高考數(shù)學一輪復習第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性

1、1 / 20 第第 3 節(jié)節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性 考試要求 1.結合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義；2.結合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義. 知 識 梳 理 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù) f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是偶函數(shù) 關于 y 軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù) f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(x)f(x)，那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù) 關于原點對稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù) yf(x)，如果存在一個非零常數(shù) t，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有

2、f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù) yf(x)為周期函數(shù)，稱 t 為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期. 常用結論與微點提醒 1.(1)如果一個奇函數(shù) f(x)在原點處有定義，即 f(0)有意義，那么一定有 f(0)0. (2)如果函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，那么 f(x)f(|x|). 2.奇函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性. 3.函數(shù)周期性常用結論 對 f(x)定義域內任一自變量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，則 t2a(

3、a0). (2)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0). (3)若 f(xa)1f（x），則 t2a(a0). 2 / 20 (4)若 f(xa)f(x)c，則 t2a(a0，c 為常數(shù)). 4.對稱性的三個常用結論 (1)若函數(shù) yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù) yf(x)的圖象關于直線 xa 對稱. (2)若對于 r 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，則 yf(x)的圖象關于直線 xa對稱. (3)若函數(shù) yf(xb)是奇函數(shù)，則函數(shù) yf(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱. 診 斷 自 測 1.判斷下列結論正誤(在括號內打“”或“”) (1)函數(shù) yx

4、2在 x(0，)時是偶函數(shù).( ) (2)若函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則一定有 f(0)0.( ) (3)若 t是函數(shù)的一個周期，則 nt(nz，n0)也是函數(shù)的周期.( ) (4)若函數(shù) f(x)滿足關系 f(ax)f(bx)，則函數(shù) f(x)的圖象關于點ab2，0對稱.( ) 解析 (1)由于偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，故 yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)錯. (2)由奇函數(shù)定義可知，若 f(x)為奇函數(shù)，其在 x0 處有意義時才滿足 f(0)0，(2)錯. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第一冊 p84例 6 改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ) a.yx2sin

5、 x b.yx2cos x c.y|ln x| d.y2x 解析 根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足 f(x)f(x)且定義域關于原點對稱，a選項為奇函數(shù)；b 選項為偶函數(shù)；c 選項定義域為(0，)，不具有奇偶性；d選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 答案 b 3.(老教材必修 4p46a10 改編)設 f(x)是定義在 r 上的周期為 2 的函數(shù)，當 x3 / 20 1，1)時，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，則 f32_. 解析 由題意得，f32f12412221. 答案 1 4.(2020 濟南一中月考)已知 f(x)ax2bx 是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么ab 的值是( ) a.

6、13 b.13 c.12 d.12 解析 由題意，得 b0，且 2a(a1)，解得 a13，則 ab13. 答案 b 5.(2019 全國卷)設 f(x)為奇函數(shù)，且當 x0 時，f(x)ex1，則當 x0 時，f(x)( ) a.ex1 b.ex1 c.ex1 d.ex1 解析 由題意知，當 x0時，f(x)f(x)(ex1)ex1. 答案 d 6.(2020 衡水中學調研)已知定義在 r 上的偶函數(shù) f(x)，滿足 f(x2)f(x)，當x0，1時，f(x)ex1，則 f(2 017)f(2 018)_. 解析 由 f(x2)f(x)可知，函數(shù) f(x)的周期為 2，又 f(x)為偶函數(shù)，

7、f(2 017)f(2 018)f(2 0161)f(0)f(1)f(0)f(1)f(0)e1. 答案 e1 考點一 函數(shù)的奇偶性及其應用 多維探究 角度 1 函數(shù)奇偶性的判斷 【例 11】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x)lg（1x2）|x2|2； 4 / 20 (3)f(x)x2x，x0； (4)f(x)log2(x x21). 解 (1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3， 即函數(shù) f(x)的定義域為 3， 3， 從而 f(x) 3x2 x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函數(shù) f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (2

