高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1 第1講　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、1 / 12 第 1 講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 最新考綱 考向預(yù)測(cè) 通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義. 命題趨勢(shì) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決排列、組合問題的基本方法，同時(shí)又能獨(dú)立地解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，在本章中占有十分重要的地位 核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 目標(biāo) 策略 過程 方法總數(shù) 分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事 有兩類不同的方案 在第 1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的方法 nmn種不同的方法 分步乘法計(jì)數(shù)原理 需要兩個(gè)步驟 做第 1 步有 m種不同的方法，做第 2 步有 n種不同的方法 nmn種不同的方法

2、 特別提醒 1分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類 2分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成” 常見誤區(qū) 2 / 12 1應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理首先要弄清楚先分類還是先分步 2分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn) 3分步要做到“步驟完整”，步步相連 1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同( ) (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事( ) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的( ) (4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事件是分兩

3、步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2已知某公園有 4 個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為( ) a16 b13 c12 d10 解析：選 c.將 4 個(gè)門編號(hào)為 1，2，3，4，從 1 號(hào)門進(jìn)入后，有 3 種出門的方式，共 3 種走法，從 2，3，4 號(hào)門進(jìn)入，同樣各有 3 種走法，共有不同走法4312(種) 3(易錯(cuò)題)從 0，1，2，3，4，5 這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有( ) a30 b20 c10 d6 解析：選 d.從 0，1，2，3，4，5 這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字

4、相加和為偶數(shù)可分為兩類，取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有 3 種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有 3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有 n336(種) 4書架的第 1 層放有 4 本不同的計(jì)算機(jī)書，第 2 層放有 3 本不同的文藝書，第 3 層放有 2 本不同的體育書從書架中任取 1 本書，則不同取法的種數(shù)為_ 解析：分三類：第一類，從第 1 層取一本書有 4 種取法，第二類，從第 23 / 12 層取一本書有 3 種，第三類，從第 3 層取一本書有 2 種取法共有 4329種不同的取法 答案：9 5某人有 3 個(gè)電子郵箱，他要發(fā) 5 封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有_種 解析：因?yàn)槊糠忄]件選擇發(fā)送

5、的郵箱有 3 種不同的情況所以要發(fā) 5 封電子郵件，發(fā)送的方法有 3333335243(種) 答案：243 分類加法計(jì)數(shù)原理 題組練透 1甲、乙、丙三人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過 4 次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方法共有( ) a4種 b6種 c10 種 d16種 解析：選 b.分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件有 3種方法(如圖)， 同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件有 3種方法 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有 336(種)傳遞方法 2橢圓x2my2n1(m0，n0)的焦點(diǎn)在 x 軸上，且 m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為(

6、) a10 b12 c20 d35 解析：選 a.因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸上，mn，以 m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，由分類加法計(jì)數(shù)原理，可分為四類：第一類：m5時(shí)，使 mn，n有 4種選擇；第二類：m4 時(shí)，使 mn，n 有 3 種選擇；第三類：m3 時(shí)，使 mn，n 有 2 種選擇；第四類：m2 時(shí)，使 mn，n 有 1 種選擇故符合條件的橢圓共有 10個(gè)故選 a. 3如圖，從 a 到 o 有_種不同的走法(不重復(fù)過一4 / 12 點(diǎn)) 解析：分三類：第一類，直接由 a到 o，有 1種走法； 第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有 abo和 aco 2種不同的走法； 第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有 abco 和 acbo 2

7、種不同的走法 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有 1225(種)不同的走法 答案：5 4在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_ 解析：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按 1，2，3，4，5，6，7，8 的情況分成8 類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有 8 個(gè)，7 個(gè)，6 個(gè)，5 個(gè)，4 個(gè)，3 個(gè)，2 個(gè)，1個(gè) 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有 8765432136(個(gè)) 答案：36 分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)條件 (1)根據(jù)問題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類 (2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有

8、滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理 分步乘法計(jì)數(shù)原理 題組練透 1一個(gè)小朋友從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 10 個(gè)數(shù)字中選取 3 個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，則他寫出的三位數(shù)的個(gè)數(shù)有( ) a1 000 b900 c720 d648 解析：選 d.分三個(gè)步驟：第一步確定百位數(shù)字，有 9 種方法，第二步確定十位數(shù)字，有 9 種方法，第三步確定個(gè)位數(shù)字，有 8 種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得他寫出的三位數(shù)有 998648(個(gè)) 5 / 12 2如圖，小明從街道的 e處出發(fā)，先到 f處與小紅會(huì)合，再一起到位于 g處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑的條數(shù)

