高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1講 不等關(guān)系與不等式_第1頁(yè)
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1、1 / 16 第第 1 講講 不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式 1比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小 兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的,有 ab0 01 ab;ab0 02 ab;ab0 03 a0,則有ab1ab;ab1ab;ab1abbb,bcac. (3)可加性:abac 06 bc;ab,cd 07 acbd. (4)可乘性:ab,c0 08 acbc;ab,c0 09 acb0,cd010 acbd. (5)可乘方性:ab0 11 anbn(nn,n2) (6)可開方性:ab0 12 nanb(nn,n2) 1ab,ab01a1b. 2 / 16 2a0b1ab0,0cbd. 40axb或

2、axb01b1xb0,m0,則babmam(bm0);abambm;ab0) 1若 m0且 mn0,則下列不等式中成立的是( ) anmnm bnmmn cmnmn dmnnm 答案 d 解析 (取特殊值法)令 m3,n2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn),可知 d正確 2已知 a1,a2(0,1),記 ma1a2,na1a21,則 m 與 n 的大小關(guān)系是( ) amn cmn d不確定 答案 b 解析 mna1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21),又 a1(0,1),a2(0,1),a110,a210,即 mn0,mn.故選 b 3若22,則 的取值范圍是_. 答案 (,0) 解析 由

3、已知,得22,22,所以,又 ,所以0,故 3 / 16 解析 因?yàn)? 7 10)2172 70,( 3 14)2172 42,所以( 710)2( 3 14)2,所以 7 10 3 14. 5已知 a,b,cr,有以下命題: 若1a1b,則cacb;若ac2bc2,則 ab,則 a 2cb 2c. 其中正確的是_(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上) 答案 解析 若 c0,則命題不成立由ac2bc2得abc20,于是 a0知命題正確故正確命題的序號(hào)為. 考向一 不等式的性質(zhì) 例 1 (1)若 abb2;|1a|b1|;1ab1a1b. 其中正確的個(gè)數(shù)是( ) a0 b1 c2 d3 答案 d 解析 因

4、為 ab|b|0,所以 a2b2,所以 a21b2,故正確又因?yàn)閍b0,所以a1b10,所以|1a|b1|,故正確因?yàn)?abab1a1b,故正確所以三個(gè)不等式都正確故選 d (2)(多選)(2020 山東省、海南省新高考高三 4 月模擬)對(duì)于實(shí)數(shù) a,b,c,下列命題是真命題的為( ) 4 / 16 a若 ab,則1ab,則 ac2bc2 c若 a0b,則 a2ab0,則acabcb 答案 bd 解析 根據(jù) ab,取 a1,b1,則1ab,由不等式的基本性質(zhì)知 ac2bc2成立,故 b 正確;由 a0b,取 a1,b1,則 a2ab0,(ab)c0,acabbcab,即 a(cb)b(ca),

5、ca0,cb0,acabcb,故 d 正確故選bd 解決此類題目常用的三種方法 (1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件 (2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案 (3)利用函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí),可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷 1如果 a0b且 a2b2,那么以下不等式中正確的個(gè)數(shù)是( ) a2b01b;a3b2,b0,得 a2b0,1a0,又 b0,1b01b,正確;由 a2b2,a0,得 a3ab2,不正確故選 c 5 / 16 2已知 a,br,下列四個(gè)條件中,使ab1成立的必要不充分條件是(

6、 ) aab1 bab1 c|a|b| dln aln b 答案 c 解析 ab1ab10abb0(ab)b0ab0 或 ab|b|,但由|a|b|不能得到 ab0 或 ab1,故|a|b|是使ab1 成立的必要不充分條件故選 c 多角度探究突破 考向二 比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小 角度 1 作差法 例 2 (1)已知 ab0,m0,則( ) ababmam bbabmam cbab0,m0,所以 ba0, 所以m(ba)a(am)0,即babmam0,所以babmam. (2)(2020 山東齊魯名校聯(lián)考)已知 0an bmn cmn d不能確定 答案 a 解析 0a0,1b0,1ab0. mn

7、1a1a1b1b2(1ab)(1a)(1b)0,mn.故選 a 作差法的步驟 (1)作差;(2)變形;(3)定號(hào);(4)結(jié)論 3(2020 北京東城區(qū)測(cè)試)若 f(x)3x2x1,g(x)2x2x1,則 f(x),g(x)的大小關(guān)系是( ) af(x)g(x) bf(x)g(x) cf(x)0f(x)g(x)故選 b 角度 2 作商法 例 3 設(shè) a,b 都是正數(shù),且 ab,則 aabb與 abba的大小關(guān)系是_. 答案 aabbabba 解析 aabbabbaaab bbaabab.若 ab,則ab1,ab0,abab1,aabbabba;若 ab,則 0ab1,ab1,aabbabba.

