多值邏輯的烏拉姆博弈語(yǔ)義

1、84多值邏輯的烏拉姆博弈語(yǔ)義霍書全(安徽大學(xué)哲學(xué)系安徽合肥 230039)中圖分類號(hào)B81文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1002 - 8862(2009) 12 - 0084 - 04多值邏輯與其他非經(jīng)典邏輯的根本不同在于認(rèn)為命題可以取真假之外的其他各種真值，這與弗雷格等人的思想相違背，因此它的合法性更需要有可靠的語(yǔ)義基礎(chǔ)作支撐。人們建立一個(gè)邏輯系統(tǒng)往往希望它有恰當(dāng)合理的語(yǔ)義解釋，這樣的邏輯才有意義，才能被有效地應(yīng)用并被接受。筆者曾對(duì)多值邏輯的思想淵源加以探討，提出多值邏輯的產(chǎn)生與未來(lái)偶然命題、直覺主義數(shù)學(xué)、概率論、模態(tài)命題、悖論、非決定論、相干推理、模糊集合論等等都有關(guān)系。但是，仍然有一些多值邏輯系統(tǒng)

2、沒有直觀語(yǔ)義，有一些多值邏輯系統(tǒng)與其所謂的直觀語(yǔ)義不相符合，還有大量的多值邏輯應(yīng)用沒有給出清楚的理論解釋，這些問題的存在往往使多值邏輯的合法性受到質(zhì)疑。恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)義往往能為多.-X t$ A值邏輯的合法性提供有力的辯護(hù)。作為多值邏輯的代表，盧卡西維茲邏輯是研究最多的一種多值邏輯，但其語(yǔ)義解釋和蘊(yùn)涵曾不斷受到批評(píng)。他把未來(lái)偶然命題看做既不真也不假，取中間真值，但有時(shí)他又把中間真值解釋為可能的、不確定的或非決定的，于是就導(dǎo)致了解釋的矛盾。這些問題長(zhǎng)期不能得到合理解決。直到20世紀(jì)90年代，丹尼爾？孟迪奇(Da ni ele M un dici)才把盧卡西維茲邏輯的一些聯(lián)結(jié)詞與烏拉姆博弈(Ulam g

3、ame)聯(lián)系起來(lái)，從而可以為盧卡西維茲邏輯提供一種新型的解釋，大大推進(jìn)了多值邏輯的發(fā)展 。一盧卡西維茲有窮值邏輯和烏拉姆博弈盧卡西維茲 m +2值命題邏輯系統(tǒng)的真值為0、1/(m + 1)、m/(m+1)和1,其中1為特指值。有六個(gè)聯(lián)結(jié)詞(邏輯算子),分別是：否定？，析取V ,合取A ,聚合O,裂變 和蘊(yùn)涵I。這里，m可以取包括 0在內(nèi)的任意自然數(shù)。和經(jīng)典命題邏輯一樣，根據(jù)這些聯(lián)結(jié)詞可以建立邏輯系統(tǒng)。他當(dāng)初建立的系統(tǒng)不包括聚合和裂變聯(lián)結(jié)詞，但它們可以由否定和蘊(yùn)涵定義出來(lái)。這兩個(gè)聯(lián)結(jié)詞是后來(lái)張(C1C1Chang)給出的，目的是像經(jīng)典邏輯的布爾代數(shù)那樣，把盧卡西維茲蘊(yùn)涵對(duì)應(yīng)于經(jīng)典邏輯的蘊(yùn)涵，為盧

