金融數(shù)學完整課件全輯

1、2021-11-281金融數(shù)學2021-11-282導論金融數(shù)學基礎第一章金融市場第二章二叉樹、資產(chǎn)組合復制和套利第三章股票與期權(quán)的二叉樹模型第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章對沖第八章互債券模型和利率期權(quán)第十章 貨幣市場和外匯風險第十一章 國際政治風險分析金融數(shù)學2021-11-283導 論在人類發(fā)展史上，伴隨著第一張借據(jù)的出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時至今日，金融學已形成了宏觀金融學和微觀金融學兩個分支，其需要解決的核心問題是：如何在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，通過資本市場對資源進行跨期的（inte

2、rtemporally）最優(yōu)配置（allocation）。2021-11-284如何理解：在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，對資源進行跨期的最優(yōu)配置？ 荒島魯賓遜傳奇（Robinson Crusoe） 思路：求一個終身的跨期最優(yōu)消費投資問題； 工具：隨機最優(yōu)控制（Stochastic optimal control）導 論2021-11-285被薩繆爾森譽為金融理論“專家中的專家”、站在眾多“巨人肩上的巨人”的莫頓(Robert C Merton)曾這樣說過： 優(yōu)美的科學不一定是實用的，實用的科學也未必給人以美感，而現(xiàn)代金融理論卻兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實用。 導 論2021-11-286導論一

3、、金融與金融數(shù)學二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程三、金融數(shù)學的結(jié)構(gòu)框架2021-11-287一、金融與金融數(shù)學金融是一個經(jīng)濟學的概念和范疇。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金的融通，或者說資本的借貸，即由資金融通的工具、機構(gòu)、市場和制度構(gòu)成的有機系統(tǒng)，是經(jīng)濟系統(tǒng)的重要組成部分。 金融核心：在不確定的環(huán)境下，通過資本市場，對資源進行跨期（最優(yōu)）配置。2021-11-289 宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)的運行規(guī)律，重點討論貨幣供求均衡貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟關系、通貨膨通貨膨脹與通貨緊縮脹與通貨緊縮、金融危機金融危機、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國際金融體系等問題。宏

4、觀金融學的核心是貨幣經(jīng)濟學。一、金融與金融數(shù)學2021-11-2810金融決策分析主要研究金融主體投資決策行為及其規(guī)律，服務于決策的“金融理論由一系列概念和定量模型組成?！苯鹑谥薪榉治鲋饕芯拷鹑谥薪闄C構(gòu)的組織、管理和經(jīng)營。包括對金融機構(gòu)的職能和作用及其存在形態(tài)的演進趨勢的分析；金融機構(gòu)的組織形式、經(jīng)濟效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機構(gòu)的脆弱性、風險轉(zhuǎn)移和控制等。與經(jīng)濟學的發(fā)展歷程相反，金融學是先有宏觀部分再有微觀部分。一、金融與金融數(shù)學2021-11-2811完整的現(xiàn)代金融學體系將以微觀金融學和宏觀金融學為理論基礎，擴展到各種具體的應用金融學學科，而數(shù)理化（同時輔助以實證計量）的研究風格將貫穿從理論

5、到實踐的整個過程。在現(xiàn)代金融學的發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門新興的學科，即金融數(shù)學。隨著金融市場的發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學的發(fā)展提出了更高的要求，同時也為金融數(shù)學這一門學科的發(fā)展提供了廣闊的空間。 一、金融與金融數(shù)學2021-11-2812金融數(shù)學是金融學自身發(fā)展而衍生出來的一個新的分支，是數(shù)學與金融學相結(jié)合而產(chǎn)生的一門新的學科，是金融學由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論闡述向理論研究與實用研究并重，金融模糊決策向精確化決策發(fā)展的結(jié)果。一、金融與金融數(shù)學數(shù)學：研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學。金融學：研

6、究運作“金錢”事務的科學。金融數(shù)學：運用數(shù)學工具來定量研究金融問題的一門學科。與其說是一門獨立學科，還不如說是作為一系列方法而存在 。2021-11-2813 金融數(shù)學是金融經(jīng)濟學的數(shù)學化。金融經(jīng)濟學的主要研究對象是在證券市場上的投資和交 易，金融數(shù)學則是通過建立證券市場的數(shù)學模型，研究證券市場的運作規(guī)律。 金融數(shù)學研究的中心問題是風險資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和金融工具）的定價和最優(yōu)投資策略的選擇，它的主要理論有：資本資產(chǎn)定價模型，套利定價理論，期權(quán)定價理論 及動態(tài)投資組合理論。 一、金融與金融數(shù)學2021-11-2814金融數(shù)學研究的主要內(nèi)容： 風險管理 效用優(yōu)化金融數(shù)學的主要工具是隨機分析和

7、數(shù)理統(tǒng)計（特別是非線性時間序列分析）。 一、金融與金融數(shù)學2021-11-2815一、金融與金融數(shù)學依據(jù)研究方法：2021-11-2816規(guī)范金融數(shù)學： 強調(diào)運用高等數(shù)學、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識對金融原理進行推導。如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問題、資本資產(chǎn)定價模型）；第二次華爾街革命（期權(quán)定價公式）。實證金融數(shù)學： 強調(diào)運用統(tǒng)計學、計量經(jīng)濟學、時間序列分析等知識對金融原理進行假設檢驗，并得出一些經(jīng)驗結(jié)論。如：資產(chǎn)定價模型的檢驗、行為金融學的檢驗。一、金融與金融數(shù)學2021-11-2817金融數(shù)學的研究歷程大致可分為三個時期： 第一個時期為發(fā)展初期： 代表人物有阿羅（K . A rro