8、)由1x20，|x2|2，得定義域為(1，0)(0，1)，關于原點對稱. x20，|x2|2x，f(x)lg（1x2）x. 又f(x)lg1（x）2xlg（1x2）xf(x)， 函數(shù) f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù) f(x)的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱. 當 x0， 則 f(x)(x)2xx2xf(x)； 當 x0 時，x0且 a1)，則函數(shù) f(x)的奇偶性( ) a.與 a無關，且與 b 無關 b.與 a 有關，且與 b有關 c.與 a 有關，但與 b無關 d.與 a無關，但與 b有關 (2)(角度 2)若 f(x)ln(e3x1)ax是偶函數(shù)，則 a_ . 解析 (1)f

9、(x)2ax1b2axax1bf(x)， 所以 f(x)一定不是偶函數(shù)； 設 f(x)為奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的定義知 f(x)f(x)0. 即2axax1b2ax1b2（ax1）ax12b22b0，解得 b1， 即當 b1時，f(x)為奇函數(shù)， 當 b1 時，f(x)為非奇非偶函數(shù)， 所以 f(x)的奇偶性與 a 無關，但與 b有關. (2)由于 f(x)f(x)， 即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax， 化簡得 2ax3x0(xr)，則 2a30， 解得 a32. 答案 (1)d (2)32 考點二 函數(shù)的周期性及其應用 【例 2】 (1) (2020 福州調研)已知函數(shù) f(x)對任

10、意 xr，都有 f(x2)f(x)，當x(0，)時，f(x)2sin x2，則 f193( ) a.12 b.32 c.1 d. 3 (2)已知函數(shù) f(x)是定義在 r 上的周期為 3 的周期函數(shù)，且當 x(1，4時，f(x)3x1，則 f(1)f(2)f(3)f(100)_. 解析 (1)因為 f(x2)f(x)，所以 f(x)的周期為 2. 所以 f193f63f233f3， 7 / 20 又因為當 x(0，)時，f(x)2sin x2， 所以 f32sin 61. (2)由題意，得 f(1)f(4)11，f(2)5，f(3)8. 故 f(1)f(2)f(3)24， 所以 f(1)f(2

11、)f(3)f(100)33f(1)f(2)f(3)f(3331)803. 答案 (1)c (2)803 規(guī)律方法 1.注意周期性的常見表達式的應用. 2.根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的解析式(或函數(shù)值)得到整個定義域內的解析式(或相應的函數(shù)值). 【訓練 2】 (1)已知定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足 f(2)2 3，且對任意的 x都有f(x2)1f（x），則 f(2 020)_. (2)已知 f(x)是 r 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且當 0 x2 時，f(x)x3x，則函數(shù) yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與 x 軸的交點個數(shù)為_. 解析 (1)由 f(x2)1f（x），得 f

12、(x4)1f（x2）f(x)，所以函數(shù) f(x)的周期為 4，所以 f(2 020)f(4).又 f(2)2 3，所以 f(4)1f（2）12 32 3.故 f(2 020)2 3. (2)因為當 0 x2 時，f(x)x3x.又 f(x)是 r 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且f(0)0， 則 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0，f(3)f(5)f(1)0， 故函數(shù) yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與 x 軸的交點有 7個. 答案 (1)2 3 (2)7 考點三 函數(shù)性質的綜合運用 多維探究 角度 1 函數(shù)的單調性與奇偶性 【例 31】 (1)已知奇函數(shù) f(x)在 r 上

13、是增函數(shù)，g(x)xf(x).若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，則 a，b，c 的大小關系為( ) a.abc b.cba 8 / 20 c.bac d.bcf(2x1)成立的 x 的取值范圍為_. 解析 (1)易知 g(x)xf(x)在 r 上為偶函數(shù)， 奇函數(shù) f(x)在 r 上是增函數(shù)，且 f(0)0. g(x)在(0，)上是增函數(shù). 又 3log25.1220.8，且 ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，則 cab. (2)由已知得函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，所以 f(x)f(|x|)， 由 f(x)f(2x1)