4、卡西維茲邏輯定義一種代數(shù)形式。聚合和裂變分別對(duì)應(yīng)于經(jīng)典邏輯的合取和析取，因此我們也分別稱聚合和裂變?yōu)楸R卡西維茲合取和盧卡西維茲析取。盧卡西維茲本人只是給出了三值邏輯的語(yǔ)義解釋，對(duì)于更多值的情形，他并沒有給出語(yǔ)義解釋 。但是盡管是在三值的情況下，盧卡西維茲蘊(yùn)涵也不能被完全合理地解釋。如果假定更多的真值有可靠的哲學(xué)基礎(chǔ)，否定、析取和合取可以有恰當(dāng)?shù)闹庇^語(yǔ)義解釋，其他聯(lián)結(jié)詞也難以給出合理的解釋。聚合和裂變只是在烏拉姆博弈中才可以得到解釋。烏拉姆博弈是由其在一個(gè)數(shù)學(xué)家的冒險(xiǎn)一書中提出的，經(jīng)典的情形可用如下例子說(shuō)明：某人猜測(cè)一個(gè)1和一百萬(wàn)(小于220而大于219)之間的數(shù)。假定準(zhǔn)許這個(gè)人(即不知道這個(gè)數(shù)

5、的人)問二十個(gè)問題，對(duì)每一個(gè)問題第二個(gè)人(即知道這個(gè)數(shù)的人)只回答 “是”和“不是”。開始可以問：這個(gè)數(shù)在一百萬(wàn)的第一半么？然后再把數(shù)目數(shù)減半問下一個(gè)問題，如此進(jìn)行下去，通過(guò)這種方式這個(gè)數(shù)可以被猜到。最后，這個(gè)數(shù)可以在少于 20次被猜到。© J994-2019 China AcaUsiiic Jlhie；! Eteclruriic Publishitig EteuSk!. All rtK.ktshlipzi7ww.nd88哲學(xué)動(dòng)態(tài)009年第12期現(xiàn)在假定一個(gè)人允許撒謊一次或多次，那么猜到這個(gè)數(shù)需要多少問題呢？因?yàn)椴恢朗裁磿r(shí)候說(shuō)謊，顯然從2個(gè)目標(biāo)中猜到這個(gè)數(shù)需要多于n個(gè)問題。盡管回答

6、者可以說(shuō)謊 ，但限制錯(cuò)誤回答的數(shù)目也可以猜到未知的數(shù)。比如在1, 2, 3, 4中猜一個(gè)數(shù)，只允許最多說(shuō)謊兩次。因?yàn)橄拗屏酥徽f(shuō)兩次謊,所以問同一個(gè)問題五次總能得到可靠的答案。比如問題是“x是1或2嗎”，回答“是”如果是謊言,只能回答兩次；同樣如果回答“不是”是謊言，也只能回答兩次。那么在第五次的時(shí)候你一定得到了正確回答。如果問“x是1或2嗎”三次，三次都回答堤”，那么你可以得到正確的答案“x是1或2”，因?yàn)檫@三次同樣的回答不可能是謊言。因此對(duì)于上面這個(gè)問題，提問若干次之后總可以得到可靠的答案。在一個(gè)給定的范圍內(nèi)最少需要多少問題能夠找出這個(gè)數(shù)，是一個(gè)組合數(shù)學(xué)問題 。本文不去考慮這個(gè)組合問題，而是

7、從這個(gè)博弈中給出對(duì)盧卡西維茲邏輯命題的解釋。二 有謊言的烏拉姆博弈的知識(shí)我們檢查一輪烏拉姆博弈：開始兩個(gè)玩家同意確定一個(gè)數(shù)字的有窮集合S和一個(gè)自然數(shù) m,其中S稱為搜索空間，m為最多能說(shuō)的謊言數(shù)。然后第一個(gè)玩家選擇S中的一個(gè)數(shù) x,第二個(gè)玩家通過(guò)問最可能少的問題數(shù)猜到這個(gè)未知的X。對(duì)每個(gè)問題第二個(gè)玩家只能回答“是”或“不是”，在他的回答中最多允許有m個(gè)謊言 或錯(cuò)誤)。一個(gè)問題被看做是S的一個(gè)子集，例如問題 “x是一個(gè)偶數(shù)嗎”被看做S中所有偶數(shù)的集合。我們可以假定皮諾切克(Pinocchio)是第一個(gè)玩家，把我們自己看做第二個(gè)玩家。皮諾切克的回答是 堤”或“不是”比如，對(duì)于問題 “x是一個(gè)偶數(shù)嗎

