解析幾何講稿(2006)

1、解析幾何第一章 矢量與坐標在中學數(shù)學的學習中我們已經(jīng)知道，解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何的.最根本的方法就是設法把空間的幾何結構有系統(tǒng)的數(shù)量化、代數(shù)化（即在平面上通過坐標系的引進，建立起平面上點與實數(shù)對，曲線與方程的對應關系，即以一對有序?qū)崝?shù)表示點，以方程表示曲線）.從而將研究問題的代數(shù)方法引入到集合中來.在這里我們首先在空間中引進矢量以及它的運算，并通過矢量來建立坐標系.這是本章的主要課題，它也是解析幾何的基礎.利用矢量，有時可使某些集合問題更簡捷地得到解決.矢量在力學、物理學和工程技術中也是解決問題的有力工具.§1.1 矢量的概念數(shù)量：只有大小的量.如長度、面積、體積

2、、時間、質(zhì)量、溫度等.而位移、力、速度、加速度、功、力矩等，這些量除了有大小，而且還有方向，這種量就是矢量.定義1.1.1（p.1）既有大小，又有方向的量稱為矢量或向量.簡稱矢.由矢量的定義，對于向量我們只考慮它的大小及方向，因此就可以用有向線段（有方向的線段）來表示矢量.有向線段的始點和終點分別叫做矢量的始點和終點，其長度表示矢量的大小，其方向表示矢量的方向.始點為A，終點為B的矢量記做：.有時也用來表示，為了方便，印刷時常用黑體a，b，c，來表示矢量.模：矢量的大小稱為矢量的模，也稱矢量的長度.矢量和的模分別記作：和.顯然，矢量的模是一個非負實數(shù).單位矢量：模等于1的矢量稱為單位矢量；與矢

3、量具有同一方向的單位矢量稱為矢量的單位矢量，記為： .零矢量：模等于0的矢量稱為零矢量，記作：.零矢量是始點與終點重合的矢量，其方向不確定，也即零矢量的方向可看作是任意的.（非零矢量）.矢量與互相平行：是指它們所在的直線互相平行（或重合），記作：.類似可定義矢量與一條直線或一個平面平行.同向與反向：將兩個互相平行的矢量與中的一個矢量平行移動，使其始點與矢量的始點O重合，這時兩矢量的終點A和B必與O點三點共線.如果終點A和B分布在始點O的同一側，則稱與同向；如果終點A和B分布在始點O的兩側，則稱與反向.定義1.1.2（P.2）：如果兩個矢量的模相等且方向相同，則稱兩個矢量相等.矢量與相等，記作：

4、.特別地，所有的零矢量都相等.結論：對于不在同一直線上的兩個相等的非零矢量與，如果用兩線段分別的一對始點，一對終點，則得到一個平行四邊形；反過來，如果對兩矢量采用上述作圖法得到一個平行四邊形，則這兩個矢量相等.（P.2）另外，由定義可知：兩矢量是否相等與它們的起點無關，只由它們的模和方向決定.自由矢量：與起點無關，而只由模和方向決定的矢量稱為自由矢量，在自由矢量的意義下，相等的兩矢量都看作是同一矢量.我們以后研究的是自由矢量.注意：矢量不僅有大小，而且還有方向.模相等的兩非零矢量未必相等，因為它們的方向可能不同，如下圖：，但.對于自由矢量的始點的任意性，按需要我們可以將一些矢量平移到同一始點，

5、稱為把這些矢量歸結到共同始點.定義1.1.3（P.3）：模相等，方向相反的兩個矢量叫做互為反矢量.矢量的反矢量記作：.由定義知：與互為反矢量；即：，.顯然，.結論：如果把彼此平行的一組矢量歸結到共同的始點，這組矢量必共線；如果把平行于同一平面的一組矢量歸結到公共的始點，這組矢量必共線.定義1.1.4（P.3）：平行于同一直線的一組矢量叫做共線矢量.零矢量與任何共線矢量組共線.定義1.1.5（P.3）：平行于同一平面的一組矢量叫做共面矢量.零矢量與任何共面矢量組共面.結論：一組共線矢量組一定是共面矢量組；三矢量中如果有兩矢量共線，則三矢量必定共面.練習：P.3 Ex.1 Ex.2 Ex.4 Ex

6、.5作業(yè)：P.3 Ex.3§1.2 矢量的加法我們知道，力和位移都是矢量，在物理學中，求作用于同一點的兩個不共線的力的合力是用“平行四邊形法則”.如圖：兩個力，的合力是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線.又如位移：一質(zhì)點從O點出發(fā)到達A點的位移為再從A點到B點作位移，那么其兩次位移，的結果，相當于作位移，即兩個位移的合成可用“三角形”法則求出.如圖所示.如果不考慮矢量的具體含義，只研究幾何學中的自由矢量，那么非共線的兩矢量合成的平行四邊形法則與三角形法則是一致的.即在自由矢量的意義下，平行四邊形法則可以歸結為三角形法則.定義1.2.1（P.5）：由定義1.2.1有：.這種求矢量的方法稱為