14、，可得 f(|x|)f(|2x1|). 當 x0 時，f(x)ln(1x)11x2， 因為 yln(1x)與 y11x2在(0，)上都單調遞增，所以函數(shù) f(x)在(0， )上單調遞增. 由 f(|x|)f(|2x1|，可得|x|2x1|， 兩邊平方可得 x2(2x1)2，整理得 3x24x10， 解得13xf(x2)的形式，再結合單調性，脫去法則“f”變成常規(guī)不等式，如 x1x2)求解. 角度 2 函數(shù)的奇偶性與周期性 【例 32】 (1)(多選題)(2020 濟南模擬)已知定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，則( ) 9 / 20 a.f(2

15、 019)f(2 017) b.f(2 019)f(2 016) c.f(2 016)f(2 019) d.f(2 016)f(2 018) (2)已知 f(x)是定義在 r 上的以 3 為周期的偶函數(shù)，若 f(1)1，f(5)2a3a1，則實數(shù) a 的取值范圍為( ) a.(1，4) b.(2，0) c.(1，0) d.(1，2) 解析 (1)因為 f(x)滿足 f(x4)f(x)，所以 f(x8)f(x)，所以定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)是以 8 為周期的函數(shù)，則 f(2 016)f(0)0，f(2 017)f(1)，f(2 018)f(2)，而由 f(x4)f(x)得 f(2 019

16、)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因為 f(x)在0，2上是增函數(shù)，所以 f(2)f(1)f(0)0，即 f(2 019)f(2 017)，f(2 016)f(2 019)，故選 ac. (2)因為 f(x)是定義在 r 上的以 3 為周期的偶函數(shù). f(5)f(1)f(1)1. 從而2a3a11，解得1a4. 答案 (1)ac (2)a 規(guī)律方法 1.周期性與奇偶性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解. 2.函數(shù) f(x)滿足的關系 f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù) f(x)滿足的關系 f(ax

17、)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆. 【訓練 3】 (1)(角度 1)已知定義在 r 上的偶函數(shù) f(x)在0，)上單調遞增，若f(ln x)f(2)，則 x 的取值范圍是( ) a.(0，e2) b.(e2，) c.(e2，) d.(e2，e2) (2)(角度 2)已知奇函數(shù) f(x)的圖象關于直線 x3 對稱，當 x0，3時，f(x)x，則 f(16)_. 解析 (1)根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在0，)上單調遞增，則 f(ln x)f(2) |ln x|2，即2ln x2，解得 e2x3的解集為( ) a.(，2)(2，) b.(，4)(4，) c.(

18、2，2) d.(4，4) 解析 由題意，f(0)log22b0，解得 b1. 所以 f(x)log2(x2)x1，f(2)3，且在 r 上單調遞增，又|f(x)|3，所以|f(x)|f(2)，即 f(x)f(2)或 f(x)2或 x1，即 m1時，f(m2)f(x1)f(3x)， 則有 m23x 對 x1，0恒成立，則10為奇函數(shù)，則 a( ) a.1 b.1 c.0 d. 1 解析 由題意，得 f(x)f(x)，則 f(1)f(1)，即 1aa1，得 a1(經檢驗符合題意). 答案 a 3.若函數(shù) f(x)是定義在 r 上的周期為 2 的奇函數(shù)，當 0 xf(3) b.f(2)f(6) c.

19、f(3)f(5) d.f(3)f(6) 解析 yf(x4)為偶函數(shù)，f(x4)f(x4)， 因此 yf(x)的圖象關于直線 x4對稱， f(2)f(6)，f(3)f(5). 又 yf(x)在(4，)上為減函數(shù)， f(5)f(6)，所以 f(3)f(6). 15 / 20 答案 bcd 5.定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 fx32f(x)，當 x0，12時，f(x)log12(1x)，則 f(x)在區(qū)間1，32內是( ) a.減函數(shù)且 f(x)0 b.減函數(shù)且 f(x)0 d.增函數(shù)且 f(x)0. 又函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間12，0 上函數(shù)也單調遞增，且 f(x)0. 由 fx

