勾股定理專題復(fù)習(xí)及題型講解

1、勾股定理復(fù)習(xí)一、要點(diǎn)精練（一）勾股定理1、(填空題)已知在RtABC中，C=90°。若a=3，b=4，則c=_；若a=40，b=9，則c=_；若a=6，c=10，則b=_；若c=25，b=15，則a=_。2、(填空題)已知在RtABC中，C=90°，AB=10。若A=30°，則BC=_，AC=_；若A=45°，則BC=_，AC=_。3、下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（ ）（A） （B） （C） （D）4、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個(gè)三角形周長為（ ）（A） （B）（C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為

2、,則,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故選（C）5、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91解:因?yàn)?根據(jù)題意,有. 整理,得.所以. 所以. 即該直角三角形的三邊長是. 因?yàn)橹挥?1是3的倍數(shù).故選（C）6、在中,則邊的長為_.7、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91（二）勾股定理的驗(yàn)證及其驗(yàn)證過程的相關(guān)應(yīng)用1、下圖甲是任意一個(gè)直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b,斜邊長為c.如圖乙、丙那樣分別取四個(gè)及直角三角形ABC

3、全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi).圖乙和圖丙中（1）（2）（3）是否為正方形？為什么？圖中（1）（2）（3）的面積分別是多少？圖中（1）（2）的面積之和是多少？圖中（1）（2）的面積之和及正方形（3）的面積有什么關(guān)系？為什么？由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長的關(guān)系嗎？參考答案圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是c，且每個(gè)角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形.圖中（1）的面積為a2,(2)的面積為b2,(3)的面積為c2.圖中（1）（2）面積之和為a2+b2.圖中（1）（2）面積之和等于（3）的面

4、積.因?yàn)閳D乙、圖丙都是以a+b為邊長的正方形，它們面積相等，（1）（2）的面積之和及（3）的面積都等于（a+b)2減去四個(gè)RtABC的面積.由此可得：任意直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.2、（1）請(qǐng)你動(dòng)動(dòng)腦筋，能否驗(yàn)證這個(gè)事實(shí)呢？該如何考慮呢？（2）請(qǐng)你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長分別為AC=7，BC=4，請(qǐng)你研究這個(gè)直角三角形的斜邊AB的長的平方是否等于42+72？參考答案（1）邊長的平方即以此邊長為邊的正方形的面積，故可通過面積驗(yàn)證.分別以這個(gè)直角三角形的三邊為邊向外做正方形，如右圖：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtAB

5、C=(3+4)24××3×4=7224=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如圖（圖見題干中圖）S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)24××4×7=12156=65=42+723、如圖2，以三角形的三邊為直徑分別向三角形外側(cè)作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積和等于另一個(gè)半圓的面積，則此三角形的形狀為_.解:根據(jù)題意，有，即整理,得.故此三角形為直角三角形.4、如圖4，已知中，以的各邊為邊在外作三個(gè)正方形，分別表示這三個(gè)正方形的面積，則解：由勾股定理，知，

6、即，所以圖55如圖5,已知，中，從直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)所引的中線的長，則斜邊之長為_.解：、是中線，設(shè)，由已知， 所以兩式相加，得，所以（三）勾股定理的應(yīng)用1、在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長是，一條直角邊的長為，那么這個(gè)直角三角形的面積是（ ）（A） （B） （C） （D）解：由勾股定理知，另一條直角邊的長為，所以這個(gè)直角三角形的面積為.2、如圖1,一架2.5米長的梯子,斜靠在一豎直的墻上,這時(shí)梯足到墻底端的距離為0.7米,如果梯子的頂端下滑0.4米,則梯足將向外移( )(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依題設(shè).在中,由勾股定理,得圖1 由,得. 在中,由勾股