8、w ）、德布魯（G . Debreu ）、林特納（J . Lintner ）、馬柯維茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亞尼（F . Modigliani ）等。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2818 盡管早在1900年，法國人L巴恰利爾(Louis Bachelier)在一篇關于金融投機的論文中，已經(jīng)開始利用隨機過程工具探索那時尚無實物的金融衍生資產(chǎn)定價問題，但巴恰利爾僅是那個時代的一顆孤星，因為在隨后的半個世紀中，他的論文只是在幾個數(shù)學家和物理學家手中流傳（奠定了現(xiàn)代金融學發(fā)展的基調(diào)）。馬科維茨(HMarkowitz)1952年發(fā)表的那

9、篇僅有14頁的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，同時也標志著現(xiàn)代金融理論的誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次應用無套利原理證明了以他們名字命名的M-M定理。直到今天，這也許仍然是公司金融理論中最重要的定理。同時，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟中，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2819 這些基礎性的工作在后來的10年內(nèi)得到了兩個重要的發(fā)展：其一是，在馬科維茨組合理論的基礎上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintn

10、er，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場出清狀態(tài)，所有投資者都將選擇無風險資產(chǎn)與市場組合證券的線性組合；另一重要發(fā)展是對阿羅-德布魯理論的推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本的金融理論問題中的應用，并在一般均衡體系中證明了M-M定理，第一次將阿羅-德布魯框架與套利理論聯(lián)系起來。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2820第二個時期為1969-1979 年：這一時期是金融數(shù)學發(fā)展的黃金時代，主要代表人物有莫頓（R . Merton ）、布萊克（F . Black ）、斯科爾斯( M . Scholes ）、考克斯（J

11、. Cox ）、羅斯（.Ross）、魯賓斯坦（M . Rubinstein ）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2821 首先，CAPM理論得到一系列的發(fā)展。在夏普-林特納-莫辛單期CAPM基礎上，布萊克(Black，1972)對借貸引入限制，推導了無風險資產(chǎn)不存在情況下的“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布倫南(

12、Brennan，1970)等將馬科維茨的靜態(tài)分析擴充至離散時間的多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時間的CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競爭的套利定價理論(APT)。值得強調(diào)的是，莫頓的這些文獻不僅是建立了連續(xù)時間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟分析。 二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2822二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程 1970年代最具革命性意義的事件無疑當數(shù)布萊克和斯科爾斯(Black and Scholes，1973)推導出簡單的期權(quán)定價公式，以及莫頓(Mer

13、ton，1973b)對該定價公式的發(fā)展和深化。 在這個階段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)發(fā)展了證券定價鞅理論(theory of martingale pricing)，這個理論在目前也仍然是金融研究的前沿課題。 同一時期另一引人注目的發(fā)展是非對稱信息分析方法開始使用。2021-11-2823金融數(shù)學發(fā)展的第三個時期：1980 年至今是金融數(shù)學發(fā)展的第三個時期，是成果頻出、不斷成熟完善的時期。該期間的代表人物有達菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黃（C . F . Huang ）等。 二

14、、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2824 1980年代以后，資產(chǎn)定價理論和不完全信息金融市場分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯一般均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價原理逐漸在資產(chǎn)定價模型中占據(jù)了中心位置，達菲和黃(Duffle and Huang，1985)等在此基礎上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。 在非對稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論的研究方法得到廣泛應用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎上，進一步揭示了金融中介因風險分散產(chǎn)生的規(guī)模經(jīng)濟利益，并提出了金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)的效率優(yōu)勢。戴蒙德和迪布維克(Di

15、amond and Dybvig，1983)建立了提供流動性調(diào)節(jié)服務的銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危險(moral hazard)現(xiàn)象為基礎，解釋了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的經(jīng)濟功能得到了較為完整的模型刻畫。二、金融數(shù)學的發(fā)展歷程2021-11-2825三、金融數(shù)學的結(jié)構(gòu)框架2021-11-2826 第一部分是金融數(shù)學方法篇，闡述了金融數(shù)學的基本數(shù)學方法和計量經(jīng)濟學在金融數(shù)學中的應用，重點講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計量經(jīng)濟學在金融數(shù)學中的應用。 第二部分是金融數(shù)學方法核心篇，闡述了

16、資本資產(chǎn)定價模型和期權(quán)定價模型。第三部分是金融數(shù)學應用篇，闡述了金融數(shù)學在貨幣市場、外匯市場、證券市場的應用。三、金融數(shù)學的結(jié)構(gòu)框架2021-11-2827補充： 金融數(shù)學基礎第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應用第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應用第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2828第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用一、隨機過程的含義1. 如果對變化過程的全過程做一次觀察,得到一個位置與時間關系的函數(shù)x1(t ),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t ), ,因而得到一族函數(shù).2. 如果在時刻t觀察質(zhì)點的位置x(t ),則x(t )是一個隨機變量,這樣對于每個時刻t便得到一個隨機變量X(t

17、),于是就得到一族隨機變量X(t),t0（最初始時刻為t=0）,它描述了此隨機的運動過程.2021-11-2829二、隨機過程的定義二、隨機過程的定義上的隨機過程。在是定義的隨機變量族則稱依賴于參數(shù)與之對應有一個隨機變量若對每一個是給定的參數(shù)集是概率空間設定義PFTtetXt，etXT，t，TPF,1 . 2 通常指時間）（指標集稱為參數(shù)集，簡記，TTttX, 可能狀態(tài)稱為狀態(tài)空間值域的所有系統(tǒng)的狀態(tài)通常表示在時刻tXttX2021-11-2830上的二元函數(shù)是定義在隨機過程從數(shù)學的觀點來看注TTtetX，：,上的一個隨機變量；是，對固定的PFetXt,),(.1稱為樣本函數(shù)空間；樣本函數(shù)的全