7、三角形法則.如圖：由此可得下面定理：定理1.2.1 如果把兩個矢量，為鄰邊作一平行四邊形OABC.那么對角線矢量.這種求矢量的方法稱為稱為平行四邊形法則.特別地：；.定理1.2.2（P.5） 矢量的加法滿足下列運算規(guī)律：1） 交換律：2） 結合律：3）4）證：1）設已知矢量與不共線，作及，在以，為鄰邊的平行四邊形OABC 中（如圖），因為 ，.一方面，另一方面，.如果與共線，分、同向或反向兩情形，證與的方向和模相同即可.2）作，（如圖），由矢量加法定義有：.3）4） 由矢量的加法定義及零矢量的定義可知成立.由矢量的加法滿足交換律及結合律，三個矢量、與相加，不論它們的先后順序及結合順序如何，它們

8、的和總相同.于是可簡寫為：.推廣到任意有限個矢量的和，就可以簡記為：.多次應用公式：，可得任意有限個矢量的求和公式：.此方法叫做矢量加法的多邊形法則.多邊形法則的作圖法：從任意點O點出發(fā)，依次引，則矢量就是個矢量的和.即：.特別地，當與重合時，它們的和矢量為零矢量.在代數(shù)中，數(shù)量減法是加法的逆運算.類似地，向量的減法定義為加法的逆運算.定義1.2.2（P.7） 如果矢量與矢量的和等于，即，那么矢量稱為矢量與的差.記作：.由矢量與求差稱為矢量的減法.由有（求差公式），從上述公式可得矢量減法的幾何作圖法：自空間任意點O引矢量及，則矢量.（如圖）如果以，為鄰邊作一平行四邊形OACB，那么顯然它的一條

9、對角線矢量是，而另一條對角線矢量是.（如圖） 利用反矢量可將矢量減法化為矢量的加法運算，于是有：定理： 減去一個矢量等于加上它的反矢量，即有：.證： 設，由定義1.2.2知，兩邊加上得： ， 即： 從而有：.由此定理有：.另外，由此定理還可得矢量的移項法則：在矢量等式中，將某一矢量從等號的一端移到另一端，只須改變它的符號.如：.另外，對于任意兩個矢量與，利用矢量的作圖法，可得下列不等式： （三角不等式）推廣到任意有限個矢量的情況：例1（P.8）設三個矢量、與互不共線，證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是：.證：作，.那么、與可以構成三角形的充要條件是，重合.即，而.所以，三

10、矢量、與可以構成三角形的充要條件是.例2（P.9）如圖，在平行六面體中，試用、與表示對角線矢量，.解：1）.2）.例3（P.9）用矢量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（提示：證對邊平行且相等）.證：設四邊形的對角線與互相平分于（如圖），則：，從而 .所以 且，即四邊形為平行四邊形.練習：1 證明：四邊形為平行四邊形的充要條件是：對任一點有 .§1.3 數(shù)量乘矢量在物理學中我們知道：力質(zhì)量×加速度，其中力、加速度是矢量，質(zhì)量是數(shù)量，如果用，及m分別代表力、加速度及質(zhì)量，那么上式可以寫成：.這是一種數(shù)量于矢量的結合關系.另外在矢量的加法中，個矢量的和仍然是矢量.特別的

11、，個相同的非零矢量相加，顯然它們的和矢量的模式的倍，方向與相同.個的和常記為（或）.定義1.3.1（P.10）當或時，所以；反過來，當時，必有或.當時，是的反矢量.任意非零矢量都可以寫成：或.即是一個非零矢量乘以它的模的倒數(shù)，結果是一個與它同方向的單位矢量.定理1.3.1（P.10）數(shù)量與矢量的乘法滿足下面的運算規(guī)律：1） 2） （結合律）3） （第一分配律）4） （第二分配律）其中、是矢量，為任意實數(shù).證明：1） 由定義1.3.1可知顯然成立.2） 如果或，那么與都為零矢量，顯然成立.如果且，只要證明等式兩邊的矢量模相等，方向相同.，.又因為當時，即，同號，由定義1.3.1可知與同向，又由于

12、，同號，顯然與同向，即與同向.同理，當時，、都與反向，即與同向.綜上所述有：，結合律成立.3） 如果或，中至少有一個為0，那么顯然成立.因此只須考慮，的情形.（i） 如果，即，同號，這時與同向，且：即有：所以：.（ii） 如果，即，異號，不妨設，這時以及都與同向，即與同向，且：即有：所以：.當時類似可證.4） 如果或、之中至少有一個為零矢量，等式顯然成立.所以只須對，的情形證明.（i） 如果、共線，當、同向時，??；當、反向時，取，這樣顯然有：，由2），3）兩式得：（ii） 如果、不共線，如圖.作，則以、為邊構成的三角形與由，為兩邊的三角形相似，其相似比為.因此其對應的第三邊矢量滿足：.又因為

