高考數(shù)學一輪復習第2講　函數(shù)的單調性與最值

1、1 / 24 第第 2 講講 函數(shù)的單調性與最值函數(shù)的單調性與最值 1函數(shù)的單調性 (1)單調函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設函數(shù) f(x)的定義域為 i，如果對于定義域 i 內某個區(qū)間 d上的任意兩個變自量的值 x1，x2 當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 d上是 01 增函數(shù) 當 x1f(x2)，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 d上是02 減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是 03 上升的 自左向右看圖象是 04 下降的 (2)單調性與單調區(qū)間 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間 d 上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的

2、) 05 單調性，區(qū)間 d叫做 yf(x)的 06 單調區(qū)間. 2函數(shù)的最值 前提 設函數(shù) yf(x)的定義域為 i，如果存在實數(shù) m 滿足 條件 (1)對于任意 xi，都有 f(x)m； (2)存在 x0i，使得 f(x0)m (1)對于任意 xi，都有 f(x)m； (2)存在 x0i，使得 f(x0)m 結論 m 為函數(shù) yf(x)的 07 最大值 m 為函數(shù) yf(x)的 08 最小值 1若 f(x)，g(x)均為區(qū)間 a 上的增(減)函數(shù)，則 f(x)g(x)也是區(qū)間 a 上的增2 / 24 (減)函數(shù) 2對勾函數(shù) yxax(a0)的增區(qū)間為(， a和 a，)；減區(qū)間為 a，0)和(

3、0， a，且對勾函數(shù)為奇函數(shù) 3設x1，x2d(x1x2)，則 (1)x1x20(0(0(0)，f(x1)f(x2)0)f(x)在 d上單調遞減； (2)f(x1)f(x2)x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 d上單調遞增； (3)f(x1)f(x2)x1x20(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在 d上單調遞減 1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調遞增的是( ) ay|x| by3x cy1x dyx24 答案 a 解析 y|x|在(0,1)上單調遞增，y3x，y1x，yx24 在(0,1)上都是單調遞減 2函數(shù) y2x24ax3 在區(qū)間4，2上具有單調

4、性，則 a 的取值范圍是( ) a(，1 b4，) c(，24，) d(，12，) 答案 c 解析 函數(shù) y2x24ax3 的圖象的對稱軸為直線 xa，由題意可得a4 或a2，解得 a2或 a4，故選 c 3函數(shù) f(x)x1x在區(qū)間2，13上的最大值是( ) a32 b83 3 / 24 c2 d2 答案 a 解析 顯然 f(x)x1x在2，13上是減函數(shù)，所以 f(x)maxf(2)21232. 4設定義在1,7上的函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) yf(x)的單調遞增區(qū)間為_. 答案 1,1和5,7 解析 結合圖象易知函數(shù) yf(x)的單調遞增區(qū)間為1,1和5,7 5若函數(shù) f(x

5、)滿足“對任意的 x1，x2r，當 x1f(x2)”，則滿足 f(2x1)1 解析 由已知得，函數(shù) f(x)在 r 上單調遞減， 由 f(2x1)1，解得 x1. 6函數(shù) y1x21x2的值域是_. 答案 (1,1 解析 (分離常數(shù)法)因為 y1x21x2121x2，1x21，所以 021x22，所以10)在(0，)內的單調性 4 / 24 解 解法一：設 x1，x2是任意兩個正數(shù)，且 0 x1x2， 則 f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2x1x2x1x2 (x1x2a) 當 0 x1x2a 時 ， 0 x1x2a. 又 x1 x20 ， 即f(x1)f(x2)所以函數(shù) f(x)在(0，

6、 a上是減函數(shù) 當 ax1a. 又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)0，得 1ax20，即 x2a，解得 x a； 由 f(x)0，得 1ax20，即 x2a，解得 0 x a.所以 f(x)在(0， a)內為減函數(shù)，在( a，)內為增函數(shù) 證明或判斷函數(shù)單調性的方法 (1)判斷函數(shù)單調性的四種方法 定義法；圖象法；利用已知函數(shù)的單調性；導數(shù)法 (2)證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調性的兩種方法 定義法：基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷； 可導函數(shù)可以利用導數(shù)證明 (3)復合函數(shù)單調性的判斷方法 復合函數(shù) yf(g(x)的單調性，應根據(jù)外層函數(shù) yf(t)和內層函數(shù) t