18、體，則得到一族樣本函數(shù)變動實現(xiàn)或軌道的一個樣本稱為樣本函數(shù)，對應于上的一個普通函數(shù)是定義在對固定的，e，e，TetXe),(,.2處的某一個狀態(tài)。時刻系統(tǒng)所即在為一個數(shù)都固定當t，et，Xet,).32021-11-2831三、隨機過程的分類第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用1按狀態(tài)空間按狀態(tài)空間I和時間和時間T是可列集還是連續(xù)集分類是可列集還是連續(xù)集分類：(1). 連續(xù)型隨機過程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機變量,則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機過程.(2).離散型隨機過程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是是離散型隨機變量，則稱過程X(t),tT為離散型隨機過程。2021-11-2

19、832第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用(3).連續(xù)型隨機序列: T是可列集,且tT, X(t)是連續(xù)型隨機變量，則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機序列. (4).離散型隨機序列離散型隨機序列:T是可列集是可列集, 且且 t T, X(t)為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 則稱過程則稱過程X(t),t T為離散型隨機序列。為離散型隨機序列。 通常通常T取為取為T =0,1,2或或T =0, 1，2,此時隨機序此時隨機序列常記成列常記成Xn,n=0,1,或或 Xn,n 0。 2021-11-2833在時間和狀態(tài)上都連續(xù)連續(xù)型隨機過程2021-11-2834在時間上連續(xù)，狀態(tài)上離散離散型隨機過程2

20、021-11-2835在時間上離散，狀態(tài)上連續(xù)連續(xù)型隨機序列2021-11-2836在時間上離散，狀態(tài)上離散離散參數(shù)鏈2021-11-28372按分布特性分類：按分布特性分類： 依照過程在不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關系分類。 獨立增量過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)過程 等等第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2838四、四、 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述一）、有限維分布函數(shù)族一）、有限維分布函數(shù)族 對任一固定時刻，隨機過程是一隨機變對任一固定時刻，隨機過程是一隨機變量，這時可用研究隨機變量的方法研究隨機量，這時可用研究隨機變量的方法研究隨機過程的統(tǒng)計特性，但隨機過程是一族隨機變過程的

21、統(tǒng)計特性，但隨機過程是一族隨機變量，因此，對隨機過程的描述，需用有限維量，因此，對隨機過程的描述，需用有限維分布函數(shù)族。分布函數(shù)族。有限個隨機變量統(tǒng)計規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機過程統(tǒng)計規(guī)律有限維分布函數(shù)族2021-11-2839。TttxFT，t稱為一維分布函數(shù)族，得一族分布函數(shù)對所有不同的,;1 ,)()(;)(,2 . 211111的一維分布函數(shù)為隨機過程的分布函數(shù)稱對給定時刻是隨機過程設定義tXxtXPtxFtXTt，TttX則稱偏導的偏導存在對若，xtxF;1 的一維分布密度為隨機過程tXxtxFtxf;1。TttxfT，t數(shù)族，稱為一維概率密度函得一族概率密度函數(shù)對所有不同的,;12021

22、-11-2840的聯(lián)合分布函數(shù)。個隨機變量所對應的個不同時刻關系，一般需用相互隨機過程在不同時刻的的統(tǒng)計特性，為了描述在某一時刻述隨機過程一維分布函數(shù)族只能描)(,),(),(,)(2121nntXtXtXnTtttntXnnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF)(,)(,)(,;,221121211,;,21212121nTttt，tttxxxFF，n，Ttttnnnnn這些分布函數(shù)的全體：維分布函數(shù)便得一族時取遍參數(shù)集當 的有限維分布函數(shù)族。稱為隨機過程tX2021-11-2841當作常數(shù)看待?？蓪?shù)數(shù)字特征時，在求只是含有參數(shù)隨機變量的數(shù)字特征定義及計算類同隨機過程的數(shù)學特征其tt

23、, TtdxtxxftxxdFtXEtmX;11設X(t),tT是隨機過程，如果對任意tT，EX(t)存在，則稱函數(shù)為X(t)的均值函數(shù)，反映隨機過程在時刻t的平均值。1、均值函數(shù)、均值函數(shù) 二）、隨機過程的數(shù)字特征二）、隨機過程的數(shù)字特征2021-11-2842 平均又稱集平均。通常稱這種平均為統(tǒng)計的函數(shù)值的均值，的所有樣本函數(shù)在時刻過程是隨機里是一條固定的曲線，這注意曲線上下波動，樣本曲線繞的波動中心它表示隨機過程是一個平均函數(shù)顯然ttXtmtmtm，tX，tmXXXX)(tmX)()(ttmXX)()(ttmXX)(tX2021-11-28432 2隨機過程的其他數(shù)字特征隨機過程的其他數(shù)

24、字特征( )( )( ),XXmttE X ttT為X( (t) ),tT的均方值函數(shù)均方值函數(shù). )()(tXEtX22 為X( (t) ),tT的方差函數(shù)方差函數(shù). . )()()(tXDtDtXX 2 為X( (t) ),tT的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù). )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 為X( (t) ),tT的均值函數(shù)均值函數(shù). 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用 Rx(s,t)=EX(s)X(t)為X(t),tT的自相關函數(shù)， 簡稱相關函數(shù)相關函數(shù)2021-11-2844均值函數(shù)表示X(t),tT在各時刻波動的中心；方差函數(shù)表示X(t),tT在各時

