(完整)高中數(shù)學(xué)人教版必修四常見公式及知識點系統(tǒng)總結(jié)(全),推薦文檔

1、1 必修四常考公式及高頻考點 第一部分三角函數(shù)與三角恒等變換 在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合： 3 | 3 = k 360 +a ,k Z a | k 360 a k 360 +90 ,k Z a | k 360 +90 a k 360 +180 ,k Z a | k 360 +180 a k 360 +270 ,k Z a | k 360 +270 a 1 Jl 2 2 n 、n Z i 千/ 廠“ F / 0 尋 L】 IE T X / / 1 1 4 d 定義域 R R x x k 2k 值域 1,1 1,1 R 當(dāng) x 2k _ k 時，ymax 1 ； 2 當(dāng)x 2k k 時， ymax 1

2、； 最值 RFT 十 曰.-HU /古 r -h 十 曰.十、/古 既尢最大值也無最小值 當(dāng) x 2k k 時，ymin 1 - 2 當(dāng)x 2k k時, ymin 1 - 周期性 2 2 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 2k 2, k 上是增函數(shù)； 2k . k 2 在 2k ,2k k 上是增函數(shù)； 在 k -,k . 2 2 在 2k 2, 3 k 上是減函 2k 一 2 在 2k ,2k k 上是減函 k 上是增函數(shù). 數(shù). 數(shù). 對稱性 對稱中心 k ,0 k 對稱中心 k - ,0 k 2 對稱中心k 2 ,0 k 對稱軸 x k k 2 對稱軸x k k 無對稱軸 考點

3、五 正弦型(y=Asin( w x+ $ )、余弦型函數(shù)(y=Acos( w x+ $ )、正切性函數(shù)(y=Atan( w x + $ )圖像與性質(zhì) 1.解析式求法 (1) y= Asi n( wx+$ ) + B 或 y=Acos( wx+$ ) + B 解析式確定方法 字母 確定途徑 說明 A 由最值確定 . 最大值-最小值 A= 2 4 B 由最值確定 最大值+最小值 B= 2 0) 由函數(shù)的周期確定 相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個周期，最高點 （或 最低點）的橫坐標與相鄰零點差的絕對值為 0.25 個周期 0 由圖象上的特殊點確定 可通過認定特殊點是五點中的第幾個關(guān)鍵點

4、， 過解簡單三角方程確定 然后列方程確定； 也可通 A B通過圖像易求，重點講解 求解思路: 0求解思路: 3求解思路： 利用三角函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系， 解3 .相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半； 相鄰的對稱軸之間的距離是周 期的一半；相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一 2“ 一圖、兩域、四性” “一圖”：學(xué)好三角函數(shù)，圖像是關(guān)鍵。 y sin ftj.r 平樣 縱出標變?yōu)樵瓉淼娜藴?4 . ，上 帥.標不哎 邛=人汛皿命+0（AAC呦0）. 易錯提醒：“左加右減、上加下減”中“左加右減”僅僅針對自變量 例： “兩域”: （1）定義域 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三

5、角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象或數(shù)軸法來求解 值域（最值）： a. 直接法（有界法）：利用 sinx , cosx 的值域 b. 化一法：化為 y=Asin（ 3 x+ 0 ）+k 的形式逐步分析3 x+ 0的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域 （最值） c. 換元法：把 sinx 或 cosx 看作一個整體，化為求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域 （最值）問題. 例： 代入圖像的確定點的坐標 .如帶入最高點（xyj或最低點坐標（x2, y2），貝U x1 2 2k (k Z)或 X2 3_ 2 2k (k Z)，求值. 易錯提醒：y=Asin（ 3 x + ），當(dāng)0，且 x=0

6、時的相位（3 x+ 0 = 0）稱為初如果不滿足 3 0 ,先利用誘導(dǎo)公式 進行變形，使之滿足上述條件，再進行計算 .如 y=-3sin(-2x+60 0）的初相是-60 詞左仔或向右（點協(xié) 11 v = 嗎in r _*亠 fMW匸為原，櫛丄帀 吸唯杯墜為臨來的彳僅 A x，不可針對-x 或 2x等. 5 2 1. y=as inx +bs in x+c 2 2 2. y=as inx +bs in xcosx+ccosx 3. y=（as in x+c）/（bcosx+d）6 4. y=a(sinx cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1) 單調(diào)性 函數(shù) y=Asin( 3

7、x+ $ )(A0, 3 0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由 n 2k n +2 3 x+ $ 0, 3 0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由 2k n 3 x+ $ 0, 3 0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由 規(guī)律總結(jié)：注意3、A 為負數(shù)時的處理技巧. 對稱性 n 函數(shù) y=Asin( 3 x+ $ )的圖象的對稱軸由3 x+ $ = k n + (k Z)解得，對稱中心的橫坐標由3 x+ $ = k n (k Z)解得 n 函數(shù) y=Acos( 3 x+ $ )的圖象的對稱軸由3 x+ $ = k n (k Z)解得，對稱中心的橫坐標由3 x+ $ =k n+三化 Z)解得 函數(shù) y=Atan( 3 x+ $ )的圖象