7、g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則 1試討論函數(shù) f(x)axx1(a0)在(1,1)上的單調性 解 解法一：設1x1x21，f(x)ax11x1a11x1，則 f(x1)f(x2)5 / 24 a11x11a11x21a(x2x1)(x11)(x21). 由于1x1x20，x110，x210 時，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函數(shù) f(x)在(1,1)上單調遞減； 當 a0 時，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 時，f(x)0，函數(shù) f(x)在(1,1)上單調遞減； 當 a0，函數(shù) f(x)在(1,1)上單調遞增 考向二 確定函數(shù)的單調區(qū)間 例 2 (

8、1)(多選)(2020 日照模擬)已知函數(shù) f(x)log (x22x3)，給定區(qū)間e，使對任意 x1，x2e，當 x1x2時，總有 f(x1)0，得 x3，f(x)的定義域為(，1)(3，)，且 f(x)在(，1)上單調遞增，而(3，1) (，1)，且(6，3) (，1)故選 ad (2)求下列函數(shù)的單調區(qū)間： yx22|x|1； ylog (x23x2) 6 / 24 解 由于 y x22x1，x0，x22x1，x0， 即 y (x1)22，x0，(x1)22，x0，則 x2. 函數(shù) ylog (x23x2)的定義域為(，1)(2，) 又 ux23x2圖象的對稱軸為直線 x32，且開口向上

9、， ux23x2在(，1)上單調遞減，在(2，)上單調遞增 而 ylog u在(0，)上單調遞減， ylog (x23x2)的單調遞減區(qū)間為(2，)， 單調遞增區(qū)間為(，1) 確定函數(shù)單調區(qū)間的方法 (1)利用已知函數(shù)的單調性，即轉化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，求單調區(qū)間 (2)定義法：先求定義域，再利用單調性的定義 (3)圖象法：如果 f(x)是以圖象形式給出的，或者 f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區(qū)間 (4)導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間 2函數(shù) y|x|(1x)在區(qū)間 a 上是增函數(shù)，那么區(qū)間 a 可能是( ) 7 / 24 a(，0) b0，12 c

10、0，) d12， 答案 b 解析 y|x|(1x) x(1x)，x0，x(1x)，x0 x2x，x0，x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0. 畫出函數(shù)的草圖，如圖由圖易知原函數(shù)在 0，12上單調遞增 3(2021 河北石家莊二中月考)函數(shù) f(x)2xx25 的單調遞減區(qū)間是( ) a1,2 b1,0 c0,2 d1，) 答案 a 解析 由 2xx20，即 x22x0，解得 0 x2，故函數(shù)的定義域為0,2設內層函數(shù)為 u2xx2，外層函數(shù)為 y u5，內層函數(shù) u2xx2(x1)21 的單調遞增區(qū)間為0,1)，單調遞減區(qū)間為1,2，外層函數(shù) y u5為增函數(shù)由復合函數(shù)同增異減

11、法則可知，函數(shù) f(x)2xx25 的單調遞減區(qū)間是1,2，故選 a 多角度探究突破 考向三 函數(shù)單調性的應用 角度 1 利用函數(shù)的單調性比較大小 8 / 24 例 3 (1)已知函數(shù) f(x)的圖象向左平移 1 個單位后關于 y 軸對稱，當 x2x11時，f(x2)f(x1) (x2x1)ab bcba cacb dbac 答案 d 解析 由題意知 yf(x)的圖象關于直線 x1 對稱，且當 x1 時，yf(x)是減函數(shù)，af12f52，f(2)f12f(3)，即 bac，故選 d (2)(2020 福建省泉州市一模)已知函數(shù) f(x)ex1ex1，af(20.3)，bf(0.20.3)，c

12、f(log0.32)，則 a，b，c 的大小關系為( ) abac bcba cbca dcab 答案 b 解析 f(x)ex1ex112ex1在 r 上單調遞增，且 20.310.20.30log0.32，cba.故選 b 角度 2 利用函數(shù)的單調性解不等式 例 4 (1)f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，滿足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，當 f(x)f(x8)2 時，x 的取值范圍是( ) a(8，) b(8,9 c8,9 d(0,8) 答案 b 解析 211f(3)f(3)f(9)，由 f(x)f(x8)2，可得 f(x(x8)f(9)，因為 f(x)是定義在(0，)上的增