8、”，回答 堤”的意思就 是“x是偶數(shù)”我們關(guān)于x的知識(shí)是由這些回答唯一決定的，它一般不服從經(jīng)典邏輯的規(guī)則。因?yàn)?，我們?duì)同一重復(fù)的問題的兩個(gè)相同的回答的合取不一定等價(jià)于單個(gè)的回答，因此經(jīng)典幕等原則失效。同時(shí)，對(duì)同一重復(fù)的問題的兩個(gè)相反的回答的合取不一定導(dǎo)致矛盾。我們假定皮諾切克可以最多撒謊一次，我們問兩次 “x是偶數(shù)嗎”，如果兩次都回答“是”那么這個(gè)回答是真的，x定是偶數(shù)。但是，第一次回答之后我們不能確定x是偶數(shù)。如果皮諾切克對(duì)第一個(gè)問題回答“是”對(duì)第二個(gè)回答“不是”，這不會(huì)導(dǎo)致矛盾。在傳統(tǒng)的無(wú)錯(cuò)誤或謊言的烏拉姆博弈中，我們對(duì)于x的知識(shí)通常由特征函數(shù)T:S0, 1表示，對(duì)每個(gè)S中的數(shù)乙z的特征函

9、數(shù)值等于 0或者等于1。當(dāng)且僅當(dāng)z滿足了前面所有的問答，z的特征函數(shù)值等于0。這里所說(shuō)的問答就是博弈中一問一答的結(jié)果。比如當(dāng)問題是“x是一個(gè)偶數(shù)嗎”，回答為堤”的時(shí)候，如果z是偶數(shù)，則說(shuō)它滿足了這個(gè)問答。如果z滿足了前面所有的問答，z的特征函數(shù)值等于0。當(dāng)且僅當(dāng)z至少不滿足一個(gè)問答，z的特征函數(shù)值等于1。滿足某個(gè)問答也可以說(shuō)是使這個(gè)問答真；不滿足某個(gè)問答也可以說(shuō)是使這個(gè)問答假。在有m個(gè)謊言的烏拉姆博弈中，我們的知識(shí)由推廣的特征函數(shù)d: S0, 1,m,m +1給出，z不滿足的問答的數(shù)為 d (z),這樣z可以不滿足 0到m +1個(gè)問答。不滿足多于 m +1個(gè)問答的情況被看做 不滿足m +1個(gè)問

10、答的情況，這是因?yàn)樵谧疃嘣试S m個(gè)謊言的情況下，一個(gè)數(shù)不滿足 m +1個(gè)問答已經(jīng) 說(shuō)明它肯定不是那個(gè)未知數(shù)，再繼續(xù)不滿足所問的問題已經(jīng)沒有意義。好的策略是將它排除不再提問，所以可認(rèn)定最多只能不滿足m +1個(gè)問答。通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)無(wú)謊言和有謊言博弈中的知識(shí)有所不同：當(dāng)z不滿足一個(gè)問答時(shí)，在傳統(tǒng)的無(wú)錯(cuò)誤的烏拉姆博弈中z的特征函數(shù)值等于1,在有m個(gè)謊言的烏拉姆博弈中z不滿足的問答數(shù)也是1;當(dāng)z不滿足兩個(gè)問答時(shí)，在傳統(tǒng)的無(wú)錯(cuò)誤的烏拉姆博弈中z的特征函數(shù)值等于1,而在有m個(gè)謊言的烏拉姆博弈中z不滿足的問答數(shù)等于2;當(dāng)z不滿足k大于1而小于m +2)個(gè)問答時(shí)，在傳統(tǒng)的無(wú)錯(cuò)誤的烏拉姆博弈中z的特征函數(shù)值等于