8、的對稱中心由3 x+ $ = k n (k Z)解得. 奇偶性 n n 2k n -23 x+ $ 2k n+, k Z 解得，單調(diào)遞減區(qū)間由 2k n + n 3 x+ $ 2k n+ 2 n ,k Z 解得，單調(diào)遞減區(qū)間由 n n , / 口 k n -23 x+ $ k n+ , k Z 解牛得,. 規(guī)律總結(jié)：$可以是單個角或多個角的代數(shù)式 .無需區(qū)分 3、A 符號. 函數(shù) y = As in( 3 x R 是奇函？ n $ = k n (k Z)，函數(shù) y = Asin( 3 x+$ ) , x R 是偶函數(shù)？ $ = k n + (k 函數(shù) y = Acos( 3 x R 是奇函？

9、n $ = k n + (k Z);函數(shù) y = Acos( 3x+$ ), x R 是偶函數(shù)？ $= k n (k 函數(shù) y = Atan( 3 x R是奇函數(shù)？ k n $=2(k Z). 規(guī)律總結(jié)：$可以是單個角或多個角的代數(shù)式 .無需區(qū)分3、A 符號 周期性 函數(shù) y = Asin( 3 x+$ )或 y = Acos( 3 x +$ )的最小正周期 2n T= P3 y = Atan( 3 x+$ )的最小正周期 7t 7 考點六常見公式 常見公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用 1. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 sin2 cos2 1 ； tan cos 8 2三角函數(shù)化簡思路：“去

10、負、脫周、化銳” (1) 去負，即負角化正角： sin(-a)=-sina ; cos(-a)=cosa ; tan(-a)=-tana ; (2) 脫周，即將不在(0,2 n)的角化為(0,2 n)的角： sin(2k n +a)=sina ； cos(2k n +a)=cosa ； tan(2k n +a)=-tana ; (3)化銳，即將在(0,2 n)的角化為銳角： 6 組誘導(dǎo)公式 1 sin 2k sin ,cos 2k cos ,tan 2k tan k 2 sin sin ,cos cos ,tan tan 3 sin sin , cos cos ,tan tan 4 sin s

11、in , cos cos , tan tan 5 sin 2 cos ,cos 2 sin 6 sin 2 cos ,cos 2 sin - 口訣：奇變偶不變，符號看象限 均化為“ kn /2 a”，做到“兩觀察、一變”。一觀察：k 是奇數(shù)還是偶數(shù)；二觀察: k 冗/2 a終邊所在象限，再由 k n /2 a 終邊所在象限，確定原函數(shù) 對應(yīng)函數(shù)值的正負 一變：正弦變余弦、余弦變正弦、 正切利用商的關(guān)系變換其中公式(1)也可理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式( 3)也可按照函數(shù)奇偶性理解 2 tan tan 2 2, 1 tan 二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當(dāng) a = 3時的特

12、殊情況 倍角是相對的，如 0.5 a是 0.25 a的倍角，3a是 1.5 a的倍角 5.升降幕公式 cos 2 2 2 cos sin 2cos2 1 2 1 2sin (升冪縮2 1 cos 2 . 2 1 cos 2 cos ,si n -(降幕擴角)， 2 2 6.輔助角公式sin( )sin cos cos sin tan tan tan( ), , 1 mta n tan ；cos( ) cos cos msin sin sin2 sin cos ； cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3兩角和差公式 4.二倍角公式 9 :2 2 b n n asin b

13、cos a b sin( )(輔助角 所在象限由點(a,b)的象限決定,tan ，- -2 2、 cos a 2、 tan a 1、sin a - 2、 cos a -、tan Z . 14.三角形中三角函數(shù)關(guān)系 a 2i 考點二 向量的線性運算 1. 向量的加法法則 （1） 平行四邊形法則：共起點，指向?qū)蔷€；起點相同、終點相同，首尾相連、路徑不限 （2） 三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬” 2. 向量的減法原則：起點相同、指向被減 兩個向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、相加為零 3. 向量的數(shù)乘運算 實數(shù) 與向量a的積叫做向量的數(shù)乘，記作 a 其幾何意義就是將表示

14、向量 a 的有向線段伸長或壓縮 (1) I a | na （2）當(dāng) o時，a的方向與a的方向相同；當(dāng) o時，a的方向與a的方向相反；當(dāng) o時，a o 4. a 與 b 的數(shù)量積運算 a b=| a|b|cos 0 =|a|b|cos=x 必+丫 （1） |a|cos 叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos 叫做 b 在 a 方向上的投影 2 (a+b)= 1 OC , 1 (a-b)= 2 BA OA OB OC OA OB BA 第二部分平面向量 13 （2） a b的幾何意義：a b等于|a|與|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘積14 (3) 0為 a 與 b 的夾角，0 0