9、為( ) a24 b18 c12 d9 解析：選 b.由題意可知 ef 共有 6 種走法，fg 共有 3 種走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有 6318 種走法，故選 b. 3有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有_種不同的報(bào)名方法 解析：每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有 6 種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有 5 種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有 4 種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有 654120(種) 答案：120 4如圖，某電子器件由 3 個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有 6 個(gè)焊接點(diǎn) a，b，c，d，e，f，如果焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)

10、電路就會(huì)不通現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通，那么焊接點(diǎn)脫落的可能情況共有_種 解析：因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有 26163種可能情況 答案：63 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略 (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的 (2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總方法數(shù) 提醒 分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成 6 / 12 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 (1)生產(chǎn)過程中有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等

11、6 名工人中安排 4 人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排 1 人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排 1 人，則不同的安排方案共有( ) a24種 b36種 c48種 d72種 (2)如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)(用數(shù)字作答) 【解析】 (1)分兩類：第一道工序安排甲時(shí)有 114312(種)；第一道工序不安排甲時(shí)有 124324(種)所以共有 122436(種)故選 b. (2)把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有 8432(個(gè)) 第二類，有兩條公共邊的三角形共有 8個(gè) 由分類加法計(jì)數(shù)

12、原理知，共有 32840(個(gè)) 【答案】 (1)b (2)40 完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟 第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的； 第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種； 第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)； 第四步，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù) 1用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比 40 000大的偶數(shù)共有( ) 7 / 12 a144個(gè) b120 個(gè) c96個(gè) d72個(gè) 解析：選 b.首位為 5，末位為 0：43224(個(gè))；首位為 5，末位為2：43224(

13、個(gè))；首位為 5，末位為 4：43224(個(gè))；首位為 4，末位為 0：43224(個(gè))；首位為 4，末位為 2：43224(個(gè))由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有 2424242424120(個(gè))故選 b. 2如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與該平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是_ 解析：分類討論：第 1 類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有 21224(個(gè))；第 2 類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有 12個(gè)所以正方體中“正交

14、線面對(duì)”共有 241236(個(gè)) 答案：36 a級(jí) 基礎(chǔ)練 1教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有( ) a10種 b25種 c52種 d24種 解析：選 d.由題意可知共分 4 步，每相鄰的兩層之間各有 2 種走法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有 24種不同的走法 2小王有 70 元錢，現(xiàn)有面值分別為 20 元和 30 元的兩種 ic 電話卡若他至少買一張，則不同的買法共有( ) a7種 b8種 c6 種 d9 種 解析：選 a.要完成的“一件事”是“至少買一張 ic 電話卡”，分 3 類完成：買 1 張 ic 電話卡、買 2 張 ic 電話卡、買 3 張 ic 電話卡，而每

15、一類都能獨(dú)立完成“至少買一張 ic 電話卡”這件事買 1 張 ic 電話卡有 2 種方法，買 2張 ic 電話卡有 3 種方法，買 3 張 ic 電話卡有 2 種方法不同的買法共有 2327(種)故選 a項(xiàng) 3已知兩條異面直線 a，b 上分別有 5 個(gè)點(diǎn)和 8 個(gè)點(diǎn)，則這 13 個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( ) 8 / 12 a40 b16 c13 d10 解析：選 c.分兩類情況討論：第 1 類，直線 a 分別與直線 b 上的 8 個(gè)點(diǎn)可以確定 8 個(gè)不同的平面；第 2 類，直線 b 分別與直線 a 上的 5 個(gè)點(diǎn)可以確定 5個(gè)不同的平面根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定 8513 個(gè)不同

16、的平面 4直線 l：xayb1 中，a1，3，5，7，b2，4，6，8若 l 與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于 10，則這樣的直線的條數(shù)為( ) a6 b7 c8 d16 解析：選 b.l 與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 s12ab10，即 ab20. 當(dāng) a1時(shí)，不滿足；當(dāng) a3時(shí)，b8，即 1條 當(dāng) a5，7時(shí)，b4，6，8，此時(shí) a 的取法有 2 種，b 的取法有 3 種，則直線 l 的條數(shù)為 236.故滿足條件的直線的條數(shù)為 167.故選 b. 5某校為了慶祝中華人民共和國(guó)成立 70 周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有 9 個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有 3 個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變?cè)瓉淼捻樞颍?/p>

17、則新節(jié)目單的排法有( ) a12種 b27種 c729種 d1 320種 解析：選 d.第一步：9 個(gè)節(jié)目空出 10 個(gè)位置，可以加入 1 個(gè)新來的節(jié)目，所以加入一個(gè)新節(jié)目有 10種方法， 第二步：從排好的 10 個(gè)節(jié)目空出的 11 個(gè)位置中，加入第 2 個(gè)新節(jié)目，有11 種方法， 第三步：從排好的 11 個(gè)節(jié)目空出的 12 個(gè)位置中，加入第 3 個(gè)新節(jié)目，有12 種方法， 所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得加入 3 個(gè)新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有1011121 320(種) 6如圖所示，在 a，b 間有四個(gè)焊接點(diǎn) 1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，今發(fā)現(xiàn) a，b之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的

