多值邏輯的烏拉姆博弈語義

1、84多值邏輯的烏拉姆博弈語義霍書全(安徽大學哲學系安徽合肥 230039)中圖分類號B81文獻標識碼A文章編號1002 - 8862(2009) 12 - 0084 - 04多值邏輯與其他非經典邏輯的根本不同在于認為命題可以取真假之外的其他各種真值，這與弗雷格等人的思想相違背，因此它的合法性更需要有可靠的語義基礎作支撐。人們建立一個邏輯系統(tǒng)往往希望它有恰當合理的語義解釋，這樣的邏輯才有意義，才能被有效地應用并被接受。筆者曾對多值邏輯的思想淵源加以探討，提出多值邏輯的產生與未來偶然命題、直覺主義數學、概率論、模態(tài)命題、悖論、非決定論、相干推理、模糊集合論等等都有關系。但是，仍然有一些多值邏輯系統(tǒng)

2、沒有直觀語義，有一些多值邏輯系統(tǒng)與其所謂的直觀語義不相符合，還有大量的多值邏輯應用沒有給出清楚的理論解釋，這些問題的存在往往使多值邏輯的合法性受到質疑。恰當的語義往往能為多.-X t$ A值邏輯的合法性提供有力的辯護。作為多值邏輯的代表，盧卡西維茲邏輯是研究最多的一種多值邏輯，但其語義解釋和蘊涵曾不斷受到批評。他把未來偶然命題看做既不真也不假，取中間真值，但有時他又把中間真值解釋為可能的、不確定的或非決定的，于是就導致了解釋的矛盾。這些問題長期不能得到合理解決。直到20世紀90年代，丹尼爾？孟迪奇(Da ni ele M un dici)才把盧卡西維茲邏輯的一些聯結詞與烏拉姆博弈(Ulam g

3、ame)聯系起來，從而可以為盧卡西維茲邏輯提供一種新型的解釋，大大推進了多值邏輯的發(fā)展 。一盧卡西維茲有窮值邏輯和烏拉姆博弈盧卡西維茲 m +2值命題邏輯系統(tǒng)的真值為0、1/(m + 1)、m/(m+1)和1,其中1為特指值。有六個聯結詞(邏輯算子),分別是：否定？，析取V ,合取A ,聚合O,裂變 和蘊涵I。這里，m可以取包括 0在內的任意自然數。和經典命題邏輯一樣，根據這些聯結詞可以建立邏輯系統(tǒng)。他當初建立的系統(tǒng)不包括聚合和裂變聯結詞，但它們可以由否定和蘊涵定義出來。這兩個聯結詞是后來張(C1C1Chang)給出的，目的是像經典邏輯的布爾代數那樣，把盧卡西維茲蘊涵對應于經典邏輯的蘊涵，為盧

4、卡西維茲邏輯定義一種代數形式。聚合和裂變分別對應于經典邏輯的合取和析取，因此我們也分別稱聚合和裂變?yōu)楸R卡西維茲合取和盧卡西維茲析取。盧卡西維茲本人只是給出了三值邏輯的語義解釋，對于更多值的情形，他并沒有給出語義解釋 。但是盡管是在三值的情況下，盧卡西維茲蘊涵也不能被完全合理地解釋。如果假定更多的真值有可靠的哲學基礎，否定、析取和合取可以有恰當的直觀語義解釋，其他聯結詞也難以給出合理的解釋。聚合和裂變只是在烏拉姆博弈中才可以得到解釋。烏拉姆博弈是由其在一個數學家的冒險一書中提出的，經典的情形可用如下例子說明：某人猜測一個1和一百萬(小于220而大于219)之間的數。假定準許這個人(即不知道這個數

5、的人)問二十個問題，對每一個問題第二個人(即知道這個數的人)只回答 “是”和“不是”。開始可以問：這個數在一百萬的第一半么？然后再把數目數減半問下一個問題，如此進行下去，通過這種方式這個數可以被猜到。最后，這個數可以在少于 20次被猜到。© J994-2019 China AcaUsiiic Jlhie；! Eteclruriic Publishitig EteuSk!. All rtK.ktshlipzi7ww.nd88哲學動態(tài)009年第12期現在假定一個人允許撒謊一次或多次，那么猜到這個數需要多少問題呢？因為不知道什么時候說謊，顯然從2個目標中猜到這個數需要多于n個問題。盡管回答

