(word完整版)2014年高考江蘇數(shù)學試題及答案(word解析版),推薦文檔

1、1 2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷) 數(shù)學I 注意事項 考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求 1 .本試卷共 4 頁，包含填空題(第 1 題一第 14 題)、解答題(第 15 題 第 20 題).本卷滿分 160 分, 考試時間為 120 分鐘.考試結束后，請將答題卡交回. 2. 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定 3. 請在答題卡上按照順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作答必須用 0.5 毫米黑 色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚. 4. 如需作圖，須用 2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號

2、等須加黑、加粗. 5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆. 參考公式： 【答案】 1 ,3 【解析】由題意得 AI B 1,3. (2) _ 【2014年江蘇， 2, 5分】已知復數(shù)z (5 2i)2(i為虛數(shù)單位)，則 z 的實部為 _ 【答案】21 【解析】由題意 z (5 2i)2 25 2 5 2i (2i) 2 21 20i，其實部為 21 . (3) 【2014 年江蘇，3, 5 分】右圖是一個算法流程圖，則輸出的 n的值是 _ . 【答案】5 【解析】本題實質上就是求不等式 2n 20 的最小整數(shù)解.2n 20 整數(shù)解為 n 5，因

3、此輸出的 n 5 . (4) 【2014 年江蘇，4, 5 分】從 1,2 ,3,6 這 4 個數(shù)中一次隨機地取 2 個數(shù)，則所取 2 個數(shù)的乘積為 6 的 概率是 _ 【答案】1 【解析】從1,2,3,6這 4 個數(shù)中任取 2 個數(shù)共有 C2 6 種取法，其中乘積為 概率為 P 2 1. 6 3 以 一. 圓柱的側面積公式： 磊柱-cl，其中 c 是圓柱底面的周長，1 為母線長. 請把答(1)【2014 年江蘇, 1, 5 分】已知集合 A 2 , 1 ,3, 4, B 1,2, 3，則 AI B 6 的有1,6和2,3兩種取法，因此所求 (5) 【2014 年江蘇，5, 5 分】已知函數(shù)

4、y COSX與 y 交點，貝 U 的值是 _ . 【答案】- 6 【解析】由題意 cos- sin(2 )，即 sin( ) 3 3 3 sin (2x )(0 w ), 它們的圖象有一個橫坐標為 -的 3 1 2 k ( 1)k -,(k Z)，因為 0 ， 所 2 3 6 圓柱的體積公式：V圓柱sh，其中 s 為圓柱的表面積, h為高. 、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分. *卄+| 二吉東 16 2 6 (6) 【2014 年江蘇，6, 5 分】為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中 60 株樹木的底部周長(單位: cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80,130上

5、，其頻率分布直方圖如圖所示， 則在抽測的 60 株樹木中，有 _ 株 樹木的底部周長小于 100 cm. 【答案】243 【解析】由題意在抽測的 60 株樹木中，底部周長小于 (7) 【2014 年江蘇，7, 5 分】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 【答案】4 【解析】設公比為q ,因為a2 1，則由a8 a6 2色得( (8) 【2014 年江蘇，8, 5 分】設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為 等，且 9 -則百的值是 S2 4 V 【答案】3 2 100cm 的株數(shù)為 an中,若 a2 【解析】設甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為 以匕3，則也 2 2 (9)【2014 年江蘇，9, 長為 _ . 2

6、 55 5 (x 2)2 (y 2 2(1) ,12 22 【答案】 【解析】 圓 V2 (0.015 0.025) 10 60 24 . a6 2a4 ,則 Q 的值是 q4 2a2 q2 2 A、hi， a、h2， 則 hi 5 分】在平面直角坐標系 xOy 中，直線 1)2 4 的圓心為 C(2, 1)，半徑為r 3 3 ，所求弦長為 I 5 0,解得 q2 2，所以 a6 a?q4 4 . S ,S，體積分別為 V ,2，若它們的側面積相 2 nh 2 認, h2 x 2y 3 0 被圓(x 2)2 (y 1)2 4截得的弦 (10)【2014 年江蘇，10, 5 分】已知函數(shù) 數(shù) m