8、作商法的步驟 (1)作商;(2)變形;(3)判斷商與 1的大??;(4)結(jié)論 4.若 a0,且 a7,則( ) a77aa7aa7 d77aa與 7aa7的大小不確定 7 / 16 答案 c 解析 77aa7aa777aaa77a7a,則當(dāng) a7 時(shí),07a1,7a1,77aa7aa7;當(dāng) 0a1,7a0,則7a7a1,77aa7aa7.綜上,77aa7aa7. 角度 3 特殊值法 例 4 有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一個(gè)顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同已知三個(gè)房間粉刷面積(單位:m2)分別為 x,y,z,且xyz,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位:元/m2)分別為 a,b,c,且 a

9、bc.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用(單位:元)是( ) aaxbycz bazbycx caybzcx daybxcz 答案 b 解析 采用特殊值法驗(yàn)證即可,若 x1,y2,z3,a1,b2,c3,則 axbycz14,azbycx10,aybzcx11,aybxcz13.由此可知最低的總費(fèi)用是 azbycx. 特殊值法比較大小的思路 利用特殊值法比較兩數(shù)(式)的大小時(shí)需要注意以下問(wèn)題:賦值應(yīng)該滿足前提條件,當(dāng)一次賦值不能確定準(zhǔn)確的選項(xiàng),則可以通過(guò)二次賦值檢驗(yàn),直至得到正確選項(xiàng) 5.若 a0,b0,則 pb2aa2b與 qab的大小關(guān)系為( ) apq dpq 答案 b 解析 解法一:(特殊值

10、排除法)令 ab1,則 pq2,排除 a,c;令 a1,b2,則 pq,排除 d故選 b 解法二:(作差法)pqb2aa2babb2a2aa2b2b(b2a2)1a1b8 / 16 (b2a2)(ba)ab(ba)2(ba)ab,因?yàn)?a0,b0,所以 ab0.若 ab,則pq0,故 pq;若 ab,則 pq0,故 pq.綜上,pq.故選 b 角度 4 中間量法 例 5 已知實(shí)數(shù) aln (ln ),bln ,c2ln ,則 a,b,c 的大小關(guān)系為( ) aabc bacb cbac dcab 答案 a 解析 因?yàn)?ee2,所以 ln (1,2),即 b(1,2)由 ln (1,2),得 a

11、ln (ln )(ln 1,ln 2),而 ln 2ln e1,所以 a(0,1)由 2ln e2ln 2ln e2,得 c(2,4)所以 abc.故選 a 中間量法比較大小的思路 利用中間量法比較不等式大小時(shí)要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間變量,指數(shù)式比較大小,一般選取 1和指數(shù)式的底數(shù)作為中間值;對(duì)數(shù)式比較大小,一般選取 0 和 1 作為中間值,其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)logax 的單調(diào)性判斷其與f(1),f(a)的大小 6.若 0ab1,則 ab,logba,log b的大小關(guān)系是_. 答案 log bablogba 解析 0a1.又 0b1, log blog 10.0ablogb

12、b1, log bablogba. 角度 5 函數(shù)性質(zhì)法 例 6 若 aln 33,bln 44,cln 55,則( ) aabc bcba ccab dbae),y1ln xx2,易知當(dāng) xe時(shí),函數(shù) f(x)單調(diào)遞減因?yàn)?e34f(4)f(5),即 cba. 解法二:易知 a,b,c 都是正數(shù),ba3ln 44ln 3log8164b;bc5ln 44ln 5log62510241,所以 bc.即 cbb0,c1,則下列各式成立的是( ) aln aln b baccb dc1b1)都是增函數(shù),又 ab0,所以 a 錯(cuò)誤,c 正確;可取 a2,b1,c2,代入可知,b,d錯(cuò)誤故選 c 考向

13、三 應(yīng)用不等式的性質(zhì)求范圍 例 7 (1)已知實(shí)數(shù) a(1,3),b18,14,則ab的取值范圍是_. 答案 (4,24) 解析 依題意可得 41b8,又 1a3, 所以 4ab24. (2)已知1xy4 且 2xy3,則 z2x3y 的取值范圍是_(答案10 / 16 用區(qū)間表示) 答案 (3,8) 解析 解法一:設(shè) 2x3y(xy)(xy)()x()y, 對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,則 2,3 12,52. 2x3y12(xy)52(xy)(3,8) 解法二:令 axy,bxy, xab2,yab2. 2x3y2ab23ab2a252b(3,8) 利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 由 af(x,y)b,

14、cg(x,y)y01,則y0 x0的取值范圍為( ) a3,13 b(,3)13, c(,313, d3,13 答案 b 解析 由題意,得 3x0y020,y03x02, 11 / 16 x0y01,x03x021,解得 x034, y0 x03x02x032x0,x034,1x00,32x013, 所以y0 x0(,3)13, .故選 b 一、單項(xiàng)選擇題 1若 ab0,cdbd bacbc dadbc 答案 d 解析 由 cd01d1c1c0,又 ab0,故由不等式性質(zhì),得adbc0,所以adb,1a0 bab0 dab0 答案 a 解析 因?yàn)?a1b,所以1a1bbaabb,所以 ba0.

