高考數(shù)學一輪復習第1節(jié)　直線與直線方程

1、1 / 22 第 1節(jié) 直線與直線方程 知 識 梳 理 1直線的傾斜角與斜率 (1)定義：在平面直角坐標系中，當直線 l 與 x 軸相交時，我們?nèi)?x 軸作為基準，x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角 叫作直線 l 的傾斜角當直線 l 和 x 軸平行或重合時，直線 l 的傾斜角為 0 (2)范圍：傾斜角 的取值范圍是 0 180 (3)定義：一條直線的傾斜角 (90 )的正切值叫作這條直線的斜率，該直線的斜率 ktan ；當直線的傾斜角 90 時，直線的斜率不存在 (4)過兩點的直線的斜率公式：過兩點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為 ky2y1x2x

2、1若 x1x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為 90 . 2直線方程的五種形式 名稱 幾何條件 方程 適用范圍 點斜式 斜率 k 與點(x0，y0) yy0k(xx0) 不含直線 xx0 斜截式 斜率 k 與截距 b ykxb 不含垂直于 x 軸的直線 兩點式 兩點(x1，y1)，(x2，y2) yy1y2y1xx1x2x1 不含直線 xx1(x1x2)和直線 yy1(y1y2) 截距式 在 x 軸和 y 軸的截距分別為 a 與 b xayb1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 2 / 22 一般式 axbyc0 (a2b20) 適用于平面直角坐標系內(nèi)的所有直線 3.兩直線的位置關(guān)系 斜

3、截式 一般式 方程 yk1xb1 yk2xb2 a1xb1yc10(a21b210) a2xb2yc20(a22b220) 相交 k1k2 a1b2a2b10 當a2b20時，) 記為a1a2b1b2 垂直 k1k21或 k11k2 a1a2b1b20 當b1b20時，) 記為a1a2b1b21 平行 k1k2且 b1b2 重合 k1k2且 b1b2 a1a2，b1b2，c1c2 當a2b2c20時，記為a1a2b1b2c1c2 4.幾種距離 (1)兩點距離 兩點 p1(x1，y1)、p2(x2，y2)之間的距離|p1p2| （x2x1）2（y2y1）2 (2)點線距離 點 p0(x0，y0)

4、到直線 l：axbyc0(a，b 不同時為 0)的距離 d|ax0by0c|a2b2 (3)線線距離 兩平行直線 axbyc10與 axbyc20 間的距離 d|c1c2|a2b2 3 / 22 1直線的斜率 k 與傾斜角 之間的關(guān)系 0 0 90 90 90 180 k 0 k0 不存在 k0 2.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在，不能忽略直線斜率不存在的情況 3在運用兩平行直線間的距離公式 d|c1c2|a2b2時，一定要注意將兩方程中 x，y 的系數(shù)分別化為相同的形式 4線段的中點坐標公式 若點 p1，p2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段 p1p2

5、的中點 m 的坐標為(x，y)，則xx1x22，yy1y22. 5兩直線相交 直線 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的公共點的坐標與方程組a1xb1yc10，a2xb2yc20的解一一對應(yīng) 相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解； 平行方程組無解； 重合方程組有無數(shù)個解 診 斷 自 測 1判斷下列說法的正誤 (1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大( ) (2)經(jīng)過點 p(x0，y0)的直線都可以用方程 yy0k(xx0)表示( ) (3)經(jīng)過任意兩個不同的點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )

6、 (4)當直線 l1和 l2的斜率都存在時，一定有 k1k2l1l2.( ) (5)如果兩條直線 l1與 l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.( ) 4 / 22 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (1)當直線的傾斜角 1135 ，245 時，12，但其對應(yīng)斜率 k11，k21，k1k2. (2)當直線的斜率不存在時，不可以用方程 yy0k(xx0)表示 (4)兩直線 l1，l2有可能重合 (5)如果 l1l2，若 l1的斜率 k10，則 l2的斜率不存在 2如果 a c0，且 b c0，在 y 軸上的截距cb0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限 3點(1，0)到

7、直線 xy10 的距離是( ) a. 2 b.22 c1 d.12 答案 a 解析 由點到直線的距離公式得點(1，0)到直線 xy10 的距離為|101|1212 2，故選 a. 4已知 a(3，5)，b(4，7)，c(1，x)三點共線，則 x_ 答案 3 解析 a，b，c三點共線，kabkac，7543x513，x3. 5(必修 2p100a9 改編)過點 p(2，3)且在兩軸上截距相等的直線方程為_ 答案 3x2y0或 xy50 解析 當縱、橫截距為 0 時，直線方程為 3x2y0； 當截距不為 0 時，設(shè)直線方程為xaya1，則2a3a1，解得 a5.所以直線方程為 xy50. 5 /