7、 的取值范圍是 _ . 【答案】 _2 2 f(x) mx 2，點 C 到直線 x 2y 2.門遼. V 5 5 若對任意 x m , m 1，都有 f (x) 0 成立，則實 3 0 的距離為 ,0 【解析】 據(jù)題意f (m) f (m m2 1 0 1) (m 1)2 m(m m2 1) 1 (11)【2014 年江蘇，11，5 分】在平面直角坐標系 xOy 中，若曲線 y ax2 -(a ,b 為常數(shù))過點 P(2 , 5)，且 x 該曲線在點 【答案】 3 P 處的切線與直線 7x 2y 3 0 平行，則 a b 的值是 【解析】曲線 y 2 ax 2ax -by，所以 x 所以 a

8、b (12)【2014 年江蘇, uuu uur uuiu CP 3PD 【答案】22 -過點 P(2, 5)，則 4a - 5，又 y x 2 2 . 12, 5 分】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，已知，AB UJU BP 2 8，AD ，則 ULUU uur ，亠 AB AD 的值是 【解析】 由題意, uuu AP uuu AD UJIL DP LUIT AD uuu 所以 AP uuu BP UUT (AD 1，由解得 umr BC uiur AD 3 uuu -AB , 4 1 UUU UUU UJUf AB , BP BC 4 uur 3 uuu (AD -AB) 4 uur

9、64，解得 AD 3 uuir -CD 4 3 UUU2 AB , 16 1 UJIU -AB) 4 3 uur 2 AD 1 uuir AD 2 uuu AB 1 uuir uuu AD AB 2 (13)【2014 年江蘇，13, 5 分】已知 f(x)是定義在 即 2 25 uuu AB R 上且周期為 3 的函數(shù)，當 x 0,3)時, f(x) x2 2x 1 . 若函數(shù) y f(x) a 在區(qū)間3,4上有 10 個零點(互不相同 )，則實數(shù) a 的取值范圍是 【答案】0,2 16 4 1 【解析】作出函數(shù) f(x) X2 2x - ,x 0,3)的圖象，可見 f(0) 2 f(3)-

10、，方程 f(x) a 0 在 x 3,4上有 10 個零點, 2 y a在3,4上有 10 個交點，由于函數(shù) f (x)的周期為 2 1 I f(x) x 2x -,x 0,3)的應該是 4 個交點，則有 a 2 1 時，f (x)極大 -, 2 /1 f (x)和圖象與直線 /； / : y a與函數(shù) J 丿 ； - O - - -1 3 1 1，當 x 即函數(shù) y 3,因此直線 1 (0,2)- (14)【2014 年江蘇, 【答案】斗 14, 5 分】若 ABC 的內(nèi)角滿足 si nA 2 si nB 2sin C，則 cosC 的最小值是 【解析】由已知si nA ,2sinB 2si

11、nC及正弦定理可得 a 2b 2c , 圧(存孑 2ab 3a2 2b2 22ab 8ab 的最小值為一62 2.6ab 2.2ab 6 2 ,當且僅當 8ab 3a2 2 .2 a b cosC - 2ab 2b2,即- -時等號成立，所以 cosC b 品 二、解答題：本大題共 過程或演算步驟. 4 6 小題，共計 90 分. 請在答題卡指定區(qū)域內(nèi) 作答, 解答時應寫出必要的文字說明、證明 (15)【2014 年江蘇, 15, 14 分】已知 ,sin (1)求 sin - 的值; (2)求 cosy 2 的值. ,sin -5 5 cos .1 sin2 2、5 5 sin - sin

12、4 cos (2)T sin2 2sin cos cos s in 4 4 cos 2 5 芻 cos sin 2 2 cos 2 sin 10 10 cos 6 (16)【2014 年江蘇，16 , 14 分】如圖, PA AC , PA 6 , BC 8 , DF (1) 求證：直線 FA/平面 DEF ; (2) 平面 BDE 丄平面 ABC . 解：(1 )T D , E 為 PC , AC 中點 DE / cos cos2 6 sin sin 2 6 在三棱錐 PA： PA (2)T D , E 為 PC , AC 中點，二 DE 1 PA 3 2 ABC 3 5， 3 5 中, 3

