2010屆高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算ppt課件

1、 ( )= (v0). uv-uv v2 uv一、復(fù)習(xí)目的一、復(fù)習(xí)目的 掌握兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么掌握兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么, 了解復(fù)了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么合函數(shù)的求導(dǎo)法那么, 會(huì)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會(huì)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、重點(diǎn)解析二、重點(diǎn)解析 在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么進(jìn)展簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)時(shí)在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么進(jìn)展簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)時(shí), 要要熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么. 對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo), 要搞清復(fù)合關(guān)系要搞清復(fù)合關(guān)系, 選好中間變量選好中間變量, 分清每分清每次是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)次是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)

2、, 最終要把中間變量換成自變量的函數(shù)最終要把中間變量換成自變量的函數(shù). 三、知識(shí)要點(diǎn)三、知識(shí)要點(diǎn)1.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù): (uv)=uv; (uv)=uv+uv; (cu)=cu(c 為常為常數(shù)數(shù)); 2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u=(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ux=(x), 函數(shù)函數(shù) y=f(u) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) yu=f (u), 那么復(fù)合函數(shù)那么復(fù)合函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù), 且且 yx=yu ux. 或?qū)懽骰驅(qū)懽?fx(x)=f(u)(x). 即復(fù)合函數(shù)對(duì)自

3、變量的導(dǎo)數(shù)即復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù), 等于知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)等于知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù), 乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 典型例題典型例題 1 解解: (1)y: (1)y =(2x2+3)=(2x2+3) (3x-2)+(2x2+3)(3x-2)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3) 3 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (2)y =(x2sinx) +(2cosx) =18x2-8x+9. 法法2 y2 y =(6x3-4x2+9x-6)=(6x

4、3-4x2+9x-6) (3)y=( x+1)( -1). x1=18x2-8x+9. =(x2) sinx+x2(sinx) +2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx. 典型例題典型例題 1 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(3)y=( x+1)( -1). x1解解: (3)y: (3)y =( x+1)=( x+1) ( -1)+( x+1)( -1)( -1)+( x+1)( -1) x1x1=(x +1) (x- -1)+(x +1)(x- -1) 12121212= x- (x- -1)+(x +1)(- x- ) 121212321212= x-1- x- -

5、 x-1- x- 123212121212=- - 2 x12x x1=- . 2x xx+1 =- - 2 x12x x1法法2 y=1- x + -1= - x , 2 y=1- x + -1= - x , x1 x1 x1yy =( - x )=( - x ) =- . 2x xx+1 典型例題典型例題 2 知知 f(x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且且 f(0)=2a, 假設(shè)假設(shè) a2, 求不等式求不等式 f(x)0 的解集的解集.解解: f: f (x)=3x2-2(a+1)x+a-2, (x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 可設(shè)可設(shè) f(x)=x

6、3-(a+1)x2+(a- f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b. 2)x+b. f(0)=2a, f(0)=2a, b=2a. b=2a. f(x)=x3-(a+1)x2+(a-f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a 2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2) =(x+1)(x-2)(x-a) 令令 (x+1)(x-2)(x-a)0, 由于由于 a2, 那那么么 當(dāng)當(dāng) a=2 時(shí)時(shí), 不等式不等式 f(x)2 時(shí)時(shí), 不等式不等式 f(x)0, 得得 0t1; 令令 S (t)1. S(t) S(t) 在在 0, 1) 0

7、, 1) 上為增函數(shù)上為增函數(shù), , 在在 (1, +) (1, +) 上為減函數(shù)上為減函數(shù). . S(t)max=SS(t)max=S(1)(1)2e= . 典型例題典型例題 4 求曲線求曲線 y=x3+3x2-5 過點(diǎn)過點(diǎn) M(1, -1) 的切線方程的切線方程. 解解: 由由 y=x3+3x2-5 知知 y=3x2+6x, 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為 P(x0, y0), 那么那么 y | x=x0=3x02+6x0, 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為處的切線方程為 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切線過點(diǎn)又切線過點(diǎn) M(1, -1), -1-y0=(3x02+6x0)(1-x