8、22 6設(shè)直線 l1：(a1)x3y2a0，直線 l2：2x(a2)y10.若 l1l2，則實數(shù) a 的值為_，若 l1l2，則實數(shù) a 的值為_ 答案 85 4 解析 由 l1l2得 2(a1)3(a2)0，故 a85；當 l1l2時，有（a1）（a2）32，（a2）（2a）31，則 a4. 考點一 直線的傾斜角與斜率 【例 1】 (1)直線 2xcos y306，3的傾斜角的取值范圍是( ) a.6，3 b.4，3 c.4，2 d.4，23 (2)直線 l 過點 p(1，0)，且與以 a(2，1)，b(0， 3)為端點的線段有公共點，則直線 l 斜率的取值范圍為_ 答案 (1)b (2)(

9、， 31，) 解析 (1)直線 2xcos y30的斜率 k2cos ， 因為 6，3，所以12cos 32， 因此 k2 cos 1， 3 設(shè)直線的傾斜角為， 則有 tan 1， 3 又 0，)，所以 4，3， 即傾斜角的取值范圍是4，3. (2)如圖，kap10211， 6 / 22 kbp3001 3， 直線 l 的斜率 k(， 31，) 感悟升華 直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分0，2與2， 兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當 0，2時，斜率 k0，)；當 2時，斜率不存在；當 2， 時，斜率 k(，0) 【訓練 1】

10、(1)直線 xsin y20的傾斜角的取值范圍是( ) a0，) b.0，434， c.0，4 d.0，42， (2)直線 l 經(jīng)過點 a(1，2)，且在 x 軸上的截距的取值范圍是(3，3)，則其斜率 k的取值范圍是( ) a.1，15 b.，12(1，) c.，15(1，) d(，1)12， 答案 (1)b (2)d 解析 (1)設(shè)直線的傾斜角為 ，則有 tan sin .因為 sin 1，1，所以1tan 1，又 0，)，所以 04或34kam或k12或 k1. 考點二 直線的方程 【例 2】 根據(jù)所給條件求直線的方程： (1)直線過點(4，0)，傾斜角的正弦值為1010； 7 / 22

11、 (2)直線過點(3，4)，且在兩坐標軸上的截距之和為 12； (3)直線過點(5，10)，且到原點的距離為 5. 解 (1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式 設(shè)傾斜角為 ，則 sin 1010(00； 當 k0 時，直線為 y1，符合題意， 故 k 的取值范圍是0，) (3)解 由題意可知 k0，再由 l 的方程， 得 a12kk，0 ，b(0，12k) 依題意得12kk0，解得 k0. s12 |oa| |ob|1212kk |12k| 12（12k）2k124k1k4 12(224)4， “”成立的條件是 k0且 4k1k，即 k12， smin4，此時直線 l 的方程為 x2

12、y40. 9 / 22 感悟升華 在求直線方程的過程中，若有以直線為載體的求面積、距離的最值問題，則可先設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式或函數(shù)知識求解最值 【訓練 3】 (一題多解)已知直線 l 過點 p(3，2)，且與 x 軸、y 軸的正半軸分別交于 a，b兩點，如圖所示，求abo的面積的最小值及此時直線 l 的方程 解 法一 設(shè)直線方程為xayb1(a0，b0)， 點 p(3，2)代入得3a2b126ab，得 ab24， 從而 sabo12ab12， 當且僅當3a2b時等號成立，此時 a6，b4，所以x6y41， 從而所求直線方程為 2x3y120. 法二 依題意知，直線 l

13、的斜率 k 存在且 k0. 則直線 l 的方程為 y2k(x3)(k0)， 且有 a32k，0 ，b(0，23k)， sabo12(23k)32k 1212（9k）4（k）12122（9k）4（k） 12(1212)12. 當且僅當9k4k，即 k23時，等號成立， 即abo 的面積的最小值為 12. 故所求直線的方程為 2x3y120. 考點四 兩直線的平行與垂直 【例 4】 已知 a 為實數(shù)，直線 l1：ax6y60，直線 l2：2x3y50，若10 / 22 l1l2，則 a_；若 l1l2，則 a_ 答案 4 9 解析 由 l1l2得 3a260，解得 a4.由 l1l2得 2a360