13、.3 4 10 1 2 D , E , F 分別為棱 PC , AC , AB 平面 DEF , DE 平面 DEF / PA / 平面 DEF . 3 / E , F 為 AC , AB 中點， EF -2 BC - DE2 EF2 DF 2 , DEF 90 DE 丄 EF , / DE/PA , PA AC , DE / AC I EF E , DE 丄平面 ABC , / DE 平面 BDE , AC , (17)【2014 年江蘇，17, 14 分】如圖，在平面直角坐標系 xOy 中, 右焦點，頂點 B 的坐標為(0,b),連結BF2并延長交橢圓于點 連結FC . (1) 若點 C

14、的坐標為 3,1 ,且 BF2 2 ,求橢圓的方程; (2) 若FC AB,求橢圓離心率 e 的值. 的中點.已知 平面 BDE 丄平面 ABC . F , F2分別是橢圓電占 a b A ,過點 A 作 x軸的垂線交橢圓于另一點 C , 1(a 0)的左、 16 1 2 5 解: (1 ) C 3，,. 2 3 3 a 2 橢圓方程為y 2 書 9, BP； b2 $ a a2 ( 2)2 2, b2 1, (2)設焦點 F c , 0) , F2(C, 0) , C(x , y), / A , C 關于 x 軸對稱， A(x , b_ c B ,2 ,A三點共線， T FC AB, 聯(lián)立方

15、程組, 解得 y), C 在橢圓上， 2 a c 2 2 b c 2 a b y ,即 bx cy bc 0 x 1,即 xc by c2 0 2 ca b2 c2 C a2c 2bc2 2bc2 2 2 2 2 b c b c b2 c2 2bc2 2 x y 2 b2 c2 - b_ c 1，化簡得5c2 a2, c舟，故離心率為-4 a 5 5 (18)【2014 年江蘇，18, 16 分】如圖，為保護河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋 BC,同時設立一個圓形保護區(qū). 規(guī) 劃要求：新橋 BC 與河岸 AB 垂直；保護區(qū)的邊界為圓心 M 在線段 OA 上并與 BC 相切的圓，且古橋兩端 O 和

16、 A 到該圓上任意一點的距離均不少于 正東方向 170m 處(OC 為河岸)，tan BCO 80m .經(jīng)測量，點 A 位于點 4 3 . O 正北方向 60m 處，點 C 位于點 0 (1) 求新橋 BC 的長； (2) 當 OM 多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？. 解：解法一： (1)如圖，以 O 為坐標原點，OC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系 xOy. 由條件知 A(0, 60), C(170, 0)，直線 BC 的斜率 kBC tan BCO 又因為 AB 丄 BC, 所以直線 AB 的斜率 kAB -.設點 B 的坐標為(a,b), 4 3，解得 a=80 , b=120 .

17、 4 150 .因此新橋 BC 的長是 150 m. 4 k b 60 ,k AB= 3 a 0 2 貝 y kBC= _ a 170 所以 BC= (170 80)2 (0 120) (2)設保護區(qū)的邊界圓 M 的半徑為 r m,OM=dm,(0Wdw60) 4 (x 170)，即 4x 3y 680 0 , 3 由條件知，直線 BC 的方程為 y 由于圓 M 與直線 BC 相切，故點 M(0, d)到直線 BC 的距離是 r，即 r |3d 6801 680 3d 5 5 因為 O 和 A 到圓 所以 r d 80 r (60 d) 80 M 上任意一點的距離均不少于 80 m, 680

18、3d ，即 5 680 3d 5 ，解得 10 w d w 35 . (60 d) 80 故當 d=10 時,r 680 3d最大，即圓面積最大. 所以當 OM = 10 m 時，圓形保護區(qū)的面積最大. 5 解法二: (1)如圖，延長 OA, CB 交于點 F .因為 tan/BCO = -.所以 sin / FCO=- , cos/ FCO = 3 3 5 5 因為 OA=60,OC=170，所以 OF = OC tan/FCO= 680 . CF=OC 850 , 3 cos FCO 3 i zX ; 6 從而 AF OF OA 500 .因為 OA 丄 OC,所以 cos/ AFB=si

