勾股定理專題復習及題型講解

1、勾股定理復習一、要點精練（一）勾股定理1、(填空題)已知在RtABC中，C=90°。若a=3，b=4，則c=_；若a=40，b=9，則c=_；若a=6，c=10，則b=_；若c=25，b=15，則a=_。2、(填空題)已知在RtABC中，C=90°，AB=10。若A=30°，則BC=_，AC=_；若A=45°，則BC=_，AC=_。3、下列各組數(shù)分別為一個三角形三邊的長，其中能構成直角三角形的一組是（ ）（A） （B） （C） （D）4、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（ ）（A） （B）（C） （D）解:設兩直角邊分別為,斜邊為

2、,則,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故選（C）5、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91解:因為.根據(jù)題意,有. 整理,得.所以. 所以. 即該直角三角形的三邊長是. 因為只有81是3的倍數(shù).故選（C）6、在中,則邊的長為_.7、直角三角形的三邊是,并且都是正整數(shù),則三角形其中一邊的長可能是( )（A）61 （B）71 （C）81 （D）91（二）勾股定理的驗證及其驗證過程的相關應用1、下圖甲是任意一個直角三角形ABC，它的兩條直角邊的邊長分別為a、b,斜邊長為c.如圖乙、丙那樣分別取四個及直角三角形ABC

3、全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi).圖乙和圖丙中（1）（2）（3）是否為正方形？為什么？圖中（1）（2）（3）的面積分別是多少？圖中（1）（2）的面積之和是多少？圖中（1）（2）的面積之和及正方形（3）的面積有什么關系？為什么？由此你能得到關于直角三角形三邊長的關系嗎？參考答案圖乙、圖丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a為邊長的正方形，（2）是以b為邊長的正方形，（3）的四條邊長都是c，且每個角都是直角，所以（3）是以c為邊長的正方形.圖中（1）的面積為a2,(2)的面積為b2,(3)的面積為c2.圖中（1）（2）面積之和為a2+b2.圖中（1）（2）面積之和等于（3）的面

4、積.因為圖乙、圖丙都是以a+b為邊長的正方形，它們面積相等，（1）（2）的面積之和及（3）的面積都等于（a+b)2減去四個RtABC的面積.由此可得：任意直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理.2、（1）請你動動腦筋，能否驗證這個事實呢？該如何考慮呢？（2）請你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長分別為AC=7，BC=4，請你研究這個直角三角形的斜邊AB的長的平方是否等于42+72？參考答案（1）邊長的平方即以此邊長為邊的正方形的面積，故可通過面積驗證.分別以這個直角三角形的三邊為邊向外做正方形，如右圖：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtAB

5、C=(3+4)24××3×4=7224=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如圖（圖見題干中圖）S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)24××4×7=12156=65=42+723、如圖2，以三角形的三邊為直徑分別向三角形外側(cè)作半圓，其中兩個半圓的面積和等于另一個半圓的面積，則此三角形的形狀為_.解:根據(jù)題意，有，即整理,得.故此三角形為直角三角形.4、如圖4，已知中，以的各邊為邊在外作三個正方形，分別表示這三個正方形的面積，則解：由勾股定理，知，

6、即，所以圖55如圖5,已知，中，從直角三角形兩個銳角頂點所引的中線的長，則斜邊之長為_.解：、是中線，設，由已知， 所以兩式相加，得，所以（三）勾股定理的應用1、在一個直角三角形中，若斜邊的長是，一條直角邊的長為，那么這個直角三角形的面積是（ ）（A） （B） （C） （D）解：由勾股定理知，另一條直角邊的長為，所以這個直角三角形的面積為.2、如圖1,一架2.5米長的梯子,斜靠在一豎直的墻上,這時梯足到墻底端的距離為0.7米,如果梯子的頂端下滑0.4米,則梯足將向外移( )(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依題設.在中,由勾股定理,得圖1 由,得. 在中,由勾股

7、定理,得 所以 故選(C)3、如圖3,有兩棵樹,一棵高8米,另一棵高2米,兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,則它至少要飛行_米.解：由勾股定理，知最短距離為.4、（四）直角三角形的判別1、下列各組數(shù)中以a，b，c為邊的三角形不是Rt的是 A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=52、如果一個三角形的一條邊是另一邊的2倍，并且有一個角是，那么這個三角形的形狀是（ ） A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定3、4、如圖，在等腰直角的斜邊上取異于的兩點,使求證：以為邊的三角形是直角三角