13、，所以 .結論：從矢量的加法與數(shù)乘矢量的運算規(guī)則知：矢量也可以象多項式那樣運算.例如：化簡：例1（P.13） 設式的中線，求證：.證：（如圖）又因為為的中心，所以 ，得，于是有：.例2（P.13） 用矢量法證明：連結三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證：設兩邊，的中點依次為，（如圖），則：，所以 且.§1.4 矢量的線性關系與矢量的分解矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱為矢量的線性運算.易見：有限個矢量通過線性運算，它的結果仍然是一個矢量.定義1.4.1（P.15）（線性組合、線性表示）定理1.4.1 如果矢量，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是

14、的線性組合，即：，且系數(shù)被、惟一確定.這時稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明：（充分性）若，由矢量的數(shù)乘定義可知與共線.（必要性）若與共線，由是非零矢量，再由上節(jié)數(shù)乘第二分配律的證明可知一定存在實數(shù)，使.（唯一性）若，則，因為，所以，即：.定理1.4.2 如果矢量、不共線，那么矢量與、共面的充要條件是可以用矢量、線性表示，或者說可以分解成、的線性組合，即：且系數(shù)、被、唯一確定.此時叫做平面上矢量的基底.證明：（必要性）因為、不共線，所以，.設與、共面，如果與（或）共線，則由定理1.4.1有：，其中（或）；如果與、都不共線，把它們歸結到共同的起點，并設，.那么經(jīng)過的終點分別作，的平行線依次

15、與直線、交于（如圖）.因為，由定理1.4.1可設， ，又，所以.（充分性）設，如果、中有一個為零，顯然成立.如果、均不為零，由矢量加法的平行四邊形法則知：是以、為鄰邊的平行四邊形的對角線矢量，因此、共面，而，從而與、共面.（唯一性）系數(shù)、被、唯一確定.設，則.如果，那么，得，矛盾！所以一定有，從而有：.即系數(shù)、被、唯一確定.定理1.4.3（P.17）證明：（類似定理1.4.2）例1（如圖）（P.18）已知：，.求.解：因為，而，所以： 又因為 ，不共線，由定理1.4.2及、兩式得： 解得： 于是有：，即：.例2（P.19）證明：四面體對邊中點的連線交于一點且互相平分.證：（P.19）設四面體的

16、一組對邊，的中點，的連線為，其中點為，其余二組對邊的中點為，.只要證明，三點重合即可.取三個不共面矢量，（如圖）.擴充線性組合的概念可得線性相關和線性無關的概念定義1.4.2（P.20）推論1.4.1（P.20）一個矢量線性相關的充要條件為：.或一個矢量線性無關的充要條件為：.定理1.4.4（P.20）在時，矢量線性相關的充要條件是其中有一個矢量是其余矢量的線性組合.證：“”（必要性）如果線性相關，由定義1.4.2知有成立，且中至少有一個不為零.不妨設為，則有：即：是的線性組合.“”（充分性）設中有一矢量，不妨設為，它是其余矢量的線性組合；即，于是，因為不全為0，所以線性相關.定理1.4.5（

17、）如果一組矢量中的一部分矢量線性相關，則這組矢量必定線性相關.證：（）推論1.4.2（）一組矢量如果含有零矢量，那么這組矢量必定線性相關.（）定理1.4.6（）兩矢量共線的充要條件是它們線性相關.證：“”（必要性）設與共線，若，由推論1.4.2知與線性相關；若，由定理1.4.1知，存在唯一確定的，使，即，于是與線性相關.“”（充分性）設與線性相關.由定義有：且不全為零，不妨設，于是，從而與共線.定理1.4.7（）三矢量共面的充要條件是它們線性相關.證：“”（必要性）設、三矢量共面，如果、三矢量中有兩矢量共線，則由定理1.4.6知它們共線，再由定理1.4.5知、三矢量線性相關.如果、三矢量兩兩不

18、共線，則由定理1.4.2知，即，而，不全為零，于是、線性相關.“”（充分性）設、三矢量線性相關.即存在不全為零的三個數(shù)，使成立.不妨設，則由.如果、共線，顯然、三矢量共面；如果、不共線，由定理1.4.2知、三矢量共面.結論：由定理1.4.6及定理1.4.7可得：要判別、是否共線，只要判別是否存在不全為零的數(shù)使得；同理：要判別、三矢量是否共面，只要判別是否存在不全為零的數(shù)，使得.定理1.4.8（）空間任何四個矢量總是線性相關.證：（）設、是空間中任意四個矢量.如果、三矢量共面，則由定理1.4.7知它們線性相關.再由定理1.4.5知、線性相關.如果、三矢量不共面，則由定理1.4.3知有成立，由定理