13、函數(shù)，所以有 x0，x80，x(x8)9.解得9 / 24 80，若 f(2x2)f(x)，則實數(shù) x 的取值范圍是( ) a(，1)(2，) b(，2)(1，) c(1,2) d(2,1) 答案 d 解析 因為當 x0 時，兩個表達式對應的函數(shù)值都為 0，所以函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線因為當 x0 時，函數(shù) f(x)x3為增函數(shù)，當 x0 時，f(x)ln (x1)也是增函數(shù)，所以函數(shù) f(x)是定義在 r 上的增函數(shù)因此，不等式 f(2x2)f(x)等價于 2x2x，即 x2x20，解得2x0，解得 m0.綜上可得，m 的取值范圍是(0,1故選 d (2)(2020 福州調研)已知函數(shù) f

14、(x) x2(4a3)x3a，x0 且 a1)在 r 上單調遞減，則 a 的取值范圍是( ) 10 / 24 a34，1 b0，34 c13，34 d0，13 答案 c 解析 由分段函數(shù) f(x)在 r 上單調遞減，可得 0a1，根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質，可得4a320，解得 a34，又由 3aloga(01)1 得 3a1，解得a13. 實數(shù) a 的取值范圍是13，34. 函數(shù)單調性應用問題的解題策略 (1)比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決 (2)在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解此時，

15、應特別注意函數(shù)的定義域 (3)利用單調性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性的定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)解決分段函數(shù)的單調性問題，要注意上、下段端點值的大小關系 4若 f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，對任意的 x1，x20，)且 x1x2，有f(x2)f(x1)x2x10，則( ) af(3)f(1)f(2) bf(3)f(2)f(1) cf(2)f(1)f(3) df(1)f(2)f(3) 答案 b 解析 對任意的 x1，x20，)且 x1x2，有f(x2)f(x1)x2x10，當 x0時，函數(shù) f(x)為減函數(shù)，f(3)f(2)f(1)，又 f

16、(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，f(3)f(2)f(1)故選 b 11 / 24 5(2020 濟南二模)已知函數(shù) f(x) x22x1，x1，|x1|，x1， 若 f(a24)f(3a)，則實數(shù) a的取值范圍是( ) a(4,1) b(，4)(1，) c(1,4) d(，1)(4，) 答案 d 解析 f(x) x22x1，x1，|x1|，x1 x22x1，x1，x1，x1，畫出函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)圖象知函數(shù)單調遞增，f(a24)f(3a)，即 a243a，解得a4 或 a1.故選 d 6已知函數(shù) f(x)e|xa|(a 為常數(shù))，若 f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則 a的取值范圍是_.

17、 答案 (，1 解析 f(x) exa，xa，eax，xa，當 xa 時，f(x)單調遞增，當 x1，若 f(x)的最小值為f(1)，則實數(shù) a的取值范圍是_. 答案 2，) 解析 由題意可知要保證 f(x)的最小值為 f(1)，需滿足 a1，f(2)f(1)，解得a2. 函數(shù)值域的幾種求解方法 (1)分離常數(shù)法：分子上構造一個跟分母一樣的因式，把分式拆成常量和變量，進一步確定變量范圍破解 13 / 24 (2)單調性法：先確定函數(shù)的單調性，再由單調性求最值 (3)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值 (4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后

18、用基本不等式求出最值 (5)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值 (6)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值 7函數(shù) y2xx1，x(m，n的最小值為 0，則 m 的取值范圍是( ) a(1,2) b(1,2) c1,2) d1,2) 答案 d 解析 函數(shù) y2xx13x1x13x11，當 x(1，)時，函數(shù)是減函數(shù)，又當 x2時，y0，1m2，故選 d 8(2020 珠海質檢)已知函數(shù) f(x) (12a)x3a，x0，且 12a3a0，解得1a1)的值域為_. 答案 2 64，) 解析 y(x1)24(x1)6x1x16x

