微分方程模型習(xí)題解答(人口的預(yù)測(cè)和控制模型)

1、- - 在人口的預(yù)測(cè)和控制模型中，總和生育率（t)和生育模式 (r,t)兩種控制人口增長(zhǎng)的手段。試說明我國(guó)目前的人口政策 ,如提倡一對(duì)夫妻只生一個(gè)孩子、晚婚晚育,及生育第 2 胎的一些規(guī)定 ,可以怎樣通過這兩種手段加以實(shí)施。一、問題分析目前 ,我國(guó)人口總數(shù)占世界人口總數(shù)的/,居世界第一。雖然在二十世紀(jì)八十年代開始就已經(jīng)開始控制人口,但現(xiàn)在人口的增長(zhǎng)仍然很快，人口老年化問題也越來越嚴(yán)重,所以現(xiàn)在開始提倡晚婚晚育, 一對(duì)夫妻只能生一個(gè)孩子以及定下了一些關(guān)于生第二胎的政策。所以在此我們可以考慮用微分方程中生育率和生育模式來求解問題。二、模型的假設(shè)時(shí)刻 年齡小于r 的人口即人口分布函數(shù)記作f(r,);

2、 嬰兒的出生率記為( 0, t）=f( t); 時(shí)刻t年齡r 的人的死亡率記為(r,) (r,t) (r,)dr 表示時(shí)刻t年齡在r, r +dr內(nèi)單位時(shí)間死亡人數(shù)；p0（r)是人口調(diào)查得到的已知函數(shù);嬰兒的出生率記為f(t )；三模型的建立與求解由問題假設(shè)我們可以得到各個(gè)年齡的人口數(shù),即人口分- - 布函數(shù)為 : f(r,t)=r0p(s,）ds 由于在社會(huì)安定的局面下和不太長(zhǎng)的時(shí)間里,死亡率大致與時(shí)間無關(guān), 于是可近似的假設(shè)(r,t) (）因?yàn)?p0 （r)與 (r)可由人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到, 所以） , (,t)可由 (r,0)粗略估計(jì) ,為了預(yù)測(cè)和控制人口的發(fā)展?fàn)顩r,我們需要關(guān)注和可以用作

3、控制的就是嬰兒的出生率f(）了,下面我們就來討論f（t) 。記女性的性別函數(shù)為（,t)即時(shí)刻t年齡在，dr 的女性人數(shù)為k(，）（ r， )dr 將這些女性在單位時(shí)間內(nèi)平均每人的生育數(shù)記作b(r,)則育齡區(qū)間為1,則 : f(t）= 21rrb(r,t)k（r,t)p(， t) r 再將b（ ,t) 定義為b（r， )=（ t)h(,t) 其中 h（ ,t）滿足21rr（ r,t）dr=1 于是就有()= 21rrb(r，t)dr f（)=(t） 21rr(,t)k（r,t）dr - - 可以看出 (t)就是時(shí)刻t 單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育率。如果所有的育齡女性在她的育齡期所及的時(shí)刻都

4、保持這個(gè)生育數(shù),那么 ()即為生育總和。從上式我們得到 h(r,)是年齡為 女性的生育加權(quán)因子,即生育模式。 在穩(wěn)定環(huán)境下可近似地認(rèn)為它與t 無關(guān) ,即 ( ,t) (r）,h(r) 表示了哪些年齡生育率高,哪些低。 所以 r 取得一定的值的時(shí)候，生育率能達(dá)到最高。由人口統(tǒng)計(jì)資料可以知道當(dāng)前實(shí)際的h(r ，t) 。作理論分析時(shí)常采用的h(r)的一種形式是借用概率論中的f 分布 :（ )=)(f)(111arraerrrr1并取2,=2n這時(shí)有er+ 2 即 1 意味著晚婚 ,而增加 意味著晚育。所以生育率 ()和生育模式h(r,t）是可以控制人口發(fā)展過程的兩種手段. ()可以控制生育的多少,而 (r,t）可以控制生育的早晚與疏密。我國(guó)的計(jì)劃生育正是通過這兩種手段實(shí)施的。所以一對(duì)夫妻只生一個(gè)孩子,即總和生育率為1， 所以（ )1 晚婚晚育相當(dāng)于生育模式()中使 r1 和e增大；生育第二胎的一些規(guī)定可相當(dāng)于總和生育率略高于- - 即 (t)略高于1,且 h（r)曲線扁平一些，因?yàn)橐?guī)定了生二胎要間隔多少年。四模型的評(píng)注在上面的模型中密度函數(shù)(r,t）或分布函數(shù)f(r,）固然是人口發(fā)展過程中最完整的描述,但是使用起來不是很方便，在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用一些所謂人口指數(shù)來簡(jiǎn)明扼要地表示一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口