高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)（四十三）立體幾何中的翻折、探究及距離問(wèn)題

1、1 / 6 課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)（四十三）課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)（四十三） 立體幾何中的翻折、探究及距離問(wèn)題立體幾何中的翻折、探究及距離問(wèn)題 1如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 o - abcd 中，底面中，底面 abcd 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，的菱形，abc4，oa底面底面 abcd，oa2，m 為為 oa 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，n 為為 bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn) (1)證明：直線證明：直線 mn平面平面 ocd； (2)求異面直線求異面直線 ab 與與 md 所成角的大?。凰山堑拇笮?； (3)求點(diǎn)求點(diǎn) b 到平面到平面 ocd 的距離的距離 解：解：作作 apcd 于點(diǎn)于點(diǎn) p，如圖分別以，如圖分別以 ab，ap

2、，ao 所在直線分別所在直線分別為為 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系 則則a(0,0,0) ， b(1,0,0) ， p 0，22，0 ， d 22，22，0 ，o(0,0 ,2)，m(0,0,1)，n 124，24，0 . (1)證明：證明：mn 124，24，1 ， op 0，22，2 ， od 22，22，2 . 設(shè)平面設(shè)平面 ocd的法向量為的法向量為 n(x，y，z)， 則則 nop0，n od0， 即即 22y2z0，22x22y2z0. 取取 z 2，則，則 x0，y4，所以，所以 n(0,4， 2)是平面是平面 ocd 的一個(gè)法向量的一個(gè)法

3、向量 mn n 124，24，1 (0,4， 2)0， 故故mnn，又，又 mn 平面平面 ocd， mn平面平面 ocd. (2)設(shè)設(shè) ab 與與 md 所成的角為所成的角為 . ab(1,0,0)， md 22，22，1 ， cos | ab md| ab| |md|12. 2 / 6 3，即異面直線，即異面直線 ab 與與 md 所成角的大小為所成角的大小為3. (3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) b 到平面到平面 ocd 的距離為的距離為 d， 則則 d 為為 ob在向量在向量 n(0,4， 2)上的投影的絕對(duì)值上的投影的絕對(duì)值 由由 ob(1,0，2)， 得得 d| ob n|n|23， 所以點(diǎn)所以點(diǎn)

4、b 到平面到平面 ocd 的距離為的距離為23. 2(2021 遼寧省高三模擬遼寧省高三模擬)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 p- abcd 中，底面中，底面abcd 是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，的菱形，dab60 ，adpd，點(diǎn)，點(diǎn) f 為棱為棱 pd 的的中點(diǎn)中點(diǎn) (1)在棱在棱 bc 上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn) e，使得，使得 cf平面平面 pae，并說(shuō)明理，并說(shuō)明理由；由； (2)若若 acpb，二面，二面角角 d- fc- b 的余弦值為的余弦值為66時(shí)，求直線時(shí)，求直線 af 與平面與平面 bcf所成的角的所成的角的正弦值正弦值 解：解：(1)在棱在棱 bc 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) e

5、，使得，使得 cf平面平面 pae，點(diǎn)，點(diǎn) e 為棱為棱 bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn) 證明：取證明：取 pa 的中點(diǎn)的中點(diǎn) q，連接，連接 eq，fq， 由題意，由題意，fqad 且且 fq12ad，cead 且且 ce12ad， 故故 cefq 且且 cefq.四邊形四邊形 ceqf 為平行四邊形為平行四邊形 cfeq，又，又 cf 平面平面 pae，eq平面平面 pae， cf平面平面 pae. (2)取取 ab 中點(diǎn)中點(diǎn) m，以，以 d 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 dm，dc，dp 所所在直線為在直線為 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

6、圖所示 設(shè)設(shè) fda，則，則 d(0,0,0)，f(0,0，a)，c(0,2,0)，b( 3，1,0)，a( 3，1,0) fc(0,2，a)， cb( 3，1,0) 設(shè)平面設(shè)平面 fbc 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 m(x，y，z) 由由 mfc2yaz0，mcb 3xy0，取取 x1，得，得 m 1， 3，2 3a；取平面；取平面 dfc 的一個(gè)法的一個(gè)法3 / 6 向量為向量為 n(1,0,0) 由題意，由題意，66|cosm，n|11312a2，解得，解得 a 6. fa( 3，1， 6) 設(shè)直線設(shè)直線 af 與平面與平面 bcf 所成的角為所成的角為 ， 則則 sin |cosm，