8、0), -1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即即 y0=3x03+3x02-6x0-1. y0=3x03+3x02-6x0-1. 而點(diǎn)而點(diǎn) P(x0, y0)在曲線上在曲線上, 滿足滿足 y0=x03+3x02-5, x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得整理得 x03-3x0+2=0. x03-3x0+2=0. 解得解得 x0=1 x0=1 或或 x0=2. x0=2. 切點(diǎn)為切點(diǎn)為 P(1, -1) P(1, -1) 或或 P(-2, -1). P(-2, -1). 故所求的切線方程為故所求的切線方

9、程為 9x-y-10=0 或或 y=-1. 典型例題典型例題 5 知函數(shù)知函數(shù) f(x)=2x3+ax 與與 g(x)=bx2+c 的圖象都過點(diǎn)的圖象都過點(diǎn) P(2, 0), 且且在點(diǎn)在點(diǎn) P 處有一樣的切線處有一樣的切線. (1)務(wù)虛數(shù)務(wù)虛數(shù) a, b, c 的值的值; (2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) F(x) =f(x)+g(x), 求求 F(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間, 并指出函數(shù)并指出函數(shù) F(x) 在該區(qū)間上在該區(qū)間上的單調(diào)性的單調(diào)性.解解: (1)f(x)=2x3+ax : (1)f(x)=2x3+ax 的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn) P(2, 0),P(2, 0),a=-8.a=-8.f(x)=2x3

10、-8x. f(x)=2x3-8x. ff (x)=6x2-8. (x)=6x2-8. g(x)=bx2+c g(x)=bx2+c 的圖象也過點(diǎn)的圖象也過點(diǎn) P(2, 0), P(2, 0),4b+c=0. 4b+c=0. 又又g g (x)=2bx, (x)=2bx, 4b=g (2)=f (2)=16, b=4. b=4. c=-16. c=-16. F(x)=2x3+4x2-8x-F(x)=2x3+4x2-8x-16. 16. 綜上所述綜上所述, , 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a, b, c a, b, c 的值分別為的值分別為 -8, -8, 4, -16. 4, -16. 22 23+2a=0. 23

11、+2a=0. ff (2)=6(2)=6 22-8=16. 22-8=16. (2)由由(1)知知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. FF (x)=6x2+8x-8. (x)=6x2+8x-8. 由由 F F (x)0 (x)0 得得 x-2 x ; x ; 23由由 F F (x)0 (x)0 得得 - -2x . 2x0, 函數(shù)函數(shù) f(x)= , x(0, +), 設(shè)設(shè) 0 x1 . 記曲線記曲線 y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) M(x1, f(x1) 處的切線為處的切線為 l. (1)求求 l 的方程的方程; (2)設(shè)設(shè) l 與與 x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為 (x2, 0), 證

12、明證明: 0 x2 ; 假設(shè)假設(shè) x1 , 那么那么 x1x2 .x1-ax 1a2a1a1a(1)解解: f (x)=( -a) =(x-1) 1x=-x-2=- . 1x2切線切線 l l 的方程為的方程為 y=- (x-x1)+ . y=- (x-x1)+ . x11-ax1 1x12(2)證證: 依題意依題意, 在切線在切線 l 的方程中令的方程中令 y=0, 得得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), ax12, ax12, 其中其中 0 x10. 2-ax10. 又又 x10, x10, x2=x1(2-ax1)0. x2=x1(2-ax1)0. 當(dāng)當(dāng) x1= x1

13、= 時(shí)時(shí), x2=-a(x1- )2+ , x2=-a(x1- )2+ 獲得最大值獲得最大值 , , 1a1a1a1a1a0 x20 x2 . . 當(dāng)當(dāng) x1 x1 時(shí)時(shí), ax11, , ax1x1. x2=x1(2-ax1)x1. 又由知又由知 x2 , 1a1ax1x2x1x2 . 0 (x)0 得得 0 x1; 0 x1; 令令 f f (x)0 (x)0 得得 1x2.1f(2). f(1)f(2). f(0)=0 f(0)=0 為函數(shù)為函數(shù) f(x) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 2 0, 2 上上的最小值的最小值; ; 求函數(shù)求函數(shù) f(x)=ln(1+x)- x2 在區(qū)間在區(qū)間

