高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程

1、1 / 16 第第 1 講講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角與斜率、直線的方程 1直線的傾斜角與斜率 (1)直線的傾斜角 定義：x 軸 01 正向與直線 02 向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角當(dāng)直線與 x 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 03 0 . 傾斜角的范圍為 04 0 180 . (2)直線的斜率 條件 公式 直線的傾斜角為 ，且 90 k 05 tan 直線過點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1x2 k 06y2y1x2x1 2直線方程的幾種形式 名稱 條件 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 斜率 k 與點(diǎn)(x1，y1) 07 yy1k(xx1) 不含直線 xx1

2、 斜截式 斜率 k 與直線在 y 軸上的截距 b 08 ykxb 不含垂直于 x 軸的直線 兩點(diǎn)式 兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，09yy1y2y1xx1x2x1 不含直線 xx1(x1x2)2 / 16 y2) 和直線 yy1(y1y2) 截距式 直線在 x 軸，y 軸上的截距分別為 a，b 10 xayb1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 11 axbyc0(a，b不同時(shí)為 0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 1直線的斜率 k 與傾斜角 之間的關(guān)系 0 0 90 90 90 0 不存在 k0，b0)，因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過點(diǎn) p(4,1)，所以4a1b1. (1)因?yàn)?a1b124a1b

3、4ab， 所以 ab16，saob12ab8，當(dāng)且僅當(dāng) a8，b2時(shí)等號(hào)成立 所以當(dāng) a8，b2 時(shí)，aob 的面積最小， 此時(shí)直線 l 的方程為x8y21，即 x4y80. (2)因?yàn)?a1b1，a0，b0，所以|oa|ob|ab(ab)4a1b5ab4ba9，當(dāng)且僅當(dāng) a6，b3 時(shí)等號(hào)成立 所以當(dāng)|oa|ob|取最小值時(shí)，直線 l 的方程為 x2y60. 角度 2 直線方程與函數(shù)的結(jié)合 例 4 為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外efa 內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測量 ab100 m，bc80 m，ae30 m，af20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最

4、大？ 9 / 16 解 如圖所示，以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則 e(30,0)，f(0,20)，直線 ef的方程為x30y201(0 x30) 易知當(dāng)矩形草坪的一個(gè)頂點(diǎn)在線段 ef上時(shí)，草坪面積可取最大值， 在線段 ef上取點(diǎn) p(m，n)， 作 pqbc 于點(diǎn) q， prcd于點(diǎn) r，設(shè)矩形 pqcr的面積為 s， 則 s|pq| |pr|(100m)(80n) 又m30n201(0m30)，n2023m. s(100m)802023m 23(m5)2180503(0m30) 當(dāng) m5時(shí)，s有最大值，這時(shí)|ep|pf|51. 當(dāng)矩形草坪的兩邊在 bc，cd 上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段 e

5、f 上，且這個(gè)頂點(diǎn)分有向線段 ef成 51時(shí)，草坪面積最大 直線方程綜合問題的兩大類型及解法 (1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中 x，y 的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x(或 y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決 (2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)(如方程解的個(gè)數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決 10 / 16 6.已知直線 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng) 0a2 時(shí)，直線 l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a_. 答案 12 解析 由題意知直線 l1，l2恒過定點(diǎn) p(2,2)，

6、直線 l1在 y 軸上的截距為 2a，直線 l2在 x 軸上的截距為 a22，所以四邊形的面積 s122(2a)122(a22)a2a4a122154，當(dāng) a12時(shí)，四邊形的面積最小 7.如圖，在兩條互相垂直的道路 l1，l2的一角，有一個(gè)電線桿，電線桿底部到道路 l1的垂直距離為 4 米，到道路 l2的垂直距離為 3米，現(xiàn)在要過電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道，使得人行直道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長度為多少米？ 解 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)人行道所在直線方程為 y4k(x3)(k0)， 所以 a34k，0 ，b(0,43k)， 所以abo的面積

7、s12(43k)34k12249k16k， 因?yàn)?k0，b0時(shí)，a0，b0，bc0，bc0 cab0 dab0，bc0 答案 a 解析 由于直線 axbyc0 同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為 yabxcb.易知ab0，故 ab0，bc12或 k0，且 a(a,0)，b(0，b)，c(2，2)三點(diǎn)共線，則 ab 的最小值為_. 答案 16 解析 根據(jù) a(a,0)，b(0，b)確定直線的方程為xayb1，又因?yàn)?c(2，2)在該直線上，故2a2b1，所以2(ab)ab.又因?yàn)?ab0，故 a0，b0. 根據(jù)基本不等式 ab2(ab)4 ab，從而 ab0(舍去)或 a

8、b4，故ab16，當(dāng)且僅當(dāng) ab4 時(shí)取等號(hào)，即 ab的最小值為 16. 14過點(diǎn) m(3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_. 答案 5x3y0或 xy80 解析 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為 y53x，即 5x3y0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xaya1，即 xya，代入點(diǎn)(3,5)，得 a8，即直線方程為 xy80.綜上，直線方程為 5x3y0或 xy80. 15在abc 中，已知 a(1,1)，ac 邊上的高線所在的直線方程為 x2y0，ab 邊上的高線所在的直線方程為 3x2y30.則 bc 邊所在的直線方程為_. 答案 2x5y90 解析 由題意，得 kac2，kab23.lac：y12(x1)，即 2xy30，lab：y123(x1)，即 2x3y10.由 2xy30，3x2y30，得 c(3，3)由 2x3y10，x2y0，得 b(2，1)lbc：2x5y90. 16 / 16 16已知點(diǎn) m 是直線 l：y 3x3 與 x 軸的交點(diǎn)，將直線 l 繞點(diǎn) m 旋轉(zhuǎn)30 ，則所得到的直線 l的方程為_. 答案 x 3或 y33(x 3) 解析 在 y 3x3 中，令 y0，得 x 3，即 m( 3，0)因?yàn)橹本€l 的斜率為 3，所以其傾斜角為