11、1,而在有m個(gè)謊言的烏拉姆博弈中，z不滿足的問答數(shù)等于k。© 994-201Q ChinaJoEimal ESltelf imic Puhlishlhg FLouss All r函hlipr?w ww.tnki .net三知識(shí)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)我們假定，從皮諾切克得到一定數(shù)目的回答之后我們的知識(shí)由函數(shù)6表示。令D是S的任意子集，它的補(bǔ)集Dc是S中不屬于D的那些數(shù)組成的集合。假定我們的問題是“x是D中的數(shù)嗎”，現(xiàn)在從皮諾切克那里得到的回答為“是”，我們從原來(lái)的知識(shí)得到一個(gè)新的知識(shí)。那么我們應(yīng)該怎樣表示我們的新知識(shí)6呢？下面給出構(gòu)造過(guò)程。我們令S表示在前面的所有問答中不滿足i個(gè)問答的數(shù)字構(gòu)成的集

12、合，那么在所有的知識(shí)和所有的m +2元組(S，-，S + i)之間存在一個(gè)顯然的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，推廣了經(jīng)典的子集和特征函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)。如果在得到知識(shí)6之后問的下一個(gè)問題為“ x是D中的數(shù)字嗎？ ”，得到的回答為 堤”，那么我們會(huì)得到一個(gè)新的知識(shí)6 與6對(duì)應(yīng)的(m+2)元組記為(So',，Sm+i)。于是，S是S與D的交集，S；+1由Sn+1中的數(shù)字和Sn中不屬于D的數(shù)字組成，其他S由Si中屬于D的數(shù)字和Si-1中不屬于D的數(shù)字組成。事實(shí)上，每當(dāng)S中的數(shù)字y對(duì)于未知的x是有效的候選時(shí)，即當(dāng)y按照皮諾切克的回 答確定為和x同屬于D時(shí)，y不滿足的問答的數(shù)6 '(y)保持不變，這時(shí)y屬于

13、D;另一方面，當(dāng)且僅當(dāng)y不屬于D時(shí)，6 '(y)增加1。我們可以類似地處理對(duì)問題D的否定回答的情況，這些回答和對(duì)反問題Dc，即“x不是D中的數(shù)嗎？”的肯定回答正好有同樣的效果。如果對(duì)每個(gè)y指派的不滿足問答的數(shù)目6 (y)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們可以獲得一個(gè)更簡(jiǎn)單的形式。我們用®表示1減去6 (y)/(m+1)得到的結(jié)果。函數(shù) 稱為有m個(gè)謊言(或錯(cuò)誤)的S上的烏拉姆博弈中的 知識(shí)狀態(tài)(stateof knowledge)。這樣我們就把知識(shí)轉(zhuǎn)化為知識(shí)狀態(tài)。按照這個(gè)概念，開始的知識(shí)狀態(tài)是S上的常函數(shù)1。在另一個(gè)極端是與1不相容的知識(shí)狀態(tài)，即常函數(shù)0,在這個(gè)知識(shí)狀態(tài)每一個(gè)S中的數(shù)使m +1個(gè)或

14、更多的問答假。于是，(y)可以看做給y指派真值的函數(shù)。直觀上，真值函數(shù)(y)以m +1的單位測(cè)量y距離使太多問答假的條件有多遠(yuǎn)。它的取值情況可以更精確地表述為：如果y使多于m個(gè)問答假,它的真值函數(shù)(y)取真值0;如果y使m個(gè)問答假，它的真值函數(shù)取真值1 / (m +1);如果y使k個(gè)問答假，它的真值函數(shù)取真值(m - k+1)/(m+1);如果y使1個(gè)問答假,它的真值函數(shù)取真值m / (m + 1);如果y沒有使回答假,它的真值函數(shù)取真值1。上文提到，問題“x是 D中的數(shù)字嗎”可以看做集合D,那么對(duì)問題 D的肯定回答的結(jié)果是一個(gè)問答，記為Dyes,它可以看做函數(shù)。規(guī)定：如果z是D中的數(shù)字，它的