25、刻關于均值函數(shù)的平均偏離程度；Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在兩個不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關系。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用釋義：2021-11-2845六、幾類隨機過程第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用（一）平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)隨機過程弱平穩(wěn)隨機過程2021-11-2846嚴平穩(wěn)隨機過程1定義定義：設X(t),tT是隨機過程,如果對于任意的常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意的n維隨機向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)具有相同的分布,則稱隨機過程X(t),tT具有平穩(wěn)性,并同時稱此過程為嚴平穩(wěn)過程。 平穩(wěn)過程的參數(shù)集T,一般為(-

26、 ,+),0,+, 0,1,2,0,1,2,以下如無特殊說明，均認為參數(shù)集 T=(-,+).當定義在離散參數(shù)集上時,也稱過程為嚴平穩(wěn)時間序列。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-28472嚴平穩(wěn)過程的數(shù)字特征嚴平穩(wěn)過程的數(shù)字特征定理定理 如果X(t),tT是嚴平穩(wěn)過程，且對任意的tT， EX2(t)+（二階矩過程）,則有(1)EX(t)=常數(shù)，tT；(2)EX(s)X(t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無關。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2848證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 EX(t)2EX2(t)+, 所以EX(t)存在。 在嚴平穩(wěn)

27、過程的定義中，令h=-s,由定義X(s)與X(0)同分布，所以EX(t)= EX(0)為常數(shù)。一般記為X. 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2849(2) 由由Cauchy-Schwarze不等式不等式 EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+ , 所以所以EX(s)X(t)存在。存在。 在嚴平穩(wěn)過程的定義中，令在嚴平穩(wěn)過程的定義中，令h=-s, 由定義由定義(X(s),X(t)與與(X(0),X(t-s)同分布，即有同分布，即有EX(s)X(t)= EX(0)X(t-s) ,即即Rx(t,t+ )=EX(0)X( )=Rx ( ) 所以，所以，Rx (s,t)只依賴于

28、只依賴于t-s,而與而與s,t T的具體取值無關。的具體取值無關。 進而，進而，Cx( )=EX(t)- xX(t+ )- x=Rx ( )- x2只與只與 有關；有關； x2=Cx (0)=Rx (0)- x2 為常數(shù)為常數(shù).第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2850(弱弱)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程1 定義定義 設X(t),tT是二階矩過程(EX2(t)+),如果 (1) EX(t)=x(常數(shù))，tT； (2) 對任意的t,t+T, Rx()=EX(t)X(t+)只依賴于。則稱X(t),tT為寬平穩(wěn)過程,簡稱為平穩(wěn)過程.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2851 特別地，

29、當T為離散參數(shù)集時，若隨機序列Xn(t)滿足E(Xn2)+,以及 (1) EXn= X(常數(shù))，nT； (2) R X(m)=EXnXn+m只與m有關。稱Xn為寬平穩(wěn)隨機序列或?qū)捚椒€(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-28522嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關系嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關系 (1)嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程,因為嚴平穩(wěn)的過程不一定是二階矩過程,但當嚴平穩(wěn)過程是二階矩過程時,則它一定是寬平穩(wěn)過程。 (2)寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程,但對于正態(tài)過程,兩者是等價的 。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2853（二）獨立增量過程1定義定義 設X(t),t0為一隨機過程

30、,對于0st,稱隨機變量X(t)-X(s)為隨機過程在區(qū)間s,t上的增量. 若對于任意的正整數(shù)n及任意的0t0t1t2tn,n個增量 X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，X(tn)-X(tn-1)相互獨立，稱X(t),t0為獨立增量過程。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2854第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用 若對于任意的實數(shù)s, t 和0s+ht+h, X(t+h)X(s+h)與X(t)X(s)具有相同的分布,則稱增量具有平穩(wěn)性,并稱相應的獨立增量過程為齊次的或時齊的。 2021-11-28552獨立增量過程的性質(zhì)獨立增量過程的性質(zhì) (1)獨立增量過程X(t),

31、t 0在X(0)=0的條件下,X(t)的有限維分布函數(shù)可以由增量X(t)-X(s)， 0st的分布確定.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2856證：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, ,n. t0 0=0. 由條件，增量的分布已知，且具有獨立增量，則Y1,Y2, ,Yn的聯(lián)合分布即可確定，而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， X(tn) =Y1+ Y2 + + Yn，即X(tk) 是Y1 ，Yn的線性函數(shù)，Y1,Y2, ,Yn的聯(lián)合分布確定了X(t)的有限維分布函數(shù)。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2857(2)獨立增量過

32、程X(t),t 0在X(0)=0的條件下,X(t)的協(xié) 方差函數(shù)為 ).,(min(),(tsDtsCXX 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2858第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用證明: 記Y( (t ) )=X( (t) )-X( (t) ),當X( (t) )具有獨立增量時， Y( (t ) )也具有獨立增量；且Y(0)(0)=0,EY( (t ) )=0, DY( (t)= )= EY2( (t ) ).所以，當0st 時，有 2021-11-2859)()(),(tYsYEtsCX )()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sYEsYtYEY

33、sYE )(sDX 于是可知對于任意的s,t0,協(xié)方差函數(shù)可表示為： ).,(min(),(tsDtsCXX 同理，當0ts時，有)(),(tDtsCXX 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-2860定義：設定義：設X(t),tT是隨機過程，若對任意正整是隨機過程，若對任意正整數(shù)數(shù)n及及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是是n維正態(tài)隨機變量，則稱維正態(tài)隨機變量，則稱X(t),tT是正態(tài)過程或是正態(tài)過程或高斯過程。高斯過程。特點：特點： 在通信中應用廣泛；在通信中應用廣泛；1.正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)