20、32f(x)知，函數(shù)的周期為32，所以在區(qū)間1，32上，函數(shù)單調遞增且f(x)0時，f(x)ln x，則 ff1e2的值為_. 解析 由已知可得 f1e2ln 1e22， 所以 ff1e2f(2).又 f(x)是奇函數(shù)， 所以 ff1e2f(2)f(2)ln 2. 答案 ln 2 7.(多填題)奇函數(shù) f(x)在區(qū)間3，6上是增函數(shù)，且在區(qū)間3，6上的最大值為8，最小值為1，則 f(6)_，f(3)_. 解析 由于 f(x)在3，6上為增函數(shù)，所以 f(x)的最大值為 f(6)8，f(x)的最小值為 f(3)1，因為 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(3)f(3)1. 答案 8 1 8.若函數(shù) f(

21、x)是定義在 r 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上是單調遞增的.如果實數(shù) t 滿足 f(ln t)fln 1t2f(1)，那么 t 的取值范圍是_. 解析 由于函數(shù) f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)， 16 / 20 所以 f(ln t)fln 1t， 由 f(ln t)fln 1t2f(1)，得 f(ln t)f(1). 又函數(shù) f(x)在區(qū)間0，)上是單調遞增的， 所以|ln t|1，即1ln t1，故1ete. 答案 1e，e 三、解答題 9.已知函數(shù) f(x)x22x，x0，0，x0，x2mx，x0是奇函數(shù). (1)求實數(shù) m的值； (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間1，a2上單調遞增，求實數(shù)

22、a的取值范圍. 解 (1)設 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(x)f(x). 于是 x1，a21，所以 1a3， 故實數(shù) a的取值范圍是(1，3. 10.設函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，對任意實數(shù) x 都有 f32x f32x 成立. (1)證明 yf(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值； (3)若 g(x)x2ax3，且 y|f(x)| g(x)是偶函數(shù)，求實數(shù) a 的值. 解 (1)由 f32x f32x ， 17 / 20 且 f(x)f(x)，知 f(3x)f3232x f3232x

23、 f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函數(shù)，且 t3是其一個周期. (2)因為 f(x)為定義在 r 上的奇函數(shù)，所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2，又 t3 是 yf(x)的一個周期，所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. (3)因為 y|f(x)| g(x)是偶函數(shù)， 且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù). 故 g(x)x2ax3 為偶函數(shù)，即 g(x)g(x)恒成立， 于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立. 于是 2ax0恒成立，所以 a0. b級 能力提升 11.(2020 泉州質檢)定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x2)f(x

24、)，且當 x0，1時，f(x)2xcos x，則下列結論正確的是( ) a.f2 0203f2 0192f(2 018) b.f(2 018)f2 0203f2 0192 c.f(2 018)f2 0192f2 0203 d.f2 0192f2 0203f(2 018) 解析 f(x)是奇函數(shù)，f(x2)f(x)f(x)， f(x4)f(x)，則 f(x)的周期為 4. 因此 f(2 018)f(2)f(0)，f2 0192f12， f2 0203f168443f43f23， 又 x0，1時，f(x)2xcos x 單調遞增， f(0)f12f23， 18 / 20 故 f(2 018)f2

25、01920，f(x2)1f（x）對任意 xr 恒成立，則 f(2 023)_. 解析 因為 f(x)0，f(x2)1f（x）， 所以 f(x4)f(x2)21f（x2）11f（x）f(x)， 則函數(shù) f(x)的周期是 4， 所以 f(2 023)f(50641)f(1). 因為函數(shù) f(x)為偶函數(shù)， 所以 f(2 023)f(1)f(1). 19 / 20 當 x1時，f(12)1f（1），得 f(1)1f（1）. 由 f(x)0，得 f(1)1，所以 f(2 023)f(1)1. 答案 1 14.設 f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當 0 x1時，f(x)x. (1)求 f

26、()的值； (2)當4x4 時，求 f(x)的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積. 解 (1)由 f(x2)f(x)得， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)， 所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函數(shù)且 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x). 故知函數(shù) yf(x)的圖象關于直線 x1對稱. 又當 0 x1 時，f(x)x，且 f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則 f(x)的圖象如下圖所示. 當4x4 時，f(x)的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為 s，則 s4soab41221 4. c級 創(chuàng)新猜想 15.(多選題)如果定義在 r 上的奇函數(shù) yf