15、問答Dyes(z)取真值1;如果z不 是D中的數(shù)字，它的問答取真值 m/(m +1)。根據(jù)規(guī)定，對(duì)問題D的否定回答的問答Dno相當(dāng)于Dc yes,即對(duì)問題Dc肯定回答的問答。換句話說(shuō)，對(duì)每個(gè)S中的數(shù)字z:如果z不是D中的數(shù)字，那么它的問 答Dno (z)取真值1;如果z是 D中的數(shù)字，它的問答取真值 m/(m+1)。直觀上，每一輪提問和回答之 后都使原來(lái)的知識(shí)狀態(tài)有所改變，改變的量就是問答函數(shù)給出的函數(shù)值。為了更好地說(shuō)明有謊言的烏拉姆博弈，我們假定要搜索的數(shù)字空間為1, 2, 3,要猜的數(shù)為2,允許的最大謊言數(shù)為2。假定我們第一次提問是“x是1或2嗎”，皮諾切克回答“是”，得到的知識(shí)也是這個(gè)問

16、答，記為D。如果數(shù)字z是1或2,那么z使問答真，它的問答取真值1;如果z是3,那么z使問答假，它的問答取真值 2/3。把經(jīng)過(guò)幾輪問答之后得到的知識(shí)狀態(tài)記為，如果數(shù)字y使其中的三個(gè)問答假，那么y的真值函數(shù)取真值0;如果y使兩個(gè)問答假，那么y的真值函數(shù)取真值 1 /3;如果y使一個(gè)問答假,那么y的真值函數(shù)取真值2/3;如果y沒有使問答假,那么y的真值函數(shù)取真值 1。 可以更簡(jiǎn)潔地用三元組表示出來(lái)，假定它是(1, 2/3, 1/3),坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)搜索空間的數(shù)字1、2和3,那么在這個(gè)知識(shí)狀態(tài)數(shù)字1沒有使問答假，2使一個(gè)問答假，3使兩個(gè)問答假，這時(shí)我們還不能猜到那個(gè)未知的數(shù)6。要想知道未知的數(shù)，繼續(xù)提問

17、下去，直到得到知識(shí)狀態(tài) (0, 1 /3, 0),這時(shí)我們知道那 個(gè)未知的數(shù)一定是 2。© 1994-2010 Chinzi AvAdirzviic JoEimal EltclriMiic PuEilishitugAll rightshup:擰詣 ww.tnki.titl多值邏輯的烏拉姆博弈語(yǔ)義90四知識(shí)狀態(tài)的運(yùn)算有m個(gè)謊言（或錯(cuò)誤）在搜索空間£上的烏拉姆博弈中的知識(shí)狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)集合，記為K", 一 旦配備有逐點(diǎn)（凹i曲證）盧卡西維鉉合取運(yùn)算，它就成為一個(gè)有中心元1 （最初狀態(tài)）的左換幺半 群邏輯聯(lián)結(jié)同在代數(shù)屮稱為運(yùn)算。當(dāng)皮諧切克的回答包含謊言的時(shí)候，問答（甫數(shù)）