34、，即可確定其有限維分布。即可確定其有限維分布。正態(tài)過程正態(tài)過程2021-11-2861(正態(tài)過程的一種特殊情況正態(tài)過程的一種特殊情況)1、物理背景、物理背景 18271827年英國植物學家羅伯特年英國植物學家羅伯特. .布朗發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象：布朗發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象：沉浸在液體或氣體中質(zhì)點不停地作不規(guī)則過沉浸在液體或氣體中質(zhì)點不停地作不規(guī)則過去去, ,只有在顯微鏡上才看得清的質(zhì)點運動只有在顯微鏡上才看得清的質(zhì)點運動, ,稱稱為布朗運動。為布朗運動。維納過程維納過程 。XttX力場的不斷撞擊是由于受到周圍介質(zhì)質(zhì)點之所以不停地運動。相對于起點的位移時刻表示作布朗運動質(zhì)點在設00,2021-11-2862 是正態(tài)分

35、布是合理的；假定由中心極限定理知相互獨立的小位移之和上位移看成許許多多質(zhì)點在時間區(qū)間sXtX，ts),().1 ( 有相同分布；與位移有理由假設對任意而與起點無關布只依賴于此區(qū)間的長區(qū)間上的位移的概率分且質(zhì)點在一個態(tài)因假設介質(zhì)處于平衡狀hsXhtXsXtX，h，s，t，0).2(2021-11-2863(3).(3).質(zhì)點的運動完全由不規(guī)則分子撞擊而引起，質(zhì)點的運動完全由不規(guī)則分子撞擊而引起，在不重迭區(qū)間上碰撞次數(shù)與大小是獨立的在不重迭區(qū)間上碰撞次數(shù)與大小是獨立的, ,故在故在不重迭區(qū)間上質(zhì)點的位移是獨立的不重迭區(qū)間上質(zhì)點的位移是獨立的, ,可理解為有可理解為有均勻的獨立增量。這樣導致了維納過

36、程的定義。均勻的獨立增量。這樣導致了維納過程的定義。注注: :維納是首先從數(shù)學上研究布朗運動的人之一。維納是首先從數(shù)學上研究布朗運動的人之一。2021-11-2864 0, 0,).3().2(0)0().1 (,222stNsWtWtsW，ttW增量是獨立平穩(wěn)增量過程如果為隨機過程、定義：設 。，TttW中的電流熱噪聲等通信朗運動此類過程常用來描述布運動過程為維納過程，也稱布朗則稱,2021-11-28652021-11-28662維納過程的性質(zhì)維納過程的性質(zhì) (1). 維納過程 W(t)，t0為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用2021-11-28

37、67 nkkkktwtwatwa2111 nnnnnnnkkktwatwatwatwatwatwatwatwu 111232212111 它是獨立正態(tài)隨機變量之和，所以它是正態(tài)隨機變量，由正態(tài)分布的性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服從n維正態(tài)分布，因此W(t)為正態(tài)過程。 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應用證明: 對于任意正整數(shù)n和任意時刻t1,t2,tn(0t1t20()( , )( )r T tq t TP t e標的資產(chǎn)不支付收益的證券。如果上式不成立，則會出現(xiàn)什么情況？2021-11-2889第二節(jié)遠期標的資產(chǎn)為不支付收益證券的t,T上遠期在任何時刻st，T的價值()()()(

38、)()()( ; , ) ( , )( , ) ( )( ) ( )( ) ( )( , )r T sr T sr T tr T sr s tr T sf s t Tq s Tq t T eP s eP t eeP sP t eP sq t T e2021-11-2890第二節(jié)遠期組合復制：假定初始時刻t0,T有兩個證券組合組合1:一份多頭遠期合約（在時刻t的價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）的現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)的一股標的資產(chǎn)。()( ; , )( , )( ) , r T sf s t Tq t T eP sst T 2021-11-2891第二節(jié)遠

39、期例1：假定某股票目前的股價為50元，且未來6個月內(nèi)不支付紅利，若無風險利率為5%,簽定一個6個月期的以此種股票為標的資產(chǎn)的遠期合約，遠期的價格應為多少？例2：一個還有9個月將到期的遠期合約，標的資產(chǎn)是一年期的貼現(xiàn)債券，遠期合約的交割價格為1000元，若9個月期的無風險年利率為6%，債券的現(xiàn)價為960元，求遠期合約多頭的價值？2021-11-2892第二節(jié)遠期0.05 0.5( , )5051.27q t Te1解：2解： 0.06 0.75; , 960 1000 4r T tf s t TP sq t T ee2021-11-2893第二節(jié)遠期已知現(xiàn)金收益的證券 若遠期的標的資產(chǎn)在有效期內(nèi)

40、的現(xiàn)金收益總額的現(xiàn)值為I(t)，則在無套利的假設下：()( , ) ( )( )r T tq t TP tI t e否則，會出現(xiàn)什么情況？2021-11-2894第二節(jié)遠期例：一個現(xiàn)價為100元的股票的10個月期的遠期合約，若在3個月、6個月、9個月后都會有每股1.5元的利潤，若無風險的年利率為8%，求遠期價格？2021-11-2895第二節(jié)遠期解： 10120.020.040.060.081.51.51.54.32,1004.32102.28I teeeq t Te2021-11-2896第二節(jié)遠期兩個組合組合1:一份多頭遠期合約（在時刻t的價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)