6、者可以說謊 ，但限制錯誤回答的數目也可以猜到未知的數。比如在1, 2, 3, 4中猜一個數，只允許最多說謊兩次。因為限制了只說兩次謊,所以問同一個問題五次總能得到可靠的答案。比如問題是“x是1或2嗎”，回答“是”如果是謊言,只能回答兩次；同樣如果回答“不是”是謊言，也只能回答兩次。那么在第五次的時候你一定得到了正確回答。如果問“x是1或2嗎”三次，三次都回答堤”，那么你可以得到正確的答案“x是1或2”，因為這三次同樣的回答不可能是謊言。因此對于上面這個問題，提問若干次之后總可以得到可靠的答案。在一個給定的范圍內最少需要多少問題能夠找出這個數，是一個組合數學問題 。本文不去考慮這個組合問題，而是

7、從這個博弈中給出對盧卡西維茲邏輯命題的解釋。二 有謊言的烏拉姆博弈的知識我們檢查一輪烏拉姆博弈：開始兩個玩家同意確定一個數字的有窮集合S和一個自然數 m,其中S稱為搜索空間，m為最多能說的謊言數。然后第一個玩家選擇S中的一個數 x,第二個玩家通過問最可能少的問題數猜到這個未知的X。對每個問題第二個玩家只能回答“是”或“不是”，在他的回答中最多允許有m個謊言 或錯誤)。一個問題被看做是S的一個子集，例如問題 “x是一個偶數嗎”被看做S中所有偶數的集合。我們可以假定皮諾切克(Pinocchio)是第一個玩家，把我們自己看做第二個玩家。皮諾切克的回答是 堤”或“不是”比如，對于問題 “x是一個偶數嗎

8、”，回答 堤”的意思就 是“x是偶數”我們關于x的知識是由這些回答唯一決定的，它一般不服從經典邏輯的規(guī)則。因為，我們對同一重復的問題的兩個相同的回答的合取不一定等價于單個的回答，因此經典幕等原則失效。同時，對同一重復的問題的兩個相反的回答的合取不一定導致矛盾。我們假定皮諾切克可以最多撒謊一次，我們問兩次 “x是偶數嗎”，如果兩次都回答“是”那么這個回答是真的，x定是偶數。但是，第一次回答之后我們不能確定x是偶數。如果皮諾切克對第一個問題回答“是”對第二個回答“不是”，這不會導致矛盾。在傳統(tǒng)的無錯誤或謊言的烏拉姆博弈中，我們對于x的知識通常由特征函數T:S0, 1表示，對每個S中的數乙z的特征函

9、數值等于 0或者等于1。當且僅當z滿足了前面所有的問答，z的特征函數值等于0。這里所說的問答就是博弈中一問一答的結果。比如當問題是“x是一個偶數嗎”，回答為堤”的時候，如果z是偶數，則說它滿足了這個問答。如果z滿足了前面所有的問答，z的特征函數值等于0。當且僅當z至少不滿足一個問答，z的特征函數值等于1。滿足某個問答也可以說是使這個問答真；不滿足某個問答也可以說是使這個問答假。在有m個謊言的烏拉姆博弈中，我們的知識由推廣的特征函數d: S0, 1,m,m +1給出，z不滿足的問答的數為 d (z),這樣z可以不滿足 0到m +1個問答。不滿足多于 m +1個問答的情況被看做 不滿足m +1個問

10、答的情況，這是因為在最多允許 m個謊言的情況下，一個數不滿足 m +1個問答已經 說明它肯定不是那個未知數，再繼續(xù)不滿足所問的問題已經沒有意義。好的策略是將它排除不再提問，所以可認定最多只能不滿足m +1個問答。通過比較可以發(fā)現無謊言和有謊言博弈中的知識有所不同：當z不滿足一個問答時，在傳統(tǒng)的無錯誤的烏拉姆博弈中z的特征函數值等于1,在有m個謊言的烏拉姆博弈中z不滿足的問答數也是1;當z不滿足兩個問答時，在傳統(tǒng)的無錯誤的烏拉姆博弈中z的特征函數值等于1,而在有m個謊言的烏拉姆博弈中z不滿足的問答數等于2;當z不滿足k大于1而小于m +2)個問答時，在傳統(tǒng)的無錯誤的烏拉姆博弈中z的特征函數值等于

