高三數(shù)學專項精析精煉2010年考點29離散型隨機變量及其分布列、二項分布及其應用、離散型隨機變量的均值與方

1、1 二項分布及其應用、離散型隨機變量的均值與方差1 （ 2010海南寧夏高考理科t6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9 ，現(xiàn)播種了1000 粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2 粒，補種的種子數(shù)記為x，則x的數(shù)學期望為（）（a）100 （b）200 （c）300 （d）400 【命題立意】 本題主要考查了二項分布的期望的公式. 【思路點撥】 通過題意得出補種的種子數(shù)服從二項分布. 【規(guī)范解答】 選 . 由題意可知， 補種的種子數(shù)記為x， 服從二項分布， 即(1000,0.2)xb，所以x的數(shù)學期望10000.2200ex. 2 （2010 山東高考理科 5）已知隨機變量服從正態(tài)分布2n(0,

2、), 若p( 2)=0.023,則p(-22)=（）(a)0.477 (b)0.628 (c)0.954 (d)0.977 【命題立意】 本題考查正態(tài)分布的基礎知識, 考查考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】 先由服從正態(tài)分布2n(0,)得出正態(tài)曲線關于直線x=0對稱 , 于是得到(p(2)p與(p2)的關系，最后進行求解. 【規(guī)范解答】選 c.因為隨機變量服從正態(tài)分布2n(0,), 所以正態(tài)曲線關于直線x=0對稱,又p( 2)=0.023,所以p(1-20.954, 故選 c. 3 （ 2010江蘇高考22）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80% ，二等品率為 20%

3、 ；乙產(chǎn)品的一等品率為90% ，二等品率為10%.生產(chǎn) 1 件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤 4 萬元，若是二等品則虧損1 萬元；生產(chǎn) 1 件乙產(chǎn)品， 若是一等品則獲得利潤6 萬元，若是二等品則虧損2 萬元 . 設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立. （1）記 x （單位：萬元）為生產(chǎn)1 件甲產(chǎn)品和1 件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求x的分布列；（2）求生產(chǎn)4 件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10 萬元的概率 . 【命題立意】 本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力. 【思路點撥】 利用獨立事件的概率公式求解. 2 【規(guī)范解答】 （1）由題設知，x的可能取值為10，5，2，-3，且 p（x=10）=0.8 0.9=

4、0.72 ， p（x=5）=0.2 0.9=0.18 ， p（x=2）=0.8 0.1=0.08 ， p（x=-3）=0.2 0.1=0.02. 由此得 x的分布列為：x 10 5 2 -3 p 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）設生產(chǎn)的4 件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4n件. 由題設知4(4)10nn，解得145n，又nn，得3n或4n. 所求概率為33440.80.20.80.8192pc.答：生產(chǎn) 4 件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10 萬元的概率為0.8192. 4 （ 2010安徽高考理科21）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相

5、同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試. 根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分. 現(xiàn)設4n，分別以1234,a a a a表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令12341234xaaaa，則x是對兩次排序的偏離程度的一種描述. (1)寫出x的可能值集合；(2) 假設1234,a aa a等可能地為1,2,3,4的各種排列，求x的分布列；(3) 某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有2x，試按 (2) 中的結果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測

6、試相互獨立）；你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由. 【命題立意】 本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，考查考生的計數(shù)能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的應用意識和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】 用列表或樹形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況，計算每一種排列下的x值，3 即可得出其分布列及相關事件的概率. 【規(guī)范解答】 （i ）x的可能值的集合為0,2,4,6,8.（ii ）1,2,3,4的排列共24 種，在等可能的假定下，計算每種排列下的x值，得到x0 2 4 6 8 p124324724924424（iii） （i ）1(2)(0)(2),6p xp xp x2,xp將三輪測試都

7、有的概率記作由獨立性假設可得：1111666216p（ii ）由于152161000p是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有x2x的結果的可能性很小，所以可以認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能, 不是靠隨機猜測. 5 （ 2010浙江高考理科19）如圖，一個小球從m處投入，通過管道自上而下落到a或b或c.已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到a，b，c，則分別設為l ，2，3 等獎(1) 已知獲得l ， 2，3 等獎的折扣率分別為50， 70， 90記隨機變量為獲得k(k=1,2,3) 等獎的折扣率，求隨機變量的

8、分布列及期望e；(2) 若有 3人次 ( 投入 l 球為 l 人次 ) 參加促銷活動，記隨機變量為獲得1 等獎或 2 等獎的人次，求)2(p【命題立意】 本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望、 二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識. 【思路點撥】（ 1）求分布列時， 要先找出從m出發(fā)到相應的位置有幾種路，然后再用獨立事件的乘法公式. 4 如從 m到 a有兩種路， 所以34113()( )( )2216p a； （2）第（2）題是一個二項分布問題. 【規(guī)范解答】 ( )由題意得 的分布列為507090p 31638716則 =31650 +3870+7169

9、0=34. （）由 ( ) 可知，獲得1 等獎或 2 等獎的概率為316+38=916. 由題意得 b（3，916）則 p（=2）=23c(916)2(1-916)=17014096. 【方法技巧】 1. 獨立事件的概率滿足乘法公式，互斥事件的概率滿足加法公式；2.n 次獨立重復試驗是一個很重要的試驗，要注意在實際問題中的應用. 6 （2010北京高考理科 7）某同學參加3門課程的考試. 假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為45，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(pq) ，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立. 記 為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0 1 2 3 p612