41、e-r(T-t）的現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)的一股標的資產(chǎn)和以無風險利率r借得的數(shù)額為I(t)的現(xiàn)金。()( ; , )( , )( )( ) , r T sf s t Tq t T eP sI sst T 或()( ; , ) ( , )( , ) , r T sf s t Tq s Tq t T est T 2021-11-2897第二節(jié)遠期例：一種三年期國債，目前價格為90元。若還有1年到期的這種債券的遠期合約的遠期價格為91元，在6個月和12個月后，預計將收到6元利息，而第二次付息日正好在遠期交割日之前，假定6個月和12個月的無風險利率分別為9%和10%，則求遠期合約在時刻s的價值。

42、2021-11-2898第二節(jié)遠期解： 0.09 0.50.10.16611.17; ,90 11.17913.51I seef s t Te 2021-11-2899第二節(jié)遠期已知紅利率的證券兩個組合組合1:一份多頭遠期合約（在時刻t的價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）的現(xiàn)金。組合2：持有e-(T-t)股（價值為 e-(T-t) P(t) ）標的證券。()()( ; , )( , )( ) , r T sT sf s t Tq t T eP s est T 或（假定紅利收益率按年利率（連續(xù)復利）支付）()()( ; , )( )( , ) , T sr T s

43、f s t TP s eq t T est T 2021-11-28100第二節(jié)遠期此時，標的資產(chǎn)為已知紅利率的證券的遠期的價格()()( , )( )rT tq t TP t e空頭的價值為多少？2021-11-28101第二節(jié)遠期例：一個還有6個月到期的遠期，標的資產(chǎn)的連續(xù)紅利收益率為4%，若無風險年利率為10%，遠期價格為54元，目前該標的資產(chǎn)的價格為50元，求時刻s該遠期多頭的價值和遠期的價格？2021-11-28102第二節(jié)遠期解： 0.04 0.50.1 0.50.06 0.5; ,50542.36,5051.52rT sf s t Teeq s TP s ee 2021-11-2

44、8103第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品一、股票股份有限公司在籌集資金時向出資人發(fā)行的股份憑證。股票代表著其持有者（即股東）對股份公司的所有權(quán)。這種所有權(quán)是一種綜合權(quán)利，如參加股東大會、投票表決、參與公司的重大決策、收取股息或分享紅利等。同一類別的每一份股票所代表的公司所有權(quán)是相等的。每個股東所擁有的公司所有權(quán)分額的大小，取決于其持有的股票的數(shù)量占公司總股本的比重。股票一般可以通過轉(zhuǎn)讓收回其投資，但不能要求公司返還其出資。股東與公司之間的關系不是債權(quán)債務關系。股東是公司的所有者，以其出資分額為限對公司負有限責任，承擔風險，分享收益。2021-11-28104股票衍生產(chǎn)品：是一個特定的合約，其在未來某一天

45、的價值完全由股票的未來價值決定。賣方（writer）：制定并出售合約的個人或公司。買方（holder）：購買合約的個人或公司。標的資產(chǎn)：合約所基于的股票。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28105二、股票的遠期合約Forward Contracts遠期合約是指交易雙方約定在未來某個特定時間以約定價格買賣約定數(shù)量的資產(chǎn)。 第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28106第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28107合約條款：n在確定的日期（到期日），合約的買方必須支付規(guī)定數(shù)量的現(xiàn)金（即執(zhí)行價格）給合約的賣方。1.合約的賣方必須在到期日轉(zhuǎn)讓相應股票給買方。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-1

46、1-28108第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品到期時的利潤或損失到期時的利潤或損失：到期日買方的利潤或損失：到期時的價格；執(zhí)行價格TSXTSX2021-11-28109遠期合約到期之前的利潤或損失的價格公式？ 第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28110復制投資：復制投資：資產(chǎn)組合：一個遠期合約：價值 ；現(xiàn)金：資產(chǎn)組合的凈現(xiàn)值： 到期日資產(chǎn)組合復制了一股股票：合約價值現(xiàn)金量一股股票第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品f()r T tXe()r T tVfXe2021-11-28111第一套利機會：賣空股票合約價值現(xiàn)金量一股股票第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28112無套利定價公式()r T ttfXeS(

47、)r T ttfSXe第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28113例2-1：若有一個股票合約，從現(xiàn)在起40天后到期，如果執(zhí)行價格是65美元，今天股票價格為64.75美元，今天合約的價格是多少（r=0.055）？ 第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28114二、期權(quán) 期權(quán)是指在未來一定時期可以買賣的權(quán)力，是買方向賣期權(quán)是指在未來一定時期可以買賣的權(quán)力，是買方向賣方支付一定數(shù)量的金額（指權(quán)利金）后擁有的在未來一段方支付一定數(shù)量的金額（指權(quán)利金）后擁有的在未來一段時間內(nèi)（指美式期權(quán)）或未來某一特定日期（指歐式期權(quán)）時間內(nèi)（指美式期權(quán)）或未來某一特定日期（指歐式期權(quán)）以事先規(guī)定好的價格（指履約

48、價格）向賣方購買（指看漲以事先規(guī)定好的價格（指履約價格）向賣方購買（指看漲期權(quán)）或出售（指看跌期權(quán)）一定數(shù)量的特定標的物的權(quán)期權(quán)）或出售（指看跌期權(quán)）一定數(shù)量的特定標的物的權(quán)力，但不負有必須買進或賣出的義務。期權(quán)交易事實上就力，但不負有必須買進或賣出的義務。期權(quán)交易事實上就是這種權(quán)利的交易。買方有執(zhí)行的權(quán)利也有不執(zhí)行的權(quán)利，是這種權(quán)利的交易。買方有執(zhí)行的權(quán)利也有不執(zhí)行的權(quán)利，完全可以靈活選擇。完全可以靈活選擇。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28115第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品期權(quán)的類型期權(quán)的類型: 按期權(quán)的權(quán)利來劃分，主要具按期權(quán)的權(quán)利來劃分，主要具有以下三種：看漲期權(quán)和看跌期有以下三種：