15、 3若 a,br,且 a|b|0 ba3b30 ca2b20 dab0 答案 d 12 / 16 解析 由 a|b|0 知 a|b|,當(dāng) b0時(shí),ab0 成立,當(dāng) b0時(shí),ab0 成立,所以 ab0恒成立故選 d 4已知 a0,1babab2 bab2aba cabaab2 dabab2a 答案 d 解析 由于每個(gè)式子中都有 a,故先比較 1,b,b2的大小因?yàn)?b0,所以 bb21.又因?yàn)?aab2a.故選 d 5設(shè) x,yr,則“xy0”是“xy1”的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 答案 a 解析 因?yàn)?xy0,所以1y0,所以 x1yy1y

16、,即xy1,所以“xy0”是“xy1”的充分條件;當(dāng) x2,y1 時(shí),xy1,但 xyy0”不是“xy1”的必要條件故選 a 6已知 xyz,xyz0,則下列不等式成立的是( ) axyyz bxzyz cxyxz dx|y|z|y| 答案 c 解析 xyz 且 xyz0,3xxyz0,3z0,zz,xyxz. 7已知 ax2x 2,blg 3,ce,則 a,b,c 的大小關(guān)系為( ) aabc bcab ccba dbc1,blg 3lg 1012,ce1e12,1 .所以 bca.故選 d 8若1a1b0,給出下列不等式:1ab0;a1ab1b;ln a2ln b2.其中正確的不等式是(

17、) a b c d 答案 c 解析 由1a1b0 可知 ba0.中,因?yàn)?ab0,所以1ab0,故有1ab1ab,故正確;中,因?yàn)?baa0,故b|a|,即|a|b0,故錯(cuò)誤;中,因?yàn)?ba0,又1a1b1b0,所以 a1ab1b,故正確;中,因?yàn)?baa20,而 yln x 在定義域(0,)上為增函數(shù),所以 ln b2ln a2,故錯(cuò)誤故選 c 9若 6a10,a2b2a,cab,則 c 的取值范圍是( ) a9,18 b(15,30) c9,30 d(9,30) 答案 d 解析 因?yàn)閍2b2a,所以3a2ab3a,即3a2c3a.因?yàn)?6a10,所以 9c30.故選 d 10已知實(shí)數(shù) a,

18、b,c 滿足 bc64a3a2,cb44aa2,則 a,b,c 的大小關(guān)系為( ) aabc bbca cbca dba0,所以 b1a2a,所以 abc. 二、多項(xiàng)選擇題 11已知 0a0 b2ba1 c2ab2 dlog2(ab)2 答案 bd 解析 因?yàn)?0a0,0a1,0b2 ab,則 0ab1,log2(ab)2.故選 bd 12(2020 湖南長(zhǎng)沙天心區(qū)校級(jí)期末)設(shè) a,b 為正實(shí)數(shù),現(xiàn)有下列命題,其中真命題是( ) a若 a2b21,則 ab1 b若1b1a1,則 ab1 c若| a b|1,則|ab|1 d若|a3b3|1,則|ab|a10,a1ba1,即 ab1,b 錯(cuò)誤;若

19、| a b|1,則可取 a9,b4,而|ab|51,c 錯(cuò)誤;由|a3b3|1,若 ab0,則 a3b31,即(a1)(a2a1)b3,a21ab2,a1b,即 ab1,若 0aa2,b1a,即 ba1,|ab|1,d正確故選 ad 三、填空題 15 / 16 13若 13,42,則 |的取值范圍是_. 答案 (3,3) 解析 42,0|4,4|0.又 13,3|0 且 a1,ploga(a31),qloga(a21),則 p 與 q 的大小關(guān)系為_. 答案 pq 解析 當(dāng) 0a1 時(shí),a3a2,a31loga(a21) 當(dāng) a1 時(shí),a3a2,a31a21.因?yàn)?ylogax 在(0,)上為增函數(shù),所以 loga(a31)loga(a21)綜上知,pq. 15設(shè) 0 x1x2 x( x1)20,ba,cb11x(1x)x21x0, cb,cba.c 最大 解法二:取 x18,則 a12,b118,c87117,顯然 c 最大 16(2020 山東省威海市一模)為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求,某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造總面積為 2400 m2的新型生鮮銷售市場(chǎng)市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共 80 間每間蔬菜水果類店面的建造面積為 28 m

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