10、5ad24125( ) 求該生至少有1 門課程取得優(yōu)秀成績的概率；( ) 求p，q的值；( ) 求數(shù)學期望e. 【命題立意】 本題考查了對立事件、獨立事件的概率及期望的求法. 【思路點撥】 （1） “至少”問題一般用對立事件求概率方便. （2）利用獨立事件分別求出0,3時的概率，聯(lián)立方程解出,p q的值 .（3）求出,a d，代入期望公式即可. 【規(guī)范解答】 事件ia表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績” ，i=1,2,3 ，由題意知14()5p a，2()p ap，3()p aq（i ）由于事件“該生至少有1 門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“0”是對立的，所以該生至少有1 門課程取得優(yōu)秀成績的概率是

11、61191(0)1125125p，5 （ii ）由題意知12316(0)()(1)(1)5125pp a a apq123424(3)()5125pp a a apq整理得625pq，1pq由pq，可得35p，25q. （iii）由題意知123123123(1)()()()app a a ap a a ap a a a =432132132(1)(1)(1)(1)55555555537125 d(2)1(0)(1)(3)bpppp=63724112512512558125( )0(0)1(1)2(2)3(3)epppp =6375824012312512512512595. 【方法技巧】 （1

12、） “至少”“至多”問題，一般采用對立事件求概率較容易；（2）事件 a與 b獨立，則()() ()p abp a p b. 7 （ 2010福建高考理科16）設 s是不等式260 xx的解集， m ，ns. （ i ）記“使得m + n = 0 成立的有序數(shù)組（m , n ）”為事件a ，試列舉a包含的基本事件；（ ii ）設2m，求的分布列及其數(shù)學期望e. 【命題立意】 本題考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉化思想. 【思路點撥】 第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合s ，進而求出a所包含的基本事件；第二步求出m的可

13、能取值，再求出的可能取值，計算出所對應的概率，畫出分布列，求出數(shù)學期望. 【規(guī)范解答】 （i ）320)2)(3(xxx，則 3 ,2, 1 ,0, 1, 2,nm6 由0nm有0022221111nmnmnmnmnm或或或或，因此 a包含的基本事件為：)0,0(),2 ,2(),2,2(),1 , 1(),1, 1(；（ii ）m的可能取值為3 ,2, 1 , 0, 1,2，則2m的可能取值為9 ,4, 1 ,061)9()0(22mpmp，3162)4()1(22mpmp因此2m的分布列為：所以其數(shù)學期望為6192335233431e【方法技巧】 有關概率統(tǒng)計的問題，利用枚舉法求解越來越常

14、見，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序數(shù)組（m ，n），坐標的位置是有序的，如（1,2 ）和（2,1 ）是不同的情況， 不能當成同一種. 因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易. 8 （2010山東高考理科20）某學校舉行知識競賽, 第一輪選拔共設有,a b c d四個問題，規(guī)則如下：每位參加者計分器的初始分均為10 分，答對問題,a b c d分別加 1 分、 2 分、 3分、6 分，答錯任一題減2 分；每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8 分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或

15、等于14 分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14 分時，答題結束，淘汰出局；每位參加者按問題,a b c d順序作答，直至答題結束. 假設甲同學對問題,a b c d回答正確的概率依次為3 1 1 1,4 2 3 4，且各題回答正確與否相互之間沒有影響 . (1) 求甲同學能進入下一輪的概率；2m0 1 4 9 )(2mp613131617 （2）用表示甲同學本輪答題結束時答題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望e. 【命題立意】 本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查了離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望的知識，考查了考生利用所學知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】 (1)

16、甲能進入下一輪有以下幾種情形：前三個問題回答正確；第一個問題回答錯誤，后三個問題回答正確；只有第二個問題回答錯誤；只有第三個問題回答錯誤；第一、三錯誤，第二、四正確. (2)隨機變量的可能取值為2，3，4. 【規(guī)范解答】 用(1,2,3,4)im i表示甲同學第i個問題回答正確，用(1,2,3,4)in i表示甲同學第i個問題回答錯誤. 則im與in(1,2,3,4)i互為對立事件，由題意得p(m1)13,4pmp(m2)21,2pm p(m3)31,3pm p(m4)41,4pm所以 p(n1)11,4pn p(n2)21,2pn p(n3)32.3pn(1)記“甲同學能進入下一輪”為事件q

17、 ，q=123m m m+1234n m m m+1234m n m m+1234m m n m+1234n m n m，由于每題答題結果相互獨立，因此p(q)= p(123m m m+1234n m m m+1234m n m m+1234m m n m+1234n m n m) =123()p m m m+1234()p n m m m+1234()p m n m m+1234()p m m n m+1234()p n m n m=311423+11114234+31114234+31214234+11214234=14.（2）由題意，隨機變量的可能取值為2，3，4，由于每題答題結果相互獨

18、立，因此p(1212111(2)()()();428pp n np np np(=3) =p(m1m2m3)+ p(m1n2n3)123123123123(3)()()()() ()()() ()3113123;4234238pp m m mp m n np mp mp mp mp np np(=4) =1- p(=2)-p(=3)=1-181882所以的分布列為2 3 4 8 ( )p183812數(shù)學期望e=128+338+412=278. 9. （2010天津高考理科8）某射手每次射擊擊中目標的概率是23，且各次射擊的結果互不影響 . （1）假設這名射手射擊5 次，求恰有2 次擊中目標的概率；（2）假設這名射手射擊5 次，求有 3 次連續(xù)擊中目標，另外2 次未擊中目標的概率；（3）假設這名射手射擊3 次，每次射擊，擊中目標得1 分，未擊中目標得0 分，在 3 次射擊中，若有2 次連續(xù)擊中，而另外1 次未擊中，則額外加1 分；若 3 次全擊中，則額外加3