19、14 2 (x1)6x142 64， 當且僅當 x 61時取“”，函數(shù)值域為2 64，) 10函數(shù) yx1x2的值域為_. 答案 1， 2 解析 令 xcos(0)，ycossin 2sin4.當 4時，y有最大值 2.當 時，y 有最小值1.所求函數(shù)的值域是1， 2 利用函數(shù)單調性解抽象不等式利用函數(shù)單調性解抽象不等式 函數(shù) f(x)對任意的 m，nr，都有 f(mn)f(m)f(n)1，并且 x0時，恒有 f(x)1. (1)求證：f(x)在 r 上是增函數(shù)； (2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2. 解 (1)證明：設 x10. 因為當 x0時，f(x)1，所以 f(x2x1)

20、1， f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1， 所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在 r 上為增函數(shù) (2)因為 m，nr，不妨設 mn1， 所以 f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1， f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， 15 / 24 所以 f(1)2， 所以 f(a2a5)2f(1)， 因為 f(x)在 r 上為增函數(shù)，所以 a2a513a2，即原不等式的解集為a|3a0，x30，即 x3，又 00.5f(a22a3) df(1)f(a22a3) 答案 d 解析 a22a3(a1)222，

21、由偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0，)上是增函數(shù)，可得 f(1)f(1)0，則滿足不等式 f(x22)f(x)的 x 的取值范圍是( ) a(，1)(2，) b(， 2)( 2，) c(， 2)(2，) d(，1)( 2，) 答案 c 解析 因為當 x0 時，函數(shù) f(x)單調遞增且 f(x)0；當 x0 時，f(x)0，故由 f(x22)f(x)得， x0，x22x或 x0，x220，解得 x2或 x 2，所以 x的取值范圍是(， 2)(2，)，故選 c 6(2020 河北衡水中學調考)已知函數(shù) f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2，)，則( ) af(x1)0，f(x2)0 bf

22、(x1)0 cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 答案 b 18 / 24 解析 因為函數(shù) f(x)log2x11x在(1，)上為增函數(shù)，且 f(2)0，所以當 x1(1,2)時，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.故選 b 7(2020 日照一模)已知 f(x)x 2|x|，af(log35)，bflog312，cf(ln 3)，則 a，b，c 的大小關系為( ) acba bbca cabc dcab 答案 d 解析 根據(jù)題意，f(x)x 2|x| x 2x，x0，x12x，x0. 當 x0 時，f(x)x12x0，由于 log312log320，則 b0；當 x0時，f(x)x

23、 2x，任取 x1，x20，)，且 x1x2，則 02x12x2，所以 x1 2x1x2 2x2(或 f(x)2xx 2xln 20)，則 f(x)在0，)上為增函數(shù)又 0log351ln 3，f(0)0，則 0ac.綜合可得 cab.故選 d 8對于每一個實數(shù) x，f(x)是 y2x2和 yx 這兩個函數(shù)中的較小者，則f(x)的最大值是( ) a2 b1 c0 d2 答案 b 解析 解法一：f(x) 2x2，x1，x，2x1.當 x1時，函數(shù) f(x)的值域為(，1)故函數(shù) f(x)的值域為(，1，所以 f(x)max1.故選 b 解法二：畫出函數(shù) f(x)的圖象，如圖所示： 19 / 24

24、 其中 a(1,1)，b(2，2)，故當 x1時，函數(shù) f(x)的最大值為 1.故選 b 二、多項選擇題 9(2021 江蘇鎮(zhèn)江月考)在下列各函數(shù)中，最小值為 2的函數(shù)是( ) ayx22x2 byxx1(x0) cy3sinx dye|x|1 答案 bcd 解析 對于 a，yx22x2(x1)21，故其最小值為 1；對于 b，當x0 時，yxx12，當且僅當 x1 時取等號，故其最小值為 2；對于 c，因為 sinx1，1，所以 y3sinx2,4，故其最小值為 2；對于 d，因為 e|x|1，)，所以 ye|x|12，)，故其最小值為 2.故選 bcd 10(2020 山東濟南期末)已知函