11、1,而在有m個謊言的烏拉姆博弈中，z不滿足的問答數等于k。© 994-201Q ChinaJoEimal ESltelf imic Puhlishlhg FLouss All r函hlipr?w ww.tnki .net三知識狀態(tài)的動態(tài)我們假定，從皮諾切克得到一定數目的回答之后我們的知識由函數6表示。令D是S的任意子集，它的補集Dc是S中不屬于D的那些數組成的集合。假定我們的問題是“x是D中的數嗎”，現在從皮諾切克那里得到的回答為“是”，我們從原來的知識得到一個新的知識。那么我們應該怎樣表示我們的新知識6呢？下面給出構造過程。我們令S表示在前面的所有問答中不滿足i個問答的數字構成的集

12、合，那么在所有的知識和所有的m +2元組(S，-，S + i)之間存在一個顯然的一一對應關系，推廣了經典的子集和特征函數之間的對應。如果在得到知識6之后問的下一個問題為“ x是D中的數字嗎？ ”，得到的回答為 堤”，那么我們會得到一個新的知識6 與6對應的(m+2)元組記為(So',，Sm+i)。于是，S是S與D的交集，S；+1由Sn+1中的數字和Sn中不屬于D的數字組成，其他S由Si中屬于D的數字和Si-1中不屬于D的數字組成。事實上，每當S中的數字y對于未知的x是有效的候選時，即當y按照皮諾切克的回 答確定為和x同屬于D時，y不滿足的問答的數6 '(y)保持不變，這時y屬于

13、D;另一方面，當且僅當y不屬于D時，6 '(y)增加1。我們可以類似地處理對問題D的否定回答的情況，這些回答和對反問題Dc，即“x不是D中的數嗎？”的肯定回答正好有同樣的效果。如果對每個y指派的不滿足問答的數目6 (y)進行轉換，我們可以獲得一個更簡單的形式。我們用®表示1減去6 (y)/(m+1)得到的結果。函數 稱為有m個謊言(或錯誤)的S上的烏拉姆博弈中的 知識狀態(tài)(stateof knowledge)。這樣我們就把知識轉化為知識狀態(tài)。按照這個概念，開始的知識狀態(tài)是S上的常函數1。在另一個極端是與1不相容的知識狀態(tài)，即常函數0,在這個知識狀態(tài)每一個S中的數使m +1個或

14、更多的問答假。于是，(y)可以看做給y指派真值的函數。直觀上，真值函數(y)以m +1的單位測量y距離使太多問答假的條件有多遠。它的取值情況可以更精確地表述為：如果y使多于m個問答假,它的真值函數(y)取真值0;如果y使m個問答假，它的真值函數取真值1 / (m +1);如果y使k個問答假，它的真值函數取真值(m - k+1)/(m+1);如果y使1個問答假,它的真值函數取真值m / (m + 1);如果y沒有使回答假,它的真值函數取真值1。上文提到，問題“x是 D中的數字嗎”可以看做集合D,那么對問題 D的肯定回答的結果是一個問答，記為Dyes,它可以看做函數。規(guī)定：如果z是D中的數字，它的

15、問答Dyes(z)取真值1;如果z不 是D中的數字，它的問答取真值 m/(m +1)。根據規(guī)定，對問題D的否定回答的問答Dno相當于Dc yes,即對問題Dc肯定回答的問答。換句話說，對每個S中的數字z:如果z不是D中的數字，那么它的問 答Dno (z)取真值1;如果z是 D中的數字，它的問答取真值 m/(m+1)。直觀上，每一輪提問和回答之 后都使原來的知識狀態(tài)有所改變，改變的量就是問答函數給出的函數值。為了更好地說明有謊言的烏拉姆博弈，我們假定要搜索的數字空間為1, 2, 3,要猜的數為2,允許的最大謊言數為2。假定我們第一次提問是“x是1或2嗎”，皮諾切克回答“是”，得到的知識也是這個問

16、答，記為D。如果數字z是1或2,那么z使問答真，它的問答取真值1;如果z是3,那么z使問答假，它的問答取真值 2/3。把經過幾輪問答之后得到的知識狀態(tài)記為，如果數字y使其中的三個問答假，那么y的真值函數取真值0;如果y使兩個問答假，那么y的真值函數取真值 1 /3;如果y使一個問答假,那么y的真值函數取真值2/3;如果y沒有使問答假,那么y的真值函數取真值 1。 可以更簡潔地用三元組表示出來，假定它是(1, 2/3, 1/3),坐標分別對應搜索空間的數字1、2和3,那么在這個知識狀態(tài)數字1沒有使問答假，2使一個問答假，3使兩個問答假，這時我們還不能猜到那個未知的數6。要想知道未知的數，繼續(xù)提問