19、1.4.4可知、線性相關.推論1.4.3（）空間中四個以上的矢量必定線性相關.例3（P.22）設.試證，三點共線的充要條件是：存在不全為零的實數(shù)、，使得：且.證：“”（必要性）設，三點共線，那么與共線從而線性相關（定理1.4.6），于是存在不全為零的實數(shù)、，使得：，即：，也即：.令，則存在不全為零的實數(shù)、，使得：且. “”（充分性）設有不全為零的實數(shù)、，使得：且.不妨設，則有：，即：.又因為、不全為零（否則、均為0）.所以與共線，于是，三點共線.例4（）設、為兩不共線矢量，證明矢量，共線的充要條件是：.證：、兩矢量共線（定理1.4.6）的充要條件是存在不全為零的數(shù)，使，即：.又因為、不共線，所

20、以、線性無關，從而得：.又不全為零，即上述二元一次齊次線性方程組有非零解，于是、共線的充要條件是.§1.5 標架與坐標在空間中任意取定點，從引出三個不共面的矢量，由定理1.4.3知：空間中任何矢量都可以分解成、的線性組合，即： （*）且、是唯一的一組有序?qū)崝?shù).定義1.5.1（P.25）標架；笛卡爾標架；笛卡爾直角標架；仿射標架；右手標架；左手標架.定義1.5.2（P.26）矢量關于標架的分量或坐標.如果，則矢量可以記作：或.定義1.5.3（P.26）徑矢；坐標；坐標系；坐標原點；坐標矢量；右手坐標系；左手坐標系；仿射坐標系；笛卡爾坐標系；直角坐標系.特別約定：用、表示直角坐標系的坐標

21、矢量.即用表示直角坐標系.另外，以后討論空間問題時，采用的坐標系一般都是空間右手直角坐標系.在空間中取交于定點且兩兩相互垂直的三軸，；并在這三條軸上依次配置以為始點且與軸同向的單位矢量、.那么由定理1.4.3可知，空間中任一點的徑矢均可唯一地表示成： （*）即空間中的一點或其徑矢確定唯一的有序數(shù)組；反之，任一給定的有序數(shù)組，由（）式可以確定唯一的或點.方法是：在三軸上依次取，；則由，為三棱決定的長方體中，以為始點的對角線矢量即為.這樣，就建立了點（或其徑矢）與有序數(shù)組之間的一一對應關系.由此我們就說在空間中確定了一個直角坐標系，記作：（或）.其中單位矢量、稱為坐標矢量，定點稱為坐標原點，三軸，

22、稱為坐標軸.依次稱為軸、軸、軸；每兩條坐標軸確定的平面：，面稱為坐標平面，依次稱為面，面，面.滿足（）式的、稱為徑矢關于坐標系的坐標或分量，記作：，即：.特別，三坐標矢量、的坐標是：、.如果空間中任一點的徑矢關于坐標系的坐標為.即：，則、稱為關于坐標系的坐標，記作：或.特別點的坐標特征（P.27）.三坐標平面將空間分成八個區(qū)域，每一區(qū)域稱為卦限.類似可以引入平面上的直角坐標系.例（）設點關于坐標系的坐標為，求作點.解：因點的坐標為，即.以原點為始點，作（顯然在軸上），（在軸上，在軸上），過、分別作垂直于各自所在軸的平面、，則三平面的公共點即為所求.（如圖）用坐標進行矢量的運算1 用矢量的始點和

23、終點坐標表示矢量的分量：定理1.5.1（P.28）矢量的分量等于其終點坐標減去其始點坐標.證：設矢量的始點與終點在標架的坐標分別為，即有：，而：所以：.2 用矢量的分量進行矢量的線性運算.定理1.5.2（）兩矢量和的分量等于兩矢量對應分量之和.即如果，那么：.證：（P.28P.29）定理1.5.3（）數(shù)乘矢量的分量等于這個數(shù)與矢量的對應分量的積.即：如果，那么.證：（P.29）3 兩矢量共線的條件，三矢量共面的條件定理1.5.4（P.29）兩個非零矢量，共線的充要條件是： 證：因為矢量、共線的充要條件是其中一矢量可用另一矢量線性表示，不妨設.于是，得：，.所以：.約定：分母為零時，分子也為零.

24、推論1.5.1（）三點，和共線的充要條件是： .定理1.5.5（P.30）三個非零矢量，共面的充要條件是：.證：（P.30）推論1.5.2（P.30）四個點共面的充要條件是： 或：4 線段的定比分點坐標定義（P.3031）求分已知有向線段成定比的分點的坐標有如下定理定理1.5.6（P.31） 設有向線段的始點為，終點為（如圖）.那么分有向線段成定比（）的分點的坐標是：，.證：（P.31）推論1.5.3（P.31）設，那么線段的中點坐標是：，.例（P.32）已知三角形三頂點為，求的重心（即三角形三中線的公共點）的坐標.解：（P.32）§1.6 矢量在軸上的射影定義：（P.34）點在軸上