18、的盧卡西維茲 合収是我們關(guān)于未知的數(shù)x的知識(shí)狀態(tài)。隨著回答數(shù)目的増加*我們的知識(shí)狀態(tài)變得越來(lái)越細(xì)。對(duì)每個(gè) 知識(shí)狀態(tài)S存在一個(gè)最粗的狀態(tài)=T和它不郴容（incompatible） o聯(lián)結(jié)詞，和t 0是町以相互 定義的*對(duì)的解釋可以通過(guò)定義緒出。常函數(shù)0是與1不相容的狀態(tài)，町以用、不屬于亍 來(lái)描述， 是假的知識(shí)狀態(tài)。多值邏輯代數(shù)（収-aJ滬顯）是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，記為釦6，足盧卡西 維茲無(wú)窮值命題邏輯的代數(shù)形態(tài)，當(dāng)然有窮值的情形也滿足無(wú)窮值情形的定理和性質(zhì)是多值邏轎代數(shù) 的特例。由于?？梢杂啥ㄎ?我們可以稱K“，1,硏為有m個(gè)謊言邸JS上的烏拉姆博弈中 知識(shí)狀態(tài)的多值邏輯代數(shù)。因?yàn)殪齾?, r , 0

19、已經(jīng)是多值邏輯代數(shù)了，對(duì)于VIIA通常沒有必要給出解釋。但是，對(duì) 于知識(shí)狀態(tài)5和玄，規(guī)定T! Vtz（x）于小乂兔（門,也可以得到解釋。如果把知識(shí)狀態(tài)所取的函 數(shù)值看做真值T1 Vi2所取真值是和©所取真值的析取繪比山或心更真的知識(shí)狀態(tài)。類似地A也 可以得到解釋"這樣我們對(duì)盧卡西維茲ni +2值命題邏輯系統(tǒng)給出了一個(gè)較全面的解釋。在多值邏輯代數(shù)中，任意公式或項(xiàng)都是從變?cè)统Ｔ?通過(guò)有窮次應(yīng)用聯(lián)結(jié)詞運(yùn)算？和O而得到的。代數(shù)公式對(duì)應(yīng)于邏輯系統(tǒng)中的公式，等式對(duì)應(yīng)于邏輯系統(tǒng)中的等價(jià)公式。我們把代數(shù)中的元看做任意知識(shí)狀態(tài),多值邏輯代數(shù)就是關(guān)于知識(shí)狀態(tài)的代數(shù)。O的結(jié)合性和交換性以及？的

20、對(duì)合性質(zhì)也成立 。席刃吧鶯I上，訃' Oi 當(dāng)謊言的數(shù)為零的時(shí)候，多值邏輯代數(shù)的聚合和裂變就是布爾代數(shù)的合取和析取。根據(jù)上述解釋可以看到，有謊言的烏拉姆博弈為多值邏輯代數(shù)提供了一個(gè)語(yǔ)義解釋，并且滿足聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算規(guī)則。對(duì)于無(wú)窮值盧卡西維茲邏輯，可以把謊言的數(shù)目推廣到無(wú)窮個(gè)的情況，恒等式就是保證博弈中沒有謊言的公式。烏拉姆博弈中的搜索空間可以是其他類型的東西，數(shù)字可以代表其他事物或符號(hào)，因此它有更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，使多值邏輯的研究更有趣味。烏拉姆博弈解決了長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)盧卡西維茲合取和析取不能給出解釋的問題，為多值邏輯的合法性提供了辯護(hù)。實(shí)際上烏拉姆博弈只是給多值邏輯代數(shù)一 個(gè)直觀語(yǔ)義解釋，并沒有對(duì)盧卡西維茲蘊(yùn)涵進(jìn)行解釋。多值邏輯因?yàn)槿狈χ庇^而受到排斥，但從烏拉姆博弈中找到解釋的事實(shí)說(shuō)明，多值邏輯有不同于二值邏輯的價(jià)值。注釋1霍書全：多值邏輯的思想淵源和產(chǎn)生歷程自然辯證法研究 2008年第11期，第17 - 21頁(yè)；霍書全：多值邏輯的方法和理論 ，科學(xué)出版社，2009,第1 - 16頁(yè)。2 Standleg J Krolikoski，“DoesM any - valued Logic Begin W ith a M istake”，In: International Symposium on M ultiple - Val2 ued Logic （9 th : 197