8、形。略(提示:分別以AE,AF為軸,將內(nèi)部翻轉(zhuǎn)) 5、如果一個三角形的三邊長分別為 ，則這三角形是直角三角形分析： 驗證 三邊是否符合勾股定量的逆定理證明： C6、已知：如圖，四邊形ABCD中，B ，AB3，BC4，CD12，AD13求四邊形ABCD的面積分析：我們不知道這個四邊形是否為特殊的四邊形，所以將四邊形分割為兩個三角形，只要求出這兩個三角形的面積，四邊形的面積就等于這兩個三角形的面積和（五）利用勾股定理求最短路線1、 如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒最長應有多長？圖12、在我國古代數(shù)

9、學著作九章算術中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？勾股定理中的常見題型例析勾股定理是幾何計算中運用最多的一個知識點考查的主要方式是將其綜合到幾何應用的解答題中，常見的題型有以下幾種：一、探究開放題例1如圖1，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去（1）記正方形ABCD的邊長為1，依上述方法所

10、作的正方形的邊長依次為，求出，的值（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出第n個正方形的邊長的表達式分析：依次運用勾股定理求出a2，a3，a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解：(1)四邊形ABCD為正方形，AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得AC，同理，AE=2，EH=即 a2=，a3=2，a4=(2)，點撥：探究開放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對提高同學們的思維品質(zhì)和解決問題的能力具有十分重要的作用二、動手操作題例2如圖2，圖（）是用硬紙板做成的兩個全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c圖（）是以c為直角邊的等腰直角三

11、角形請你開動腦筋，將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形（）畫出拼成的這個圖形的示意圖，寫出它是什么圖形；（）用這個圖形證明勾股定理；（）假設圖（）中的直角三角形有苦干個，你能運用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）解：（1）所拼圖形圖3所示，它是一個直角梯形（2）由于這個梯形的兩底分別為a、b，腰為（a+b），所以梯形的面積為又因為這個梯形的面積等于三個直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為：（3）所拼圖形如圖4點撥：動手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活，有利于考查解題者的動手能力和創(chuàng)新設計的才能。本題通過巧妙構圖，然后運用面積之間的關系來驗證勾股

12、定理。三、閱讀理解題例3 已知a，b，c為ABC的三邊且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀小明同學是這樣解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 訂正：ABC是直角三角形 橫線及問號是老師給他的批注，老師還寫了如下評語：“你的解題思路很清晰，但解題過程中出現(xiàn)了錯誤，相信你再思考一下，一定能寫出完整的解題過程”請你幫助小明訂正此題，好嗎？ 分析：這類閱讀題在展現(xiàn)問題全貌的同時，在關鍵處留下疑問點，讓同學們認真思考，以補充欠缺的部分，這相當于提示了整體思路，而讓學生在整體理解的基礎上給予具體的補缺因此，本題可作如下訂正：解：a2c2b2c2=a4b4， ，或或 ABC是等腰三角形或直

13、角三角形 點撥：閱讀理解題它及高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧解決的關鍵是抓住疑問點，補全漏洞四、方案設計題例4給你一根長為30cm的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個直角三角形，怎樣截取（允許有余料）？請你設計三種方案分析：構造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來解決解：方案一：分別截取3cm，4cm，5cm；方案二：分別截取6cm，8cm，10cm；方案三：分別截取5cm，12cm，13cm點撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進行分析，設計出方案，然后再通過測量、截取、加工等活動方能完成既要思考，又要動手讓學生在這個過程中，體會做數(shù)學的快樂五、折疊題1、矩形紙片中，厘米，厘米，現(xiàn)將重合，使紙片

14、折疊壓平，設折痕為，重疊部分AEF的面積六、實際應用題C1、為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖書室，本社區(qū)有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CAAB于A，DBAB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等?（8分）七、極具“熱點”的動態(tài)探究題1、如圖，一架長4米的梯子AB斜靠在及地面OM垂直的墻壁ON上，梯子及地面的傾斜角為求AO及BO的長；若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行. 如圖2，設A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米?中考題型分析1、（2019四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么”的逆命題改寫成“如果，那么”的形式：【答案】如果三角形三邊長a，b，c，滿足，那么這個三角形是直角三角形2、 （2019四川廣安，28，10分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造測得兩直角邊長為6m、8m.現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