25、的射影.定義1.6.1（P.34）（）定義（P.3435）（射影記作） 如果是與同方向的單位向量，則有：可以記為.于是有：.定義（P.3536）夾角，記作：.定理1.6.1（P.36）矢量在軸上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量夾角的余弦.即：，.證：（P.3637）另證：（如圖）過矢量的起點引軸，使與軸平行且具有相同的正方向，那么軸和矢量的夾角等于軸與的夾角，且有：.設點在上的投影點為點，于是：.所以.顯然，當一非零矢量與其投影軸成銳角時，矢量的投影為正；成鈍角時，矢量的投影為負；成直角時，矢量的投影為零.推論：相等向量在同一軸上的射影相等.定理1.6.2 （P.35）對任何向量，有：.證明：

26、設為軸.作（如圖）.那么：.設在軸上的射影依次為，那么有：因為：射影向量，射影向量，射影向量.所以：射影向量射影向量+射影向量.由P34(1.61)式得：，其中為上與同方向的單位向量.所以：.即：.定理1.6.3（P.36）對任何向量與任意實數(shù)，有：.證明：如果或，命題顯然成立.設，則當時，時，于是：當時，.當時，由此可知命題成立.例.（P.36）設在直角坐標系下，向量，證明： .證明：（P.37）設向徑，那么在坐標軸上的射影即是在坐標軸上的射影.設點在軸，軸，軸上的射影分別是（如圖）.那么有：射影向量，射影向量，射影向量.由向量在軸上射影的定義可知：.練習.P.37. Ex.1 EX.2&#

27、167;1.7 兩向量的數(shù)量積（數(shù)性積、點積）一質(zhì)點在力作用下，經(jīng)過位移，那么這個力所作的功為，其中.類似的情況在其他問題中也常遇到.從這個問題可看出，有時要對兩個向量，作這樣的運算，其運算結果是一個數(shù)，它等于，及它們夾角的余弦的積，我們稱它為兩個向量，的數(shù)量（數(shù)性積），記作：.定義1.7.1（P.37）數(shù)量積的性質(zhì)：1.當中有一個為零向量時，由；2.當兩個向量均為非零向量時，因為：， ，所以，；3.當時，；4.當時，稱為的數(shù)量平方，記作：.即，從而，且，特別當時，；5.當且時，有.定理1.7.1（P.38）.證明：“”（必要性）當時，所以.“”（充分性）當時，如果且，那么，所以；如果中有零向

28、量，結論顯然成立.問題：由可否得出或？定理1.7.2（P.39）向量的數(shù)量積滿足下面的運算律： 交換律：。 關于數(shù)因子的結合律：； 分配率：。證明：（P.39）如果，公式中有零向量，那么結論顯然成立。設均是非零向量。如果，結論顯然成立。 如果，那么有：。而。推論：（P.39）。例.。例1.證明：平行四邊形對角線的平方和等于它各邊的平方和。證明：（如圖）。在中，設，對角線，則，于是得即結論成立。例2.試證：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么它就和平面內(nèi)任何直線都垂直，即它垂直于平面。證明：設直線與平面內(nèi)兩相交直線都垂直。是內(nèi)任一直線。在直線上分別任意取非零向量。依條件有：，從而有

29、：。又因為不共線，與共面。所以可用線性表示：。于是：。即。也即所在的直線與所在的直線垂直，從而垂直于平面。例3.證明：三角形的三條高交于一點。證明：（如圖）設的兩邊上的高交于點，那么。因為，所以。得：。又，有得：。于是：，從而結論成立。在直角坐標系下，用向量的坐標表示數(shù)量積（內(nèi)積）。定理1.7.3.（P.41）設，那么。證明：（P.41）推論：設，那么，。在直角坐標系下，利用上述結論可以導出下面幾個重要公式：1.兩點距離公式：定理1.7.4（P.41）設，那么。定理1.7.5空間兩點，間的距離：。2.兩向量的方向余弦。方向角：（P.42）向量與坐標軸（或坐標向量）所成的角叫做向量的方向角，方向

30、角的余弦稱為方向余弦。定理1.7.6非零向量的方向余弦是：且其中是與軸，軸，軸的交角，即的方向角。證明：（P.42）因為，且。所以。于是。同理可證其余兩式。進而可知成立。特別地，單位向量的方向余弦等于它的坐標。即有：。3.兩向量的交角。定理1.7.7設空間中兩個非零向量為和，那么它們的夾角的余弦為：。推論：向量與互相垂直的充要條件是。注：在平面直角坐標系下，平面上的向量也有類似的結論。（P。4345）例4（P。45）已知三點，且，求：（1）與的夾角；（2）在上的射影。解：，；，于是：（1），所以；（2）。例5（P。45）利用兩向量的數(shù)量積證明柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式：。證