15、n (4) 零向量與任一向量的數(shù)量積為 0 (5) a b=- b a (6) 向量沒有除法，“a /b”沒有意義，注意與復(fù)數(shù)運算的區(qū)別 B (7)向量的加法、減法、數(shù)乘結(jié)果為向量，向量的數(shù)量積結(jié)果為實數(shù) 易錯提醒： 向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別： (1) 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即： (a?b)?c 左?:b?c) (2) 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a ?c (a 老)，推不出 b=c (3) 由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b (4) |a?bTa|?b| 考點三 向量的運算律 1. 實數(shù)與向量的積的運算律 設(shè)入、卩為實數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：入(a)=

16、(入口 )a; (2) 第一分配律：(入)a=入 a+ i a; 第二分配律：入(a+b)=入 a+入 b. 2. 向量的數(shù)量積的運算律： (1) a b= b a (交換律)； (2) ( a) b= (a b) = a b= a ( b) (3) (a+b) c= a c +b c. 考點四 向量的坐標表示及坐標運算 1.平面向量基本定理 如果 e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入 1、入2,使得 a= 入1e 計入2e2.不共線的向量(隱含另一條件為非零向量，基底不唯一) e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 該定理作用：證

17、明三點共線、兩直線平行或兩個向量 a、b 共線. 解題思路：可用兩個不共線的向量 e1、e2表示向量 a、b,設(shè) b=入 a (a*0),化成關(guān)于 e1、e 2的方程，即 f(入)e1+g(入) e2=0,由于 e1、e 2不共線，則 f(入)=0 , g(入)=0 2. 向量的坐標表示 i , j 是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù) x, y,使得 a xi y j，稱(x, y)為向量 a的坐標，記作：a x, y，即為向量的坐標表示 ii (1)設(shè) a=(X1,yJ ,b=(X2, y2)，則 a+b=(X1 X2,y1 y)16 3. A(x i,yi)、B(X2,y 2)、

18、C(X3,y 3)三點共線 (x i-x 2)(y 2-y 3)= (x 2-x 3) (y i-y 2)等X Xi X2 Xi X2 X i ，P 為 PiP2中點時， 2 yi y yi y2 y y i 2 如： ABC，A Xi，yi，B X2，y2， C x y 貝 U ABC 重心 G 的坐標是 X3， y3 2.三角形五 心向量形式的充要條件 Pi P2所成的比（ 0, P 在線段 RP2內(nèi), 0，P 在 PiP2 外），且 (1) 0為 (2) 0 為 (3) 0 為 (4) 0 為 (5) 0 為 設(shè) a=(xi,yj ,b=(X2, y2)，則 a-b=(捲 x?/ y?)

19、 設(shè) a= (x1, y1) ,b= (x2, y2)，則 a b=| a|b|cos 0 =x 1x2+yiy? uun (5)設(shè) uuu urn OB OA (X2 My yi) (6) |AB 1 . x2 xi 2 y 2 y i A、B兩點間距離公式 易錯提醒： 公式（2）與公式（5）的區(qū)別 向量坐標與該向量有向線段的端點無關(guān)，僅與其相對位置有關(guān) 考點四 向量的常見公式 i.線段的定比分公式 ULUr ULLT （i）定比分點向量公式：設(shè) R（x,yi），卩:化必），P（x,y）是線段RP?的分點，是實數(shù)，且RP PR,，貝卩 的 x 為 X2 mu uu坐標是 xi xyi y2

20、，即 i UUL 0P 0R 0P2 i i y yi i y2 i uuuuur uu(t i i 0P t0Pi (i t)0B -). 設(shè) Pi Xi, yi , P2 X2, y，分點 Px, y ,設(shè) Pi、 P2是直線 l 上兩點，P 點在 l 上且不同于 R、P2，若存在一實數(shù) ，使 PiP PP2，則 叫做 P 分有向線段 UU UUW2 ULUr 2 ABC的外心 0A 0B 0C . ABC的重心 UUU 0A UUU UUUT r 0B 0C 0. UUU uuu uuu uuur uuu UABC的垂心 0A 0B 0B 0C 0C 0 UUU 11r ABC的內(nèi)心 a

21、0b0B c0C 0. uuu uuu uuur ABC的 A的旁心 a0A b0B c0C 0C=X 0A +0B ,且入 + 卩=i （2） 定比分點坐標公式: 設(shè)0為ABC所在平面上一點，角 A,B,C所對邊長分別為a,b,c，則 ii 4. 向量的三角形不等式和方程 (1) 11 al - I b I I 1 a+b I I a I + I bl 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 反向時，左邊取等號； 當(dāng)且僅當(dāng) a、b 同向時，右邊取等號 (2) II a I - I b I I I a-b I 0 推不出 a 與 b 的夾角為銳角，可能為 0; a b0 推不出 a 與 b的夾角為鈍角，可能為 180 6“按向量平移”的幾個結(jié)論 (1)點P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到點P(X h, y k). 函數(shù)y f (x)的圖象C按