49、看漲期權(quán)和看跌期權(quán)以及雙向期權(quán)。權(quán)以及雙向期權(quán)。2021-11-28116（1） 看漲期權(quán)。所謂看漲期權(quán)，是指期權(quán)的看漲期權(quán)。所謂看漲期權(quán)，是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價格買進某一特定數(shù)量的相關期貨合約敲定價格買進某一特定數(shù)量的相關期貨合約的權(quán)利，但不同時負有必須買進的義務。的權(quán)利，但不同時負有必須買進的義務。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28117（2）看跌期權(quán)。所謂看跌期權(quán)，是指期權(quán)）看跌期權(quán)。所謂看跌期權(quán)，是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價格賣出某一特定數(shù)量的相關

50、期體的敲定價格賣出某一特定數(shù)量的相關期貨合約的權(quán)利，但不同時負有必須賣出的貨合約的權(quán)利，但不同時負有必須賣出的義務。義務。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28118（3）雙向期權(quán)。所謂雙向期權(quán)，是指期權(quán)）雙向期權(quán)。所謂雙向期權(quán)，是指期權(quán)的買方既享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一的買方既享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價格買進某一特定數(shù)量的相關具體的敲定價格買進某一特定數(shù)量的相關期貨合約的權(quán)利，又享有在商定的有效期期貨合約的權(quán)利，又享有在商定的有效期限內(nèi)按同一敲定價格賣出某一特定數(shù)量的限內(nèi)按同一敲定價格賣出某一特定數(shù)量的相關期貨合約的權(quán)利。相關期貨合約的權(quán)利。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021

51、-11-28119期權(quán)履約期權(quán)履約期權(quán)的履約有以下三種情況期權(quán)的履約有以下三種情況1、 買賣雙方都可以通過對沖的方式實施履約。買賣雙方都可以通過對沖的方式實施履約。2、買方也可以將期權(quán)轉(zhuǎn)換為期貨合約的方式履約（在、買方也可以將期權(quán)轉(zhuǎn)換為期貨合約的方式履約（在期權(quán)合約規(guī)定的敲定價格水平獲得一個相應的期貨部期權(quán)合約規(guī)定的敲定價格水平獲得一個相應的期貨部位）。位）。3、任何期權(quán)到期不用，自動失效。如果期權(quán)是虛值，、任何期權(quán)到期不用，自動失效。如果期權(quán)是虛值，期權(quán)買方就不會行使期權(quán)，直到到期任期權(quán)失效。這樣，期權(quán)買方就不會行使期權(quán)，直到到期任期權(quán)失效。這樣，期權(quán)買方最多損失所交的權(quán)利金。期權(quán)買方最多損

52、失所交的權(quán)利金。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28120第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品看漲期權(quán)2021-11-28121看漲期權(quán)的一些條款：n期權(quán)的購買者向出售者支付費用，即期權(quán)費；n在到期日，合約的買方以執(zhí)行價向合約的賣方支付；1.如果合約的賣方收到買方以交易價支付，在到期日他必須交付一股股票給買方。 第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28122到期時的利潤或損失： 在期權(quán)合約中，要么交易不發(fā)生；要么合約的賣方向買方支付股票價格與執(zhí)行價之間的價差。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品0 ,maxXST看漲期權(quán)的現(xiàn)金流XST2021-11-28123例：歐式看漲期權(quán)假設持有通用電氣(GE)的看漲期權(quán)，將

53、在從今天算起的20天后到期。執(zhí)行價是88 美元，今天的市場價是84美元，因為支付的費用超過了現(xiàn)在的股票價格，你也許會認為看漲期權(quán)一文不值。但從現(xiàn)在起20天后，市場價格變得更高是完全有可能的。假設到期日價格是95.5美元，那么執(zhí)行期權(quán)將盈利：若期權(quán)費是4美元，則凈利潤是3.50美元。投資回報率？。如果通用電氣（GE）股票在20天中僅僅上升到87.5美元，則看漲期權(quán)將毫無價值，同時投資損失？。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28124例：美式看漲期權(quán) 假設持有IBM股票的美式看漲期權(quán)，該期權(quán)從現(xiàn)在算起將在15天后到期。假設執(zhí)行價是105美元，如果IBM今天的市價是107美元，持有者也許會一直

54、等到期權(quán)到期，希望從現(xiàn)在起15天之內(nèi)價格會位于107美元之上。 另一方面，若下星期IBM股票上漲到每股112美元。對于持有的美式看漲期權(quán)而言，可以立即執(zhí)行期權(quán)。如果不計算期權(quán)成本每股將獲得7美元的利潤。若每一看漲期權(quán)支付4.50美元，則每一看漲期權(quán)的凈利潤將是2.50美元，利潤率是?。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28125第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品看跌期權(quán)2021-11-28126看跌期權(quán)的一些條款：看跌期權(quán)的一些條款：n期權(quán)的購買者向出售者支付費用，期權(quán)費；期權(quán)的購買者向出售者支付費用，期權(quán)費；n到期日，合約的買方也許給合約的賣方一股股到期日，合約的買方也許給合約的賣方一股股票，或者等