31、明：設，因為，而，所以，得,于是。例已知：，求證：。證明：令，由已知條件，得：，又，于是有：。§1.8兩向量的向量積（外積）定義1。8。1（P。47）兩向量與的向量積（外積）是一個向量，記作：或。其模,其方向與，都垂直，且，構成右手標架（如圖）。特別，當時，。定理1.8.1（P.47） 兩不共線向量，的向量積的模等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積。定理1.8.2（P.48）兩向量與共線。證明：（P.48）定理1.8.3（P.48）向量積是反交換的，即：。證明：（P.48）定理1.8.4（P.48）向量積滿足關于數(shù)因子的結合律：，其中，為任意向量，為任意實數(shù)。證明：（P.48）推論：設，

32、為任意實數(shù)，為任意向量，那么。定理1.8.5（P.49）向量積滿足分配律：。證明：（P.4950）（主要用作圖法證，分兩步證，過程從略）推論：。例1（P.50）證明：，并說明其幾何意義。證明：（P.50）例2（P.51）證明：.證明：（P.51）定理1.8.6（P.51）如果，那么，或 或.證明：（P.51）例3（P.52）已知空間三點，試求：（1）的面積；（2）的邊上的高.解： 例.用向量法證明：如果，那么.分析：如果令，那么題目可改寫為“如果，那么.”，即只要證.證明：令，由條件有，即，而（P.52例2） ，所以，得，從而.例.（P.53 Ex.7）用向量法證明：（1）三角形的正弦定理；（

33、2）三角形面積的海倫（Heron）公式：，.證：在中，設，且，。（1）因為，由P.53 Ex.2（2）可得，所以，即，于是。（2）因為，所以。由P.51例2有 又因為，得，所以即， 將式代入式得令得.§1.9 三向量的混合積對于任意三向量，如果先將向量，作數(shù)性積，然后再與第三個向量相乘，則可得到與向量共線的向量；如果先將向量，作外積，則得到的向量可與第三個向量作數(shù)量積或向量積.下面只介紹前一種情形.定義1.9.1（P.54）定理1.9.1（P.54） 三個不共面的向量，的混合積的絕對值等于以，為棱的平行六面體的體積，且當，構成右手系時混合積是正數(shù)，當，構成左手系時混合積是負數(shù).即，當

34、，構成右手系時，當，構成左手系時.證明：（P.5455）定理1.9.2（P.55）三向量，共面的充要條件是.證明：“”如果，共線即或，顯然，共面且有；如果，不共線且，則當，共面時，因為，所以，于是即.“”如果，共線（）或，顯然，共面且有；如果，不共線且，當即時，即，又，于是，共面.定理1.9.3（P.55）輪換混合積的三個因子，并不改變它的值，對調(diào)任何兩個因子要改變乘積的符號.即證明：（P.55）推論：。證明：例1.（P.56.）設三向量滿足：。證明：共面。證明：（兩邊與作數(shù)量積即可證）。定理1.9.4（P.56）如果，那么：證明：（P.56.）例2.已知四面體ABCD的頂點坐標：。求它的體積

35、。解：由初等幾何知道，四面體ABCD的體積等于以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積的六分之一，即：。于是。例3.設不共面，求向量對于的分解式。解：因為不共面，由定理1.4.3有：，其中待定。上式兩邊與作數(shù)量積：。即。又由不共面知。于是：。同理：。例.ABC為三角形，O為空間中任一點，設，則的面積為：。解：因為，。所以。思考：如何利用混合積推導出四點共面的充要條件？課題：第二章 曲面與空間曲線方程。教學目的和要求：通過學習，使學生理解空間坐標系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程。教學重點：空間坐標系下曲面與空間曲線方程的定義。教學難點：空間坐標系下，空間曲線

36、方程的一般規(guī)范表示。主要內(nèi)容：1.平面曲線的方程。（略） 2.曲面方程。 3.空間曲線方程。教學方法：講授法。教具：三角板。參考資料：課后作業(yè)：課后部分習題與補充練習題。課后記：§2.1 平面曲線的方程（略）（P.6676）約定：表示空間曲面，表示空間曲線，表示三元方程.§2.2 曲面的方程一曲面方程（普通方程）定義2.2.1（P.79）三元方程與空間曲面的關系：一般來說，空間曲面的方程是三元方程；一個三元方程業(yè)表示一個空間曲面。但也有如下的一些特殊情況：1.若的左端可以分解成，那么或，此時表示兩葉曲面：和，如：（表示兩個球面）及（表示三個坐標面）；2.如僅表示點；3.表示

37、軸，類似表示軸；4. 表示圓柱面。表示橢圓柱面。5. 不表示任何實圓形。稱為虛曲面。曲面方程求法：例1.（P.79）例2.（P.80）例3.（P.80）例4.（P.80）例5.（P.8081）球面方程的特征。（P.81）求曲面（曲線）的方程的一般步驟：1.選取適當?shù)淖鴺讼?，使方程易求且求出的方程簡單。（如題目已給定，這步可?。Ｈ纾河龅綀D形有對稱軸或?qū)ΨQ中點，常常取對稱軸為坐標軸，或?qū)ΨQ中心為原點）2.在曲線（或曲面）上任取一點；3.根據(jù)曲線（或曲面）上的點所滿足的幾何條件寫出等式；4.用點的坐標的關系式表示這個等式，并化簡得方程；5.證明所得的方程就是曲線（或曲面）的方程。（若化簡過程是解變