7、 fa|mfa|m| | fa|2 36 1055.即直線即直線 af 與平面與平面 bcf 所成所成的角的正弦值為的角的正弦值為55. 3(2021 山西高三模山西高三模擬擬)如圖如圖，已知等邊，已知等邊abc 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 3，點(diǎn)，點(diǎn) m，n 分別是邊分別是邊ab，ac 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且 bm2ma，an2nc如圖如圖，將，將amn 沿沿 mn 折起到折起到amn的位置的位置 (1)求證：平面求證：平面 abm平面平面 bcnm； (2)給出三個(gè)條件：給出三個(gè)條件：ambc；二面角二面角 a- mn- c 大小為大小為 60 ；a到平面到平面bcmn 的距離為的距離為22.在其中任

8、選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答：在其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答： 已知已知_，在線段，在線段 ac 上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn) p，使三棱錐，使三棱錐 a- pmb 的體積為的體積為34，若，若存在，求出存在，求出apac的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解：解：(1)證明：由已知得等邊證明：由已知得等邊abc 中，中，am1，an2，a60 ，由余弦定理得，由余弦定理得 mn 3， mn2am2an2， mnab， mnam，mnbm， 又又mbamm，

9、 mn平面平面 abm， mn平面平面 bcnm， 平面平面 abm平面平面 bcnm. 4 / 6 (2)若選條件若選條件ambc， 由由(1)得得 ammn，又，又 bc 和和 mn 是兩條相交直線，是兩條相交直線， am平面平面 bcnm， 又等邊又等邊abc 的高為的高為3 32， sabm12ambm12121， 故三棱錐故三棱錐 a- bcm 的體積為的體積為 vc- abm13sabm3 323234， 所以存在點(diǎn)所以存在點(diǎn) p 滿足題目條件，滿足題目條件， 此時(shí)此時(shí)apacvp- abmvc- abm343232. 若選條件若選條件二面角二面角 a- mn- c 大小為大小為

10、60 ， 由由(1)得得amb 是二面角是二面角 a- mn- c 的平面角，的平面角， amb60 ， 所以所以 sabm12ambmsin 60 12123232，又等邊，又等邊abc 的高為的高為3 32， 故三棱錐故三棱錐 a- bcm 的體積為的體積為 vc- abm13sabm3 3234， 所以存在點(diǎn)所以存在點(diǎn) p 滿足題目條件，此時(shí)點(diǎn)滿足題目條件，此時(shí)點(diǎn) p 與點(diǎn)與點(diǎn) c 重合，故重合，故apac1. 若選條件若選條件a到平面到平面 bcnm 的距離為的距離為22， 由題可知，等邊由題可知，等邊abc 的高為的高為3 32， 則則 sbcm12bm3 321223 323 32

11、， 則三棱錐則三棱錐 a- bcm 的體積為的體積為 v13sbcm22133 32226434， 所以不存在滿足題目條件的點(diǎn)所以不存在滿足題目條件的點(diǎn) p. 4.如圖，如圖，c 是以是以 ab 為直徑的圓為直徑的圓 o 上異于上異于 a，b 的點(diǎn)，平面的點(diǎn)，平面 pac平面平面 abc，papcac2，bc4，e，f 分別是分別是 pc，pb 的中的中點(diǎn)，記平面點(diǎn)，記平面 aef 與平面與平面 abc 的交線為直線的交線為直線 l. (1)求證：直線求證：直線 l平面平面 pac； 5 / 6 (2)直線直線 l 上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn) q，使直線，使直線 pq 分別與平面分別與平面 ae

12、f、直線、直線 ef 所成的角互余？若所成的角互余？若存在，求出存在，求出 aq 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：解：(1)證明：證明：e，f 分別為分別為 pc，pb 的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以 bcef. 又又 ef平面平面 efa，bc 平面平面 efa，所以，所以 bc平面平面 efa 又又 bc平面平面 abc，平面，平面 efa平面平面 abcl，所以，所以 bcl.又又 bcac，平面，平面 pac平面平面 abcac，平面，平面 pac平面平面 abc，bc平面平面 abc，所以，所以 bc平面平面 pac 所以直線所以直線 l平面平面 pac (2)存

13、在此時(shí)存在此時(shí) aq1.理由如下：理由如下： 以以 c 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，ca，cb 所在直線分別為所在直線分別為 x 軸，軸，y 軸，過(guò)點(diǎn)軸，過(guò)點(diǎn) c 且垂直于平面且垂直于平面 abc 的的直線為直線為 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則則 a(2,0,0)，b(0,4,0)，p(1，0， 3)， 所以所以 e 12，0，32， f 12，2，32， 所以所以 ae 32，0，32， ef(0,2,0) 因?yàn)橐驗(yàn)?bcl，所以設(shè)，所以設(shè) q(2，y,0)，平面，平面 aef 的法向量為的法向量為 m(x，y，z)， 則則 ae m32x32z0，ef m2y0， 取取 z 3，得，得