55、量的一股股票的市場價格。票，或者等量的一股股票的市場價格。1.如果合約賣方從買方收到股票或其價格，在到如果合約賣方從買方收到股票或其價格，在到期日他必須按行權(quán)價支付給買方。期日他必須按行權(quán)價支付給買方。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28127到期時的利潤或損失：到期時的利潤或損失：看跌期權(quán)只會發(fā)生下面兩種情形中的一種，看跌期權(quán)只會發(fā)生下面兩種情形中的一種，要么沒有交易發(fā)生，要么合約賣方向買方支付執(zhí)要么沒有交易發(fā)生，要么合約賣方向買方支付執(zhí)行價和股價差額，合約被清算。行價和股價差額，合約被清算。 第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品TTSXSX0 ,max看跌期權(quán)的現(xiàn)金流2021-11-28128例：

56、保護性的看跌期權(quán)默克公司每股股價為50美元，某人認為在未來數(shù)月股價將波動很大，希望盡快出售該股票。于是開始一個投資計劃，購買大約3個月到期的看跌期權(quán)，執(zhí)行價格設在45美元，每一看跌期權(quán)要支付2.80美元的期權(quán)費。通過看跌期權(quán)出售的股票可以使得每股至少獲得45美元。只要他持有這些股票的看跌期權(quán)，就有出售這些股票的最低價格保證。如果股票價格始終高于45美元的最低點，看跌期權(quán)變得毫無價值。而為每個看跌期權(quán)支付的2.80美元的費用可以認為是“保險”費用。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品2021-11-28129n第一，期權(quán)的時間價值。第一，期權(quán)的時間價值。即使在到期日以前的任何時間，歐式期權(quán)均有價值，因為它提供

57、了將來執(zhí)行權(quán)利的可能性。例如，以GM公司股票為標的物的一種期權(quán)，其執(zhí)行價格為40美元，到期日為三個月。假設GM公股票現(xiàn)在的價格為37美元。顯然，在接下來的三個月中，該股票的價格有可能上漲而超過40美元，從而有執(zhí)行該期權(quán)而獲得利潤的可能。哪些因素影響期權(quán)的價格？哪些因素影響期權(quán)的價格？2021-11-28130第二，執(zhí)行價格執(zhí)行價格n一種看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格越小，股票價格超過的可能性就越大，這種看漲期權(quán)也就越有價值。對于看跌期權(quán)，結(jié)果正好相反。第三，標的股票價格的方差第三，標的股票價格的方差n在投資的過程中，投資者偏好以方差較大的股票為標的物的期權(quán)。方差越大，股票價格超過執(zhí)行價格的概率越大，這種

58、期權(quán)對投資者也就越有價值。2021-11-28131因為只有當股票的價格大于執(zhí)行價格時，我們才能從期權(quán)合約中獲得收益。股票價格分布的方差越大，股票價格超過執(zhí)行價格的概率也就越大，我們獲得收益的概率也就越大。所以，我們偏好以方差較大的股票為標的物的期權(quán)。期權(quán)的價值與標的資產(chǎn)的價值之間的重大差別：如果持有標的資產(chǎn)，我們獲得收益的可能性由標的資產(chǎn)價格的整個概率分布決定。作為風險厭惡者，我們不喜歡高風險。如果我們持有期權(quán)，我們獲得收益的可能性由標的資產(chǎn)價格的尾部概率分布決定。期權(quán)的這種性質(zhì)使得大的方差更具有吸引力。2021-11-28132第四，無風險利率第四，無風險利率n在所有的因素里，這個因素是最

59、不直觀的。一般說來，無風險利率越大，執(zhí)行價格的現(xiàn)值也就越小，這樣的期權(quán)也就越有價值。而且，當市場處于均衡狀態(tài)時，無風險利率越大，股票的回報率也應該越高。從而，在到期日，股票的價格也應該越高，這時，期權(quán)的價格也應該越高。第五，標的資產(chǎn)的價格第五，標的資產(chǎn)的價格2021-11-28133在確定歐式看漲期權(quán)的價格時，有五種因素是重要的：標的資產(chǎn)的價格，期權(quán)的執(zhí)行價格，標的資產(chǎn)價格的方差，到期日（實際應該是剩下的到期時間），以及無風險利率。把歐式看漲期權(quán)的價格寫成如下的函數(shù)形式：fttrtTKSfc,22021-11-28134補充：補充：權(quán)證權(quán)證 1. 1. 權(quán)證的定義和分類權(quán)證的定義和分類 n權(quán)證

60、（權(quán)證（warrants）是指標的證券發(fā)行人或其以外的第三人）是指標的證券發(fā)行人或其以外的第三人發(fā)行的，約定持有人在規(guī)定期間內(nèi)或特定到期日，有權(quán)按發(fā)行的，約定持有人在規(guī)定期間內(nèi)或特定到期日，有權(quán)按約定價格向發(fā)行人購買或出售標的證券，或以現(xiàn)金結(jié)算方約定價格向發(fā)行人購買或出售標的證券，或以現(xiàn)金結(jié)算方式收取結(jié)算差價的有價證券。式收取結(jié)算差價的有價證券。 n權(quán)證本質(zhì)上是一份有關普通股的期權(quán)。權(quán)證本質(zhì)上是一份有關普通股的期權(quán)。 2021-11-281352.2.權(quán)證的分類權(quán)證的分類 n（1）按買賣方向可分為認購權(quán)證和認沽權(quán)證 。 n（2）按權(quán)利行使期限可分為美式行權(quán)、歐式行權(quán)和百慕大混合式行權(quán) n （3