14、，解得 a9. 感悟升華 (1)討論兩直線的位置關(guān)系時應(yīng)考慮直線的斜率是否存在 (2)“直線 a1xb1yc10，a2xb2yc20 平行”的充要條件是“a1b2a2b1且 a1c2a2c1”，“兩直線垂直”的充要條件是“a1a2b1b20” 【訓練 4】 已知直線 l1：axya0 和 l2：2x(a1)ya30(ar)，若l1l2，a_；若 l1l2，a_. 答案 13 2 解 析 當l1l2時 ， 2a (a 1) 0 ， a 13； 當l1l2時 ，（a1） a2（1）0，a（a3）2a0，a2. 考點五 兩直線的交點與距離問題 【例 5】 (1)(一題多解)直線 l 過點 p(1，2

15、)且到點 a(2，3)和點 b(4，5)的距離相等，則直線 l 的方程為_ (2)(2018 上海卷)已知常數(shù) x1、x2、y1、y2滿足：x21y211，x22y221，x1x2y1y212，則|x1y11|2|x2y21|2的最大值為_ 答案 (1)x3y50 或 x1 (2) 2 3 解析 (1)法一 當直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為 y2k(x1)，即kxyk20. 由題意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即|3k1|3k3|，k13. 直線 l 的方程為 y213(x1)，即 x3y50. 11 / 22 當直線 l 的斜率不存在時，直線 l 的方程為 x1

16、，也符合題意 法二 當 abl 時，有 kkab13，直線 l 的方程為 y213(x1)，即 x3y50. 當 l 過 ab中點時，ab的中點為(1，4) 直線 l 的方程為 x1. 故所求直線 l 的方程為 x3y50或 x1. (2)由 x21y211，x22y221 可知 a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點都在單位圓 o：x2y21 上，又 x1x2y1y212，oa與ob的夾角為 60 ，|x1y11|2|x2y21|2為a，b 兩點到直線 xy10 的距離之和，oab 為等邊三角形，設(shè) ab 邊的中點為 c，a，b，c 到直線 xy10 的距離分別為 d，di，d，則 d1d2

17、2d，由數(shù)形結(jié)合易得|oc|32，dmax32|1|22 32，所求的最大值為 2 3. 感悟升華 (1)若直線 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20 有交點，則過交點的直線方程可設(shè)為 (a1xb1yc1)(a2xb2yc2)0(， 不同時為零)，可避開求交點 (2)運用點到直線的距離公式，直線要化為一般式，并注意運用數(shù)形結(jié)合思想解題 【訓練 5】 (1)(2021 山水聯(lián)盟考試)設(shè)直線 l1，l2方程分別為 l1：x2y30，l2：4xay80，且 l1l2，則 a_，l1，l2兩條平行線間的距離為_ (2)過兩直線 2xy50 和 xy20 的交點且與直線 3xy10 垂直的

18、直線方程為_ 答案 (1)8 55 (2)x3y100 解析 (1)因為兩直線平行，所以124a，解得 a8，所以這兩條平行直線之間的距離 d|32|1455. (2)設(shè)所求直線方程為 2xy5(xy2)0， 12 / 22 即(2)x(1)y250， 由題意知 3(2)(1)0， 54.將 54代入得 x3y100. 考點六 對稱問題 角度 1 點關(guān)于點對稱 【例 61】 直線 x2y30 關(guān)于定點 m(2，1)對稱的直線方程是_ 答案 x2y110 解析 設(shè)所求直線上任一點(x，y)，則關(guān)于 m(2，1)的對稱點(4x，2y)在已知直線上，所求直線方程為(4x)2(2y)30，即 x2y1

19、10. 感悟升華 1.點關(guān)于點的對稱：點 p(x，y)關(guān)于 o(a，b)對稱的點 p(x，y)滿足x2ax，y2by. 2直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解 角度 2 點關(guān)于線對稱 【例 62】 如圖，已知 a(4，0)，b(0，4)，從點 p(2，0)射出的光線經(jīng)直線 ab反射后再射到直線 ob 上，最后經(jīng)直線 ob 反射后又回到 p 點，則光線所經(jīng)過的路程是( ) a3 3 b6 c2 10 d2 5 答案 c 解析 直線 ab 的方程為 xy4，點 p(2，0)關(guān)于直線 ab 的