38、形過程，便可斷言所得的方程即是曲線（曲面）的方程）。二.曲面的參數(shù)方程。定義2.2.2（P.82）例6.求球心在原點，半徑為的球面的參數(shù)方程。（略）解：設是曲面上的任一點，為原點，將分解成平行于三條坐標軸的向量之和。（如：）。§2.3 空間曲線的方程。（略）定義（P.89）例1.（P.89）例2.（P.89）定義（P.90）例3.（P.90）課題：第三章 平面與空間直線。教學目的與要求：通過本章的學習，使學生掌握空間坐標系從下平面、直線方程的各種形式，熟練掌握平面與空間直線間各種位置關系的解析條件，會求平面與空間直線各種距離與夾角。主要內(nèi)容：1.平面方程及位置關系。2.空間直線方程及

39、各種位置關系。3.平面束。重點與難點：空間直線與平面各種形式的方程及它們之間的轉換。教學方法及教具：講授法。參考資料：課后作業(yè)：課后部分習題及補充練習。教學后記：§3.1 平面的方程。一.方程的建立。約定：用表示平面。定義：（1） 與平面平行的一對不共線向量，稱為的方位向量。（2）與垂直的非零向量，稱為的法線向量，簡稱法向量。1.已知平面上一點。及其方位向量，求此平面方程。解：建立空間坐標系，設，對動點，設，則共面共面（不共線） 式稱為平面的向量式參數(shù)方程.令，則 式稱為平面的坐標式參數(shù)方程.由兩邊與作數(shù)量積或由共面消去參數(shù)得：，即 式統(tǒng)稱為平面的點位式方程.2.已知平面上非共線三點

40、 ，求通過三點的平面的方程.解：建立坐標系。設。并設為上任意一點。由式有： 式稱為平面的三點式方程。特別地，當平面與三坐標軸的交點為：時，有：。即： 稱為平面的截距式方程。其中稱為在三坐標軸上的截距。3.已知平面上一點及其法向量，求平面方程。解：建立空間直角坐標系：。設，為上任一點，。則：。 稱為平面的點法式方程。特別地，如果平面上的點特殊地取自原點向平面所引垂線的垂足，而的法向量取單位法向量（不過原點時）。當過原點時，單位法向量只要垂直于即可。設。為上任一點。則：（向量式法式方程）（坐標式）此方程稱為的法式方程。平面的法式方程具有兩個特征：一次項系數(shù)的平方和為1；因為是原點到的距離，所以常數(shù)

41、項。二.平面的一般方程。在空間坐標系下，對任一平面，都可利用其上一點及其方位向量，將其方程寫成：。其中，。因為不共線，所以不全為（否則矛盾?。┘纯臻g中任一平面都可以用關于的三元一次方程來表示。反過來，對任何一個三元一次方程：，不妨設。取三點。由于。所以，即不共線。于是它們確定的平面方程為：展開得：。（平面的一般方程）。于是有如下的平面方程基本定理：定理3.1.1（P.100）比較點法式方程與一般方程可知：若平面的一般方程為：，則為平面的一個法向量。一些特殊三元一次方程的圖形特點：（1）當且僅當時，通過原點。（2）當且僅當，（或），平面平行于軸（軸或軸）；當且僅當，（或），平面過軸（軸或軸）。（

42、3）當且僅當，（或），平面平行于面（面或面）。當且僅當，（或），平面即為面（面或面）。三.一般方程化為法式方程。根據(jù)平面的法式方程的兩個特征，可以將平面的一般方程：化為法式方程。因為，。所以一般方程可寫為：。 （*）比較向量式法式方程?？芍灰猿耍?）式可得法式方程：。其中的符號根據(jù)來確定。此過程稱為法式化。取定符號后的值稱為法化因子。容易看出：原點到平面的距離為：。例3.（P.104）例4.（P.104）§3.2 平面與點的相關位置.空間中平面與點的位置關系:點在平面:上.(條件)點不在上.(條件:).1.點與平面間的距離.定義3.2.1(P.106)(距離)定義3.2.2(P.