7、定理,得 所以 故選(C)3、如圖3,有兩棵樹,一棵高8米,另一棵高2米,兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,則它至少要飛行_米.解：由勾股定理，知最短距離為.4、（四）直角三角形的判別1、下列各組數(shù)中以a，b，c為邊的三角形不是Rt的是 A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=52、如果一個(gè)三角形的一條邊是另一邊的2倍，并且有一個(gè)角是，那么這個(gè)三角形的形狀是（ ） A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定3、4、如圖，在等腰直角的斜邊上取異于的兩點(diǎn),使求證：以為邊的三角形是直角三角

8、形。略(提示:分別以AE,AF為軸,將內(nèi)部翻轉(zhuǎn)) 5、如果一個(gè)三角形的三邊長分別為 ，則這三角形是直角三角形分析： 驗(yàn)證 三邊是否符合勾股定量的逆定理證明： C6、已知：如圖，四邊形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13求四邊形ABCD的面積分析：我們不知道這個(gè)四邊形是否為特殊的四邊形，所以將四邊形分割為兩個(gè)三角形，只要求出這兩個(gè)三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個(gè)三角形的面積和（五）利用勾股定理求最短路線1、 如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒最長應(yīng)有多長？圖12、在我國古代數(shù)

9、學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？勾股定理中的常見題型例析勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見的題型有以下幾種：一、探究開放題例1如圖1，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長為1，依上述方法所

10、作的正方形的邊長依次為，求出，的值（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n個(gè)正方形的邊長的表達(dá)式分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解：(1)四邊形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH=即 a2=，a3=2，a4=(2)，點(diǎn)撥：探究開放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強(qiáng)，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用二、動(dòng)手操作題例2如圖2，圖（）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c圖（）是以c為直角邊的等腰直角三

11、角形請(qǐng)你開動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（）畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（）用這個(gè)圖形證明勾股定理；（）假設(shè)圖（）中的直角三角形有苦干個(gè)，你能運(yùn)用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個(gè)直角梯形（2）由于這個(gè)梯形的兩底分別為a、b，腰為（a+b），所以梯形的面積為又因?yàn)檫@個(gè)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為：（3）所拼圖形如圖4點(diǎn)撥：動(dòng)手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動(dòng)手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。本題通過巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來驗(yàn)證勾股

12、定理。三、閱讀理解題例3 已知a，b，c為ABC的三邊且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀小明同學(xué)是這樣解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 訂正：ABC是直角三角形 橫線及問號(hào)是老師給他的批注，老師還寫了如下評(píng)語：“你的解題思路很清晰，但解題過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程”請(qǐng)你幫助小明訂正此題，好嗎？ 分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下疑問點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分，這相當(dāng)于提示了整體思路，而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺因此，本題可作如下訂正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角形或直

13、角三角形 點(diǎn)撥：閱讀理解題它及高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧解決的關(guān)鍵是抓住疑問點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞四、方案設(shè)計(jì)題例4給你一根長為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個(gè)直角三角形，怎樣截?。ㄔ试S有余料）？請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種方案分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8cm，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm點(diǎn)撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案，然后再通過測(cè)量、截取、加工等活動(dòng)方能完成既要思考，又要?jiǎng)邮肿寣W(xué)生在這個(gè)過程中，體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂五、折疊題1、矩形紙片中，厘米，厘米，現(xiàn)將重合，使紙片

14、折疊壓平，設(shè)折痕為，重疊部分AEF的面積六、實(shí)際應(yīng)用題C1、為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CAAB于A，DBAB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，試問：圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等?（8分）七、極具“熱點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)探究題1、如圖，一架長4米的梯子AB斜靠在及地面OM垂直的墻壁ON上，梯子及地面的傾斜角為求AO及BO的長；若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行. 如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米?中考題型分析1、（2019四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么”的逆命題改寫成“如果，那么”的形式：【答案】如果三角形三邊長a，b，c，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形2、 （2019四川廣安，28，10分）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造測(cè)得兩直角邊長為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