20、對稱點為 d(4，13 / 22 2)，關(guān)于 y 軸的對稱點為 c(2，0)，則光線經(jīng)過的路程為|cd|62222 10. 感悟升華 1.若點 a(a，b)與點 b(m，n)關(guān)于直線 axbyc0(a0，b0)對稱，則直線 axbyc0 垂直平分線段 ab，即有nbmaab1，aam2bbn2c0. 2幾個常用結(jié)論 (1)點(x，y)關(guān)于 x 軸的對稱點為(x，y)，關(guān)于 y 軸的對稱點為(x，y) (2)點(x，y)關(guān)于直線 yx 的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線 yx 的對稱點為(y，x) (3)點(x，y)關(guān)于直線 xa 的對稱點為(2ax，y)，關(guān)于直線 yb 的對稱點為(x，2by)

21、角度 3 線關(guān)于線對稱 【例 63】 直線 2xy30 關(guān)于直線 xy20 對稱的直線方程是_ 答案 x2y30 解析 設(shè)所求直線上任意一點 p(x，y)， 則 p關(guān)于 xy20的對稱點為 p(x0，y0)， 由xx02yy0220，xx0（yy0），得x0y2，y0 x2， 由點 p(x0，y0)在直線 2xy30上， 2(y2)(x2)30，即 x2y30. 感悟升華 求直線 l1關(guān)于直線 l 對稱的直線 l2，有兩種處理方法： (1)在直線 l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線 l 的對稱點，再用兩點式寫出直線 l2的方程 (2)設(shè)點 p(x，y

22、)是直線 l2上任意一點，其關(guān)于直線 l 的對稱點為 p1(x1，y1)(p1在14 / 22 直線 l1上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用 x，y 表示出 x1，y1，再代入直線 l1的方程，即得直線 l2的方程 【訓練 6】 已知直線 l：2x3y10，點 a(1，2)求： (1)點 a關(guān)于直線 l 的對稱點 a的坐標； (2)直線 m：3x2y60 關(guān)于直線 l 的對稱直線 m的方程； (3)(一題多解)直線 l 關(guān)于點 a 對稱的直線 l的方程 解 (1)設(shè) a(x，y)，則y2x1231，2x123y2210， 解得x3313，y413，即 a3313，413. (2)在直線 m

23、 上取一點，如 m(2，0)，則 m(2，0)關(guān)于直線 l 的對稱點必在 m上設(shè)對稱點為 m(a，b)， 則2a223b0210，b0a2231， 解得a613，b3013，即 m613，3013. 設(shè) m與 l 的交點為 n，則由2x3y10，3x2y60， 得 n(4，3)又 m經(jīng)過點 n(4，3)， 由兩點式得直線 m的方程為 9x46y1020. (3)法一 在 l：2x3y10 上任取兩點， 如 p(1，1)，n(4，3)， 則 p，n關(guān)于點 a的對稱點 p，n均在直線 l上 易知 p(3，5)，n(6，7)，由兩點式可得 l的方程為 2x3y90. 法二 設(shè) q(x，y)為 l上任

24、意一點，則 q(x，y)關(guān)于點 a(1，2)的對稱點為 15 / 22 q(2x，4y)， q在直線 l 上，2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90. 16 / 22 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1直線 x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是( ) a.0，4 b.34， c.0，42， d.4，234， 答案 b 解析 直線的斜率 k1a21，1k0，則傾斜角的范圍是34， . 2若直線 l 與直線 y1，x7 分別交于點 p，q，且線段 pq 的中點坐標為(1，1)，則直線 l 的斜率為( ) a.13 b13 c32 d.23 答案 b 解析 依題意，設(shè)點 p(a，1)，q(7，b)

25、，則有a72，b12， 解得 a5，b3，從而可知直線 l 的斜率為317513. 3若直線 axbyab(a0，b0)過點(1，1)，則該直線在 x 軸、y 軸上的截距之和的最小值為( ) a1 b2 c4 d8 答案 c 解析 直線 axbyab(a0，b0)過點(1，1)， abab，即1a1b1， ab(ab)1a1b2baab22baab4， 當且僅當 ab2 時上式等號成立 直線在 x 軸，y 軸上的截距之和的最小值為 4. 17 / 22 4(一題多解)過兩直線 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交點和原點的直線方程為( ) a19x9y0 b9x19y0 c19x3y0

