物線相交于 a,b 兩點(diǎn).其中點(diǎn) a 在 x 軸上方.若直線 l的傾斜角為 60,則 oaf 的面積為 . 8.(2013珠海高二檢測(cè))過(guò)拋物線 y2=2x 的焦點(diǎn) f 作直線交拋物線于 a,b 兩點(diǎn),若|ab|=,|af|0)相交于b,c 兩點(diǎn),當(dāng)直線 l的斜率是

4、時(shí),=4. - 3 - / 9 (1)求拋物線 g 的方程. (2)設(shè)線段 bc 的中垂線在 y 軸上的截距為 b,求 b 的取值范圍. 答案解析答案解析 1.【解析】選 c.點(diǎn)(-1,0)在拋物線 y2=x 的外部,故過(guò)(-1,0)且與其有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條,其中兩條為切線,一條為 x 軸. 【舉一反三】若把本題中的點(diǎn)(-1,0)改為(1,1),則此時(shí)與 y2=x 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有( ) a.1 條 b.2 條 c.3 條 d.4 條 【解析】選 b.因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在拋物線 y2=x 上,所以作與 y2=x 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條,其中一條為切線,一條為平行于 x 軸的

5、直線. 2.【解題指南】數(shù)形結(jié)合. 【解析】選 c.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性, 正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)一定關(guān)于 x 軸對(duì)稱,且過(guò)焦點(diǎn)的兩條直線的傾斜角分別為 30和 150,如圖,所以正三角形的個(gè)數(shù) n=2,所以選 c. 3.【解析】選 b.如圖所示: 直線 af 的斜率為-, afk=60, paf=60. - 4 - / 9 又|pa|=|pf|, apf 為等邊三角形. 在 rtakf 中,|fk|=4, |af|=8,|pf|=8. 4.【解析】選 b.設(shè)拋物線 y=x2的切線 l 與 2x-y-4=0 平行. kl=2,設(shè) l 方程為 y=2x+b. 由消去 y 得 x2-2x-b=0. 由=

6、(-2)2-41(-b)=4+4b=0 得 b=-1, 而 b=-1 時(shí),切點(diǎn)橫坐標(biāo)為 1, 這時(shí)切點(diǎn)為(1,1). 5.【解題指南】設(shè)出 a,b 點(diǎn)的坐標(biāo),利用拋物線的定義表示出|af|,|bf|,再利用|af|=3|bf|,確立 l 的方程. 【解析】選 c.拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為 x=-1.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則|af|=x1+1,|bf|=x2+1,因?yàn)閨af|=3|bf|,所以 x1+1=3(x2+1),所以 x1=3x2+2.因?yàn)閨y1|=3|y2|,所以 x1=9x2,所以 x1=3,x2= .當(dāng) x1=3 時(shí), =12,此時(shí) y

7、1=2,若 y1=2,則 a(3,2),b,此時(shí) kab=,此時(shí)直線方程為y=(x-1).若 y1=-2,則 a(3,-2), b,此時(shí) kab=-,此時(shí)直線方程為 y=-(x-1). 6.【解題指南】求出拋物線方程,利用點(diǎn)差法. 【解析】由題意知拋物線的方程為 y2=4x, - 5 - / 9 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),則有 x1x2, 兩式相減得,-=4(x1-x2), =1, 直線 l 的方程為 y-2=x-2,即 y=x. 答案:y=x 7.【解題指南】寫出直線 l 的方程,再與拋物線方程聯(lián)立,解出 a 點(diǎn)坐標(biāo),再求面積. 【解析】拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) f(1,0)

8、,直線 l:y=(x-1).由解得a(3,2),b( ,-).所以 soaf= 12=. 答案: 【變式備選】已知拋物線 c:y2=4x 的焦點(diǎn)為 f,直線 y=2x-4 與 c 交于 a,b 兩點(diǎn),則 cosafb= . 【解題指南】聯(lián)立方程求出 a,b 兩點(diǎn)后轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題. 【解析】聯(lián)立消 y 得 x2-5x+4=0,解得 x=1 或 x=4. 不妨設(shè) a 在 x 軸上方,于是 a,b 的坐標(biāo)分別為(4,4),(1,-2),又 f(1,0), 可求|ab|=3,|af|=5,|bf|=2,利用余弦定理得cosafb=- . - 6 - / 9 答案:- 8.【解析】拋物線 y2=2x

9、 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),準(zhǔn)線方程為 x=- ,設(shè) a,b 的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 x1x2= . 設(shè)|af|=m,|bf|=n,則 x1=m- ,x2=n- , 所以有解得 m= 或 n= , 所以|af|= . 答案: 9.【解析】設(shè)拋物線方程為 y2=-2px(p0),把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得消元得 x2+(3+2p)x+ =0,判別式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得 p0或 p0)中,得 y2=-2x. 綜上,所求拋物線方程為 y2=-2x. - 7 - / 9 10.【解題指南】(1)利用定義建立方程求得 p 值.(2)利用“設(shè)而不求”的思想求

10、解. 【解析】(1)由題意設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p0),其準(zhǔn)線方程為 x=- . a(4,m)到焦點(diǎn)的距離等于 a 到其準(zhǔn)線的距離. 4+ =6,p=4, 此拋物線的方程為 y2=8x. (2)由消去 y 得 k2x2-(4k+8)x+4=0. 直線 y=kx-2 與拋物線相交于不同兩點(diǎn) a,b,則有 解得 k-1 且 k0, ab 中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 2,則有=2, 解得 k=2 或 k=-1(舍去). 所求 k 的值為 2. 【拓展提升】“中點(diǎn)弦”處理方法 當(dāng)涉及弦中點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線斜率之間的關(guān)系時(shí),可以“設(shè)而不求”,采用平方差法. (1)代端點(diǎn).把弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1),(x

11、2,y2)代入圓錐曲線方程. (2)“平方差”.將兩方程作差,利用平方差公式. (3)得斜率.把 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)代入可得,即直線的斜率. - 8 - / 9 (4)求結(jié)論.由點(diǎn)斜式求直線方程或代入轉(zhuǎn)化求其他. 11.【解析】(1)設(shè) b(x1,y1),c(x2,y2),當(dāng)直線 l 的斜率是時(shí),l 的方程為y= (x+4), 即 x=2y-4, 由得 2y2-(8+p)y+8=0, 又=4,y2=4y1, 由這三個(gè)表達(dá)式及 p0 得 y1=1,y2=4,p=2,則拋物線的方程為 x2=4y. (2)由題意可設(shè) l:y=k(x+4),bc 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0). 由得 x2-4kx-16k