高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題07空間幾何體的平行于垂直(原卷版)

1、1 / 17 專題專題 07 空間幾何體的平行于垂直空間幾何體的平行于垂直 1、【2019 年江蘇卷】.如圖，在直三棱柱 abca1b1c1中，d，e 分別為 bc，ac 的中點(diǎn)，ab=bc 求證：（1）a1b1平面 dec1； （2）bec1e 2、【2019 年高考全國卷文數(shù)】如圖，直四棱柱 abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa1=4，ab=2，bad=60，e，m，n 分別是 bc，bb1，a1d 的中點(diǎn). （1）證明：mn平面 c1de； （2）求點(diǎn) c 到平面 c1de 的距離 2 / 17 3、【2019 年高考全國卷文數(shù)】如圖，長方體 abcda1b1c1d1的底面 abc

2、d 是正方形，點(diǎn) e 在棱 aa1上，beec1 （1）證明：be平面 eb1c1； （2）若 ae=a1e，ab=3，求四棱錐11ebbc c的體積 4、【2019 年高考全國卷文數(shù)】圖 1 是由矩形 adeb，rtabc 和菱形 bfgc 組成的一個(gè)平面圖形，其中ab=1，be=bf=2， fbc=60將其沿 ab，bc 折起使得 be 與 bf 重合，連結(jié) dg，如圖 2 （1）證明：圖 2 中的 a，c，g，d 四點(diǎn)共面，且平面 abc平面 bcge； （2）求圖 2 中的四邊形 acgd 的面積. 3 / 17 5、【2019 年高考北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐pabcd中，pa 平面

3、 abcd，底部 abcd 為菱形，e為 cd 的中點(diǎn) （1）求證：bd平面 pac； （2）若abc=60，求證：平面 pab平面 pae； （3）棱 pb 上是否存在點(diǎn) f，使得 cf平面 pae？說明理由 6、【2019 年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，pcd為等4 / 17 邊三角形，平面pac 平面pcd，,2,3pacd cdad=. （1）設(shè) g，h 分別為 pb，ac 的中點(diǎn)，求證：gh平面pad； （2）求證：pa 平面pcd； （3）求直線 ad 與平面pac所成角的正弦值. 一、平行問題 1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2.直線與平面平行的

4、主要判定方法 5 / 17 (1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì). 3.平面與平面平行的主要判定方法 (1)面面平行的定義； (2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行； (4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行； (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 失誤與防范 1.在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯(cuò)誤. 2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行

5、”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”. 3.解題中注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用. (1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理； (2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證題中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等； (3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對照條件、步驟書寫要規(guī)范. 二、垂直問題 1.證明線面垂直的方法 6 / 17 (1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a； (2)

6、判定定理 1： m、n，mnalm，lnl； (3)判定定理 2：ab，ab； (4)面面平行的性質(zhì)：，aa； (5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala. 2.證明線線垂直的方法 (1)定義：兩條直線所成的角為 90； (2)平面幾何中證明線線垂直的方法； (3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab； (4)線面垂直的性質(zhì)：a，bab. 3.證明面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a，a. 4.轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 (1)證明直線和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì). (2)證明線

7、面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. (3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直. （4）判定面面垂直的方法： 面面垂直的定義； 面面垂直的判定定理(a，a). (5)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 7 / 17 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 垂直關(guān)系綜合題的類型及解法 三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. 垂直與平行結(jié)合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用. 垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時(shí)，可根據(jù)線面垂直得

8、到表示高的線段，進(jìn)而求得體積. 三、解決立體幾何中的探索性問題的步驟： 第一步：寫出探求的最后結(jié)論. 第二步：證明探求結(jié)論的正確性. 第三步：給出明確答案. 第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范. 溫馨提醒 (1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè). (2)這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”，“只需使成立”. 四、證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面

9、關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法. 證明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)定理；（4）菱形對角線互相垂直. 五、垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型： (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 證明線面平行時(shí)，先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行，若找不到這樣的直線，可以8 / 17 考慮通過面面平行來推導(dǎo)線面平行，應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確

10、定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要注意定理成立的條件，嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行 題型一、線線與線面的平行于垂直 線線與線面的平行于垂直一定要熟練掌握它們的判定定理和性質(zhì)定理。利用幾何方法證明垂直與平行問題是立體幾何的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是根據(jù)線線垂直(平行)、線面垂直(平行)、面面垂直(平行)這三者之間的互化關(guān)系，借助輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關(guān)系，從而將問題解決 例 1、(2

11、019 南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在四棱錐 pabcd 中，m，n 分別為棱 pa，pd 的中點(diǎn)已知側(cè)面 pad底面 abcd，底面 abcd是矩形，dadp. 求證：(1)mn平面 pbc； md平面 pab. 例 2、(2019 南京、鹽城二模）如圖，在三棱柱 abca1b1c1中，abac，a1cbc1，ab1bc1，d，e分別是 ab1和 bc的中點(diǎn) 求證：(1)de平面 acc1a1； (2)ae平面 bcc1b1. 9 / 17 題型二 平面與平面的平行與垂直 熟練掌握平面與平面的平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，注意條件。 例 3、(2019 泰州期末）如圖，在四棱錐 pabcd