25、數(shù) f(x)bx3ax2在區(qū)間(2，)上單調遞增，則 a，b 的取值可以是( ) aa1，b32 b0a1，b2 ca1，b2 da12，b1 答案 abd 解析 根據(jù)題意，函數(shù) f(x)bx3ax2ba(ax2)32baax232baax2ba，其定義域為x|x2a，若函數(shù) f(x)bx3ax2在區(qū)間(2，)上單調遞增，必有2a2 且 32ba0，即 03，據(jù)此分析選項 a，b，d 符合故選abd 20 / 24 11(2020 菏澤高三月考)設函數(shù) f(x)的定義域為 d，xd，yd，使得f(y)f(x)成立，則稱 f(x)為“美麗函數(shù)”下列所給出的函數(shù)，其中是“美麗函數(shù)”的是( ) ay

26、x2 by1x1 cyln (2x3) dy2x3 答案 bcd 解析 由題意知，函數(shù) f(x)的定義域為 d，xd，yd，使得 f(y)f(x)成立，所以函數(shù) f(x)的值域關于原點對稱對于 a，函數(shù) yx2的值域為0，)，不關于原點對稱，不符合題意；對于 b，函數(shù) y1x1的值域為(，0)(0，)，關于原點對稱，符合題意；對于 c，函數(shù) yln (2x3)的值域為r，關于原點對稱，符合題意；對于 d，函數(shù) y2x3 的值域為 r，關于原點對稱，符合題意故選 bcd 12(2021 福建省莆田市第二中學期中)已知函數(shù) f(x)滿足 f1x2x1x1，則關于函數(shù) f(x)的說法中正確的是( )

27、 af(x)的定義域為x|x1 bf(x)的值域為y|y1，且 y2 cf(x)在(0，)上單調遞減 d不等式 f(x)2的解集為(1,0) 答案 bcd 解析 由于 f1x2x1x121x11x，故 f(x)2xx111x1(x0 且 x1)，所以 f(x)的定義域為x|x1 且 x0，作出其圖象(圖象略)，由圖象知：由于x0，故 f(x)的值域為y|y1，且 y2；f(x)在(0，)上單調遞減；f(x)2 的解集為(1,0)故選 bcd 三、填空題 21 / 24 13函數(shù) y xx(x0)的最大值為_. 答案 14 解析 令 t x，則 t0，ytt2t12214，當 t12，即 x14

28、時，y取得最大值，為14. 14(2020 青島二中月考)函數(shù) f(x) 1x，x1，x22，x1的最大值為_. 答案 2 解析 當 x1 時，函數(shù) f(x)1x為減函數(shù)，所以 f(x)在 x1 處取得最大值，為 f(1)1；當 x1時，易知函數(shù) f(x)x22在 x0處取得最大值，為 f(0)2.故函數(shù) f(x)的最大值為 2. 15設函數(shù) f(x) x24x，x4，log2x，x4.若函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，a1)上單調遞增，則實數(shù) a 的取值范圍是_. 答案 (，14，) 解析 作出函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知 f(x)在(a，a1)上單調遞增，需滿足 a4 或 a12，

29、即 a1或 a4. 16函數(shù) yf(x)是 r 上的增函數(shù)，且 yf(x)的圖象經過點 a(2，3)和b(1,3)，則不等式|f(2x1)|3 的解集為_. 答案 12，1 解析 因為 yf(x)的圖象經過點 a(2，3)和 b(1，3)，所以 f(2)3，f(1)3. 22 / 24 又|f(2x1)|3，所以3f(2x1)3，即 f(2)f(2x1)f(1)因為函數(shù) yf(x)是 r 上的增函數(shù)，所以22x12，2x112，x1，所以12x0，x0) (1)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)； (2)若 f(x)在12，2 上的值域是12，2，求 a的值 解 (1)證明：任取 x1x20， 則 f(x1)f(x2)1a1x11a1x2x1x2x1x2， x1x20，x1x20，x1x20， f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函數(shù) (2)由(1)可知，f(x)在12，2 上為增函數(shù)， f121a212，f(2)1a122， 解得 a25. 18函數(shù) f(x)x2x14. (1)若函數(shù) f(x)的定義域為0,3，求 f(x)的值域； (2)若 f(x)的值域為12，116，且定義域為a，b，求 ba的最大值 解 因為 f(x)