17、下去，直到得到知識狀態(tài) (0, 1 /3, 0),這時我們知道那 個未知的數一定是 2。© 1994-2010 Chinzi AvAdirzviic JoEimal EltclriMiic PuEilishitugAll rightshup:擰詣 ww.tnki.titl多值邏輯的烏拉姆博弈語義90四知識狀態(tài)的運算有m個謊言（或錯誤）在搜索空間£上的烏拉姆博弈中的知識狀態(tài)構成一個集合，記為K", 一 旦配備有逐點（凹i曲證）盧卡西維鉉合取運算，它就成為一個有中心元1 （最初狀態(tài)）的左換幺半 群邏輯聯結同在代數屮稱為運算。當皮諧切克的回答包含謊言的時候，問答（甫數）

18、的盧卡西維茲 合収是我們關于未知的數x的知識狀態(tài)。隨著回答數目的増加*我們的知識狀態(tài)變得越來越細。對每個 知識狀態(tài)S存在一個最粗的狀態(tài)=T和它不郴容（incompatible） o聯結詞，和t 0是町以相互 定義的*對的解釋可以通過定義緒出。常函數0是與1不相容的狀態(tài)，町以用、不屬于亍 來描述， 是假的知識狀態(tài)。多值邏輯代數（収-aJ滬顯）是一種代數結構，記為釦6，足盧卡西 維茲無窮值命題邏輯的代數形態(tài)，當然有窮值的情形也滿足無窮值情形的定理和性質是多值邏轎代數 的特例。由于?？梢杂啥ㄎ?我們可以稱K“，1,硏為有m個謊言邸JS上的烏拉姆博弈中 知識狀態(tài)的多值邏輯代數。因為忑吋1, r , 0

19、已經是多值邏輯代數了，對于VIIA通常沒有必要給出解釋。但是，對 于知識狀態(tài)5和玄，規(guī)定T! Vtz（x）于小乂兔（門,也可以得到解釋。如果把知識狀態(tài)所取的函 數值看做真值T1 Vi2所取真值是和©所取真值的析取繪比山或心更真的知識狀態(tài)。類似地A也 可以得到解釋"這樣我們對盧卡西維茲ni +2值命題邏輯系統(tǒng)給出了一個較全面的解釋。在多值邏輯代數中，任意公式或項都是從變元和常元1通過有窮次應用聯結詞運算？和O而得到的。代數公式對應于邏輯系統(tǒng)中的公式，等式對應于邏輯系統(tǒng)中的等價公式。我們把代數中的元看做任意知識狀態(tài),多值邏輯代數就是關于知識狀態(tài)的代數。O的結合性和交換性以及？的

20、對合性質也成立 。席刃吧鶯I上，訃' Oi 當謊言的數為零的時候，多值邏輯代數的聚合和裂變就是布爾代數的合取和析取。根據上述解釋可以看到，有謊言的烏拉姆博弈為多值邏輯代數提供了一個語義解釋，并且滿足聯結詞的運算規(guī)則。對于無窮值盧卡西維茲邏輯，可以把謊言的數目推廣到無窮個的情況，恒等式就是保證博弈中沒有謊言的公式。烏拉姆博弈中的搜索空間可以是其他類型的東西，數字可以代表其他事物或符號，因此它有更為廣泛的應用領域，使多值邏輯的研究更有趣味。烏拉姆博弈解決了長期以來對盧卡西維茲合取和析取不能給出解釋的問題，為多值邏輯的合法性提供了辯護。實際上烏拉姆博弈只是給多值邏輯代數一 個直觀語義解釋，并沒有對盧卡西維茲蘊涵進行解釋。多值邏輯因為缺乏直觀而受到排斥，但從烏拉姆博弈中找到解釋的事實說明，多值邏輯有不同于二值邏輯的價值。注釋1霍書全：多值邏輯的思想淵源和產生歷程自然辯證法研究 2008年第11期，第17 - 21頁；霍書全：多值邏輯的方法和理論 ，科學出版社，2009,第1 - 16頁。2 Standleg J Krolikoski，“DoesM any - valued Logic Begin W ith a M istake”，In: International Symposium on M ultiple - Val2 ued Logic （9 th : 197