12、 中，底面 abcd 為平行四邊形，點(diǎn) o 為對角線 bd 的中點(diǎn)，點(diǎn) e，f分別為棱 pc，pd 的中點(diǎn)已知 paab，paad. 求證： (1) 直線 pb平面 oef； (2) 平面 oef平面 abcd. 10 / 17 例 4、(2019 蘇州期末）如圖，在直三棱柱 abca1b1c1中，已知 abbc，e，f 分別是 a1c1，bc的中點(diǎn) (1) 求證：平面 abe平面 b1bcc1； (2) 求證：c1f平面 abe. 題型三 題型一、線線、線面與面面的綜合問題 (1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探

13、索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè). 例 5、（2017年泰州期末）如圖，在四面體 pabc中，pcab，pabc，點(diǎn) d，e，f，g分別是棱 ap， ac，bc，pb 的中點(diǎn). (1)求證：de平面 bcp； (2)求證：四邊形 defg 為矩形； (3)是否存在點(diǎn) q，到四面體 pabc 六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由. 11 / 17 例 6、(2018 蘇州暑假測試）如圖，在三棱錐 pabc中，已知平面 pbc平面 abc. (1) 若 abbc，cppb，求證：cppa； (2) 若過點(diǎn) a 作

14、直線 l平面 abc，求證：l平面 pbc. 例 7、(2016 南京三模）如圖，在直三棱柱 abc-a1b1c1中，d 為棱 bc 上一點(diǎn) (1) 若 abac，d為棱 bc的中點(diǎn)，求證：平面 adc1平面 bcc1b1； (2) 若 a1b平面 adc1，求bddc的值 12 / 17 一、填空題一、填空題 1、(2018 南京三模） 已知 ，是兩個(gè)不同的平面，l，m 是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題： 若 l，l，則 ； 若 l，則 l； 若 l，l，則 ； 若 l，則 l 其中真命題為_（填所有真命題的序號） 2、(2017 南京、鹽城二模）已知 ， 為兩個(gè)不同的平面，m，n 為兩條不

15、同的直線，下列命題中正確的是_(填上所有正確命題的序號) 若 ，m，則 m； 若 m，n，則 mn； 若 ，n，mn，則 m； 若 n，n，m，則 m. 3、(2016 南京三模）已知 ， 是兩個(gè)不同的平面，l，m 是兩條不同的直線，l，m.給出下列命題： lm； lm； ml； lm. 其中正確的命題是_(填寫所有正確命題的序號) 4、(2016 鎮(zhèn)江期末） 設(shè) b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題： 若 b，c，則 bc；若 b，bc，則 c； 若 c，則 c；若 c，c，則 . 其中正確的命題是_(寫出所有正確命題的序號) 13 / 17 5、(2015 鎮(zhèn)江期末）設(shè) ，為互

16、不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題： 若 mn，n，則 m； 若 m，n，m，n，則 ； 若 ，m，n，則 mn； 若 ，m，n，nm，則 n. 其中正確命題的序號為_ 6、(2015 南京、鹽城、徐州二模） 已知平面 ，直線 m，n，給出下列命題： 若 m，n，mn，則 ； 若 ，m，n，則 mn； 若 m，n，mn，則 ； 若 ，m，n，則 mn. 其中是真命題的是_(填序號) 7、(2015 泰州期末）若 ， 是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號) 若直線 m，則在平面 內(nèi)，一定不存在與直線 m平行的直線； 若直線 m，則在平面 內(nèi)，

17、一定存在無數(shù)條直線與直線 m垂直； 若直線 m，則在平面 內(nèi)，不一定存在與直線 m垂直的直線； 若直線 m，則在平面 內(nèi)，一定存在與直線 m 垂直的直線 14 / 17 二、解答題 8、(2019 無錫期末）在四棱錐 pabcd 中，銳角三角形 pad 所在平面垂直于平面 pab，abad，abbc. (1) 求證：bc平面 pad； (2) 平面 pad 平面 abcd. 9、(2019 常州期末）如圖，正三棱柱 abca1b1c1中，點(diǎn) m，n分別是棱 ab，cc1的中點(diǎn)求證： (1) cm/平面 ab1n； (2) 平面 a1bn平面 aa1b1b. 10、(2019 鎮(zhèn)江期末）如圖，在

18、四棱錐 vabcd 中，底面 abcd是矩形，vd平面 abcd，過 ad的平面分別與 vb，vc交于點(diǎn) m，n. (1) 求證：bc平面 vcd； 15 / 17 (2) 求證：admn. 11、(2019 揚(yáng)州期末）如圖所示，在三棱柱 abca1b1c1中，四邊形 aa1b1b 為矩形，平面 aa1b1b平面 abc，點(diǎn) e，f分別是側(cè)面 aa1b1b，bb1c1c對角線的交點(diǎn) (1) 求證：ef平面 abc； (2) 求證：bb1ac. 12、(2019 蘇北三市期末）如圖，在直三棱柱 abca1b1c1中，d，e，f 分別是 b1c1，ab，aa1的中點(diǎn) (1) 求證：ef平面 a1bd； (2) 若 a1b1a1c1，求證：平面 a1bd平面 bb1c1c. 16 / 17 13、(2019 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一）如圖，三棱錐 dabc 中，已知 acbc，acdc，bcdc，e，f 分別為 bd，cd的中點(diǎn)