19、n / FCO=-,又因為 AB 丄 BC,所以 BF=AF 3 5 cos/ AFB= 400，從而 BC=CF BF=150.因此新橋 BC 的長是 150 m . 3 (2)設保護區(qū)的邊界圓 M 與 BC 的切點為 D，連接 MD，則 MD 丄 BC,且 MD 是圓 M 的半徑，并設 MD=r m, OM=d m(0 Ww 60.)因為 OA 丄 OC,所以 sin/ CFO =cos/ FCO , 故由 因為 所以 680 3d 5 MD MD r 3 (1)知，sin/ CFO = 所以 r MF OF OM 680 x 5 d 3 O 和 A 到圓 M 上任意一點的距離均不少于 8

20、0 m, 680 3d ，即 5 680 3d 5 最大，即圓面積最大. r d 80 r (60 d) 80 ，解得 10 w d w 35 , (60 d) 80 680 5 16 分】已知函數(shù) 證明：f(x)是R上的偶函數(shù)； 若關于 x的不等式 mf(x) w e 已知正數(shù)a 滿足：存在 你的結論. x R , 由題意，m(e 故當 d=10 時，r 所以當 OM = 10 m 時，圓形保護區(qū)的面積最大. (19)【2014 年江蘇，19, (1) (2) (3) f (x) ex e 其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù). x0 1, m 1 在(0 , )，使得f(%) a( xo 3%)成立

21、.試比較ea1與a )上恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍; 的大小，并證明 解：(1) (2) f( x) x (3) x e t t 1 X e 1 x e f(x) / a f (x), m 1 , f(x)是R上的偶函數(shù). 即m(e 1 對 x (0 , )恒成立.令 t 1 ex e ex) w e 1)w ex 1，: x (0 , ), ex 1)，則m w宀七對任意t ex(t (1, )恒成立. (t 1)2 (t 1) 1 ex e 0 ,x 1, h(x) 0 ,即 ，當 x 1 時 f (x) 1 1 t 1 1 1 t 1 0 f (x)在(1, h(x)在 x (1,

22、1，當且僅當 t 2 時等號成立, 3 存在 x0 1, )，使得 f (xo) a( xo3 3Xo), )上單調(diào)增，令h(x) a( )上單調(diào)減， 1 f(1) e 1 2a，即 e 3x) 3ax(x 1), e-1 In% e a 1 e 減，因此 1 1 In a In e (e 1)ln a a 1 ,設 m(a) 1 e m(a)至多有兩個零點，而 1 時，m(a) m(1) m(e) (e 1)ln a a 1 , m(a)單調(diào)增；當 a 當a e時, 當 1 e 1 a e 時，m(a) 0, (20)【2014 年江蘇，20,16 分】設數(shù)列an的前 n項和為S .若對任意

23、的正整數(shù) 則稱&是 H 數(shù)列” (1)若數(shù)列a的前 n項和S 2n(n N )，證明：a是 H 數(shù)列” (2 )設an是等差數(shù)列，其首項 a (3)證明：對任意的等差數(shù)列 &, 解：(1 )當 n 2 時，an S n 1 時，S a , n(n 1)d 2 (2) Sn na S1 2n 2 當 n 2 時， n(n 1) n 2 d m(a) 1 e . e 1 a 1 時, m(a) 0 , m(a)單調(diào) ea1 ；當 a e 時，m(a) 0 , m(a) 0 , ae n,總存在正整數(shù) m,使得 S am , 1， 公差 d 0 .若是 H 數(shù)列”求 d 的值; 總存

24、在兩個 H數(shù)列” bn和G，使得a 2n1，當 n 1 時， S a” 1，a”是 bn Cn(n N )成立. a S 2 , H 數(shù)列” ，對 nN , m N 使 Sn am，即 n n(n 1)d 2 1 (m 1)d , 7 1 取 n 2 得 1 d (m 1)d , m 2 , v d 0 ,A m 2，又 m N m 1 d 1 . d (3 )設&的公差為 d,令 bn a (n 1)Q (2 n)a，對 nN , bn 1 bn a , G (n 1)(Q d), 對 n N , Cm Cn a d，則 bn Cn a (n 1)d a，且bn ,G為等差數(shù)列. 因