43、106)離差.其中是的單位法向量,是點向引垂線的垂足.定理3.2.1(P.107) 點與平面:之間的離差為:.其中.證明:由定義3.2.2及(圖37，P.107)得：。又因為所以。于是：。推論1（P.107） 點與平面的離差為：。推論2（P.108） 點與平面間的距離為：。2.平面劃分空間問題，三元一次不等式的幾何意義。（P.108）例.證明線段與：相交，而線段與不相交。其中。§3.3 兩平面的相交位置。空間兩個平面的相交位置有三種情形：相交、平行和重合。設兩平面的方程分別為： （1） （2）平面與是相交還是平行或重合，決定于由方程（1）和（2）組成的方程組是有還是無解，或是兩個方程

44、僅相差一個非零因子。因此有：定理3.3.1（P.110）與相交/ 與重合。在直角坐標系下，由兩個平面的法向量為及也可得出相同的結論。在直角坐標系下兩個平面的交角。設兩個平面，的交角記為。如圖所示，或。于是：。由此可得：定理3.3.2 。例1.求兩平面，的夾角。解：因為，所以。即或。例2.決定參數(shù)的值，使平面與平面成角。解：解得。例3.求平面通過兩點和且與平面成角。解：設所求平面為，由平面過兩點和有，即。再由平面與平面成角，有，即，解得。于是所求平面方程為：和。§3.4 空間直線的方程。一.直線的對稱式方程與參數(shù)方程.已知直線上的一點及直線的方向向量，求直線的的方程。（直線的方向向量：

45、與直線平行的非零向量稱為直線的方向向量。）解：取定空間坐標系，設，直線的方向向量，為上的任一點，。那么 （為參數(shù)）稱為直線的向量式參數(shù)式方程。由參數(shù)式方程可得： （為參數(shù)）稱為直線的坐標式參數(shù)方程。又。得：稱為直線的點向式方程（或?qū)ΨQ式或標準式方程）例.求通過點且垂直于平面的直線方程。解：依題意，直線的方向向量可以取為平面的法向量，所以，又因為點在直線上，因此直線的點向式方程為。其坐標式參數(shù)方程為 （為參數(shù)）。例1.（P.112） 求通過空間兩點和的直線方程。解：取為直線的方向向量，設為上的任意點，則，所以直線的向量式參數(shù)方程為：，坐標式參數(shù)方程為：，對稱式方程為：。上式也稱為直線的兩點式方程

46、。在空間直角坐標系下，如果直線的方向向量特別地取為單位向量：，那么直線的參數(shù)方程為：，或直線的對稱方程為：。（*）且此時參數(shù)的絕對值恰好等于直線上的點與之間的距離。直線的方向向量的方向角與方向余弦分別稱為直線的方向角與方向余弦。直線的方向向量的坐標或與它成比例的一組數(shù)稱為直線的方向數(shù)。直線的方向余弦與方向數(shù)的關系：；或。一般地，我們用比表示與非零向量共線的直線的方向數(shù)。二.直線的一步方程。空間直線可看成是兩個平面的交線。如果兩相交平面與相交于直線，那么直線可用方程組 （*）來表示，此方程組稱為空間直線的一般式方程。事實上，如果點在上，那么點同時在兩個平面上，其坐標滿足方程組（*）；反過來，滿足

47、方程組（*）的點同在兩個平面上，所以一定在它們的交線上。綜上所述，方程組（*）就是的方程。直線的標準方程與一般方程之間的轉換。設直線的方程為。其中不全為零，不妨設，那么直線方程可寫成： 。整理可得的一般式方程。 。其中。它是一種特殊的一般方程。其中的兩個平面過直線且分別平行于軸與軸的平面。在直角坐標系下它們又分別垂直于與面。此時，我們稱這個一般式方程為直線的射影式方程。反過來，如果直線的方程為其中。又因為，所以不全為零。不妨設，再令由方程組解出。得直線上的一點。于是直線的標準方程為：。那么由一般式方程分別消去和即可得直線的射影式方程。例2.（P.118） 化直線的一般方程為標準方程和射影式方程

48、。解法1：因為的系數(shù)行列式，所以可由原方程組分別消去和得直線的射影式方程為：，所以直線的標準方程為：。解法2：顯然，直線的方向數(shù)為，令解得，即是上的一點，所以直線的標準方程為：。例3.將直線的一般方程化為標準方程。例 將化為一般方程（射影式）。§3.5 直線與平面的相關位置。一.空間直線與平面的相關位置。相交，平行，平面上。設直線與平面的方程為：。有如下判別它們相關位置的定理：定理3.5.1. 直線與平面的相關位置關系有下面的充要條件：10相交：；20 平行：，且；30 直線在平面上：，且。證明：（P.121.）二.直線與平面的交角。設直線與平面的交角為，的方向向量為，的法向量為，記

49、為。則，。§3.6 空間直線與點的相關位置。兩種：定義3.6.1點到直線的距離（如圖）。§7 空間兩直線的相關位置。1.空間兩直線的位置關系：設兩空間直線為：容易看出，的位置關系決定于三向量的相互關系。（如圖）（1）與異面異面。（2）與共面共面。當與共面時，時，與相交，時，與平行，時，與重合。于是有如下定理：定理3.7.1（P.126）2.空間兩直線的夾角。，。 （如圖）定理3.7.2. 在直角坐標系里，有：。推論：。3.兩異面直線間的距離與公垂線方程。定義3.7.2.（P.127）定義3.7.3.（P.127） （如圖）定理3.7.3.（P.127）定理3.7.4. 兩異面直線與之間的距離公式為：。4.兩異面直線的公垂線方程。設，