18、情況共有( ) 9 / 12 a9種 b11種 c13 種 d15種 解析：選 c.按焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分類：脫落 1 個(gè)，有 1，4，共 2 種；脫落2 個(gè)，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共 6種；脫落 3個(gè)，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共 4 種；脫落 4 個(gè)，有(1，2，3，4)，共 1 種由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有 264113(種)故選c項(xiàng) 7從集合1，2，3，4，10中，選出 5 個(gè)數(shù)組成子集，使得這 5 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于 11，則這樣的子集有( ) a32個(gè) b34個(gè) c36個(gè) d38個(gè)

19、解析：選 a.將和等于 11 的數(shù)放在一組：1和 10，2和 9，3和 8，4和 7，5和 6.從每一小組中取一個(gè)，有 c122種，共有 2222232個(gè)子集 8如圖所示，用 4 種不同的顏色涂入圖中的矩形 a，b，c，d中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有( ) a256種 b128 種 c72種 d64種 解析：選 c.方法一：首先涂 a有 4種涂法，則涂 b有 3種涂法，c與 a，b相鄰，則 c 有 2 種涂法，d 只與 c 相鄰，則 d 有 3 種涂法，所以共有432372種涂法 方法二：按要求涂色至少需要 3 種顏色，故分兩類：一是 4 種顏色都用，這時(shí) a 有 4 種涂法，b

20、 有 3 種涂法，c 有 2 種涂法，d 有 1 種涂法，共有432124 種涂法；二是用 3 種顏色，這時(shí) a，b，c 的涂法有 43224 種，d 只要不與 c 同色即可，故 d 有 2 種涂法，所以不同的涂法共有 2424272(種) 9從班委會(huì) 5 名成員中選出 3 名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)生委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有_種(用10 / 12 數(shù)字作答) 解析：第一步，先選出文娛委員，因?yàn)榧?、乙不能?dān)任，所以從剩下的 3人中選 1人擔(dān)任文娛委員，有 3種選法 第二步，從剩下的 4 人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進(jìn)行：先選學(xué)習(xí)委員有 4 種選

21、法，再選體育委員有 3 種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有 34336(種) 答案：36 10工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的 2個(gè)螺栓則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是_ 解析：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從 6 個(gè)螺栓里任意選一個(gè)，共有 6 種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選 1 號(hào)螺栓，第二個(gè)可以選 3，4，5 號(hào)螺栓，依次選下去，共可以得到 10 種方法，所以總共有 10660(種)方法，故答案是 60. 答案：60 11如果把個(gè)位數(shù)是 1，且恰有 3 個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由 1，2，3

22、，4 四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有_個(gè) 解析：當(dāng)組成的數(shù)字有三個(gè) 1，三個(gè) 2，三個(gè) 3，三個(gè) 4 時(shí)共有 4 種情況當(dāng)有三個(gè) 1 時(shí)：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有 9 種，當(dāng)有三個(gè) 2，3，4 時(shí)：2221，3331，4441，有 3 種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有 12 種結(jié)果 答案：12 12已知abc 三邊 a，b，c 的長(zhǎng)都是整數(shù)，且 abc，如果 b25，則符合條件的三角形共有_個(gè) 解析：根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知，c25a. 第一類：當(dāng) a1，b25 時(shí)，c 可取 25，共 1個(gè)值； 第二類

23、，當(dāng) a2，b25 時(shí)，c 可取 25，26，共 2個(gè)值； 11 / 12 當(dāng) a25，b25時(shí)，c 可取 25，26，49，共 25個(gè)值； 所以三角形的個(gè)數(shù)為 1225325. 答案：325 b級(jí) 綜合練 13(2020 鄭州質(zhì)檢)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) a72 b120 c192 d240 解析：選 d.將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，(1)若末位數(shù)字為 2，因?yàn)楹?2 個(gè) 4，所以有54321260(種)情況；(2)若末位數(shù)字為 6，同理有 60 種情況；(3)若末位數(shù)字為 4，因?yàn)橛袃蓚€(gè)相同數(shù)字 4，所以共有 54321120(種)情況綜上，共有 6060120240(種)情況 14(2020 北京市朝陽區(qū)模擬)將“?！薄暗摗薄皦邸碧钊氲饺鐖D所示的44 小方格中，每格內(nèi)只填入一個(gè)漢字，且任意的兩個(gè)漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有( )