26、 d3x19y0 答案 d 解析 法一 由x3y40，2xy50，得x197，y37， 則所求直線方程為：y37197x319x，即 3x19y0. 法二 設(shè)直線方程為 x3y4(2xy5)0， 即(12)x(3)y450，又直線過點(0，0)， 所以(12) 0(3) 0450， 解得 45，故所求直線方程為 3x19y0. 5直線 x2y10關(guān)于直線 x1對稱的直線方程是( ) ax2y10 b2xy10 cx2y30 dx2y30 答案 d 解析 設(shè)所求直線上任一點(x，y)，則它關(guān)于直線 x1 的對稱點(2x，y)在直線 x2y10上，即 2x2y10，化簡得 x2y30. 6若直線

27、l1：xay60 與 l2：(a2)x3y2a0 平行，則 l1與 l2間的距離為( ) a. 2 b.8 23 c. 3 d.8 33 答案 b 解析 顯然 a0 或 a2時，l1與 l2不平行 因為 l1l2，所以1a2a362a， 解得 a1，所以 l1：xy60，l2：xy230，所以 l1與 l2之間的距離 d18 / 22 62328 23，故選 b. 7平面直角坐標系中直線 y2x1關(guān)于點(1，1)對稱的直線方程是( ) ay2x1 by2x1 cy2x3 dy2x3 答案 d 解析 在直線 y2x1 上任取兩個點 a(0，1)，b(1，3)，則點 a關(guān)于點(1，1)對稱的點為

28、m(2，1)，點 b 關(guān)于點(1，1)對稱的點為 n(1，1)由兩點式求出對稱直線 mn的方程為y111x121，即 y2x3，故選 d. 8從點(2，3)射出的光線沿與向量 a(8，4)平行的直線射到 y 軸上，則反射光線所在的直線方程為( ) ax2y40 b2xy10 cx6y160 d6xy80 答案 a 解析 由直線與向量 a(8，4)平行知：過點(2，3)的直線的斜率 k12，所以直線的方程為 y312(x2)，其與 y 軸的交點坐標為(0，2)，又點(2，3)關(guān)于 y 軸的對稱點為(2，3)，所以反射光線過點(2，3)與(0，2)，由兩點式知 a 正確 二、填空題 9若三條直線

29、y2x，xy3，mx2y50 相交于同一點，則 m 的值為_ 答案 9 解析 由y2x，xy3，得x1，y2. 點(1，2)滿足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 10已知直線 l 過坐標原點，若直線 l 與線段 2xy8(2x3)有公共點，則直線 l 的斜率的取值范圍是_ 19 / 22 答案 23，2 解析 設(shè)直線 l 與線段 2xy8(2x3)的公共點為 p(x，y) 則點 p(x，y)在線段 ab上移動，且 a(2，4)，b(3，2)， 設(shè)直線 l 的斜率為 k. 又 koa2，kob23. 如圖所示，可知23k2. 直線 l 的斜率的取值范圍是23，2 . 11 過 點

30、m(3 ， 4) ， 且 在 兩 坐 標 軸 上 的 截 距 相 等 的 直 線 的 方 程 為_ 答案 4x3y0或 xy10 解析 若直線過原點，則 k43， 所以 y43x，即 4x3y0. 若直線不過原點，設(shè)直線方程為xaya1，即 xya. 則 a3(4)1， 所以直線的方程為 xy10. 12直線 l：xy230(r)恒過定點_，p(1，1)到該直線的距離最大值為_ 答案 (2，3) 13 解析 已知直線方程轉(zhuǎn)化為(x2)(y3)0，由x20，y30，求得定點(2，3)；點 p(1，1)到直線 l 的距離最大值即為點 p(1，1)到定點(2，3)的距離，即為 （12）2（13）2

31、13. 13(2021 臺州一模)在平面直角坐標系 xoy 中，曲線 c：xy 3上任意一點 p20 / 22 到直線 l：x 3y0的距離的最小值為_ 答案 3 解析 y3x，所以 y3x233，得 x 3，由圖象對稱性，取點( 3，1)，所以 d2 32 3. 14已知動點 p 的坐標為(x，1x)，xr，則動點 p 的軌跡方程為_，它到原點距離的最小值為_ 答案 xy10 22 解析 設(shè)點 p 的坐標為(x，y)，則 y1x，即動點 p 的軌跡方程為 xy10；原點到直線 xy10 的距離為 d|001|121222，即為所求原點到動點 p的軌跡的距離的最小值 能力提升題組 15曲線 y2xx3在橫坐標為1 的點處的切線為 l，則點 p(3，2)到直線 l 的距離為( ) a.7 22 b.9 22 c.11 22 d.9 1010 答案 a 解析 曲線 y2xx3上橫坐標為1 的點的縱坐標為1，故切點坐標為(1，1)切線斜率為 ky|x123(1