14、 0, 2 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.14解解: f: f (x)= (x)= - x,- x,1+x 112又又f(0)=0, f(1)=ln2- , f(0)=0, f(1)=ln2- , f(2)=ln3-10, f(2)=ln3-10, 14 f(1)=ln2- 為函數(shù)為函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 2 上的最大值上的最大值.14又又切線過原點(diǎn)切線過原點(diǎn), 解得解得 x0=-3 x0=-3 或或 x0=- x0=-15. 15. 課后練習(xí)課后練習(xí) 5 解解: : 由知可設(shè)切點(diǎn)為由知可設(shè)切點(diǎn)為 (x0, ), (x0, ), 其中其中, x0, x0 -5. -5. x

15、0+9 x0+5 試求經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線試求經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線 y= 相切的切線方程相切的切線方程.x+9 x+5 yy = =- (x= =- (x -5), -5), (x+5)2 4 (x+5)2 x+5-x-9 過切點(diǎn)的切線的斜率為過切點(diǎn)的切線的斜率為 - (x0- (x0 -5). -5). (x0+5)2 4 x0+9 x0+5 x0 =- . =- . (x0+5)2 4 當(dāng)當(dāng) x0=-3 x0=-3 時(shí)時(shí), y0=3. , y0=3. 此時(shí)切線的斜率為此時(shí)切線的斜率為 -1, -1, 切線方程為切線方程為 x+y=0. x+25y=0. 35當(dāng)當(dāng) x0=-15 x0=-15 時(shí)時(shí),

16、 y0= . , y0= . 此時(shí)切線的斜率為此時(shí)切線的斜率為 - , - , 切線方程為切線方程為 251課后練習(xí)課后練習(xí) 6 知函數(shù)知函數(shù) f(x)=2x3+ax 與與 g(x)=bx2+c 的圖象都過點(diǎn)的圖象都過點(diǎn) P(2, 0), 且且在點(diǎn)在點(diǎn) P 處有公共切線處有公共切線, 求求 f(x)、g(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式.解解: f(x)=2x3+ax : f(x)=2x3+ax 的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn) P(2, P(2, 0),0),a=-8. a=-8. f(x)=2x3-8x. f(x)=2x3-8x. ff (x)=6x2-8. (x)=6x2-8. g(x)=bx2+c g(x)

17、=bx2+c 的圖象也過點(diǎn)的圖象也過點(diǎn) P(2, 0), P(2, 0),4b+c=0. 4b+c=0. 又又g g (x)=2bx, (x)=2bx, 4b=g (2)=f (2)=16, b=4. b=4. c=-16. c=-16. g(x)=4x2-16. g(x)=4x2-16. 綜上所述綜上所述, f(x)=2x3-8x, , f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. g(x)=4x2-16. 課后練習(xí)課后練習(xí) 7 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=ax3+bx2+cx+d 的圖象與的圖象與 y 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為 P 點(diǎn)點(diǎn), 且曲且曲線在線在 P 點(diǎn)處的切線方程為點(diǎn)處的切線方程為 1

18、2x-y-4=0. 假設(shè)函數(shù)在假設(shè)函數(shù)在 x=2 處獲得處獲得極值極值 0, 試確定函數(shù)的解析式試確定函數(shù)的解析式.解解: : 由知由知, P , P 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, d).(0, d).曲線在曲線在 P P 點(diǎn)處的切線方程為點(diǎn)處的切線方程為 12x-y-4=0, 12x-y-4=0, 1212 0-d-4=0. 0-d-4=0. 又切線斜率又切線斜率 k=12, 解得解得: d=-4. 故函數(shù)在故函數(shù)在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) y |x=0=12. 而而 y =3ax2+2bx+c, y |x=0=c, c=12.c=12.函數(shù)在函數(shù)在 x=2 x=2 處獲得極值處獲得極值 0, 0, yy |x=2=0 |x=2=0 且當(dāng)且當(dāng) x=2 x=2 時(shí)時(shí), , y=0.y=0.故有故有 8a+4b+20=0. 12a+4b+12=0, 解得解得 a=2, b=-9. a=2, b=-9.y=2x3-9x2+12x-4.y=2x3-9x2+12x-4.課后練習(xí)課后練習(xí) 8 知知 a0, 函數(shù)函數(shù)