25、此對 n，都可找到 m N，使Tn d 成立，即bn為 H 數(shù)列 即Cn為 H 數(shù)列”因此命題得證. 數(shù)學n 注意事項 考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試， 21 題有 A、B、C、D 4 個小題供選做，每位考生 在 4 個選做題中選答 2 題若考生選做了 3 題或 4 題，則按選做題中的前 2 題計分第 22、23 題為必 答題每小題 10分，共 40 分考試時間 30 分鐘考試結束后，請將答題卡交回. 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用 0.5 毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定 位置. 請在答題卡上按照順序在對應的答題

26、區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作答必須用 色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚. 如需作圖，須用 2B 鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗. bn的前 n項和 Tn na1 n(n 1)( (2 m)a，貝 U m n(n2 3) 當 n 1 時 m 1 ;當 n 2 時 m 1 ;當 n 3 時，由于 n與 n 3 奇偶性不同, 2 . 即 n(n 3）非負偶數(shù)，m Cn的前n項和R v對 n N , n(n n(n 2 衛(wèi)(Q d)，令 G (m 1)(a d) Rm，則 m n(n 1) 1 2 1）是非負偶數(shù)，.m N，即對 n N，都可找到m N，使得R Cm成立, 0.

27、5 毫米黑 【選做】本題包括 A、B、C、D 四小題，請選定.中兩.，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答 ，若多做，則按作答 的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （21-A ）【2014 年江蘇，21-A , 10 分】（選修 4-1 :幾何證明選講）如圖， AB 是圓 O 的直徑， 是圓 O 上位于 AB異側的兩點.證明：/ OCB= / D . 解：因為 B, C 是圓 O 上的兩點，所以 OB=OC .故/ OCB= / B .又因為 C, D 是圓 O 上位于 B= / D .因此/ OCB = Z D . 1 1 的兩點，故/ B，/ D 為同弧所對的兩個圓周角，所以/

28、（21-B ） 【2014 年江蘇，21-B , 10 分】 （選修 4-2 :矩陣與變換） 已知矩陣 A 解：A (21-C) x, y為實數(shù)，若 A 2y 2 ,B a 2 xy 【2014 年江蘇， B a,求x , y的值. y 2y 2 ，由 Aa= B a得 J y 2 xy a = 2 4 21-C , 10 分】（選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系 4 y，解得x xOy 中，已知直線 I x 1 尹, y- （t為參數(shù)），直線 I與拋物線 y 2 今 t I: x y 3 代入拋物線方程y2 4x并整理得x2 10 x 9 的參數(shù)方程為 y2 4x交于 A ,

29、B 兩點, 求線段 AB 的長. 解:直線 （21-D）【2014 年江蘇，21-D ,10 分】（選修 4-5:不等式選講）已知 x 解：因為 x0, y0,所以 1 + x+y233 xy2 0 , 1+x2+y33x2y 0 , 0 ,.交點 A(1,2) , B(9 , 6)，故 |AB| 8 2 . 0 , y 0 ,證明：1 x y2 1 x2 y 9xy . 所以(1 + x+y2)( 1 + x2+y)務3 xy2 33 x2y =9xy. 8 【必做】第 22、23 題，每小題 10 分，計 20 分.請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi). （22）【2014 年江蘇，22, 10 分】盒中共有 9 個球，其中有 4 個紅球，3 個黃球和 2 個綠球，這些球除顏色外完 全相同.9 (1) 從盒中一次隨機取出 2 個球，求取出的 2 個球顏色相同的概率 P; (2) 從盒中一次隨機取出 4 個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為 X1 , ,x，隨機變量 X 表示x ,X2 ,xs 中的最大數(shù)，求 X 的概率分布和數(shù)學期望 E(X). 解： (1) 一次取 2 個球共有C2 36種可能情況