高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)精析精煉2010年考點(diǎn)29離散型隨機(jī)變量及其分布列、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量的均值與方

1、1 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1 （ 2010海南寧夏高考理科t6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9 ，現(xiàn)播種了1000 粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2 粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為x，則x的數(shù)學(xué)期望為（）（a）100 （b）200 （c）300 （d）400 【命題立意】 本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望的公式. 【思路點(diǎn)撥】 通過(guò)題意得出補(bǔ)種的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布. 【規(guī)范解答】 選 . 由題意可知， 補(bǔ)種的種子數(shù)記為x， 服從二項(xiàng)分布， 即(1000,0.2)xb，所以x的數(shù)學(xué)期望10000.2200ex. 2 （2010 山東高考理科 5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布2n(0,

2、), 若p( 2)=0.023,則p(-22)=（）(a)0.477 (b)0.628 (c)0.954 (d)0.977 【命題立意】 本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識(shí), 考查考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】 先由服從正態(tài)分布2n(0,)得出正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱 , 于是得到(p(2)p與(p2)的關(guān)系，最后進(jìn)行求解. 【規(guī)范解答】選 c.因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布2n(0,), 所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱,又p( 2)=0.023,所以p(1-20.954, 故選 c. 3 （ 2010江蘇高考22）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80% ，二等品率為 20%

3、 ；乙產(chǎn)品的一等品率為90% ，二等品率為10%.生產(chǎn) 1 件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn) 4 萬(wàn)元，若是二等品則虧損1 萬(wàn)元；生產(chǎn) 1 件乙產(chǎn)品， 若是一等品則獲得利潤(rùn)6 萬(wàn)元，若是二等品則虧損2 萬(wàn)元 . 設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立. （1）記 x （單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1 件甲產(chǎn)品和1 件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求x的分布列；（2）求生產(chǎn)4 件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10 萬(wàn)元的概率 . 【命題立意】 本題主要考查概率的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】 利用獨(dú)立事件的概率公式求解. 2 【規(guī)范解答】 （1）由題設(shè)知，x的可能取值為10，5，2，-3，且 p（x=10）=0.8 0.9=

4、0.72 ， p（x=5）=0.2 0.9=0.18 ， p（x=2）=0.8 0.1=0.08 ， p（x=-3）=0.2 0.1=0.02. 由此得 x的分布列為：x 10 5 2 -3 p 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）設(shè)生產(chǎn)的4 件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4n件. 由題設(shè)知4(4)10nn，解得145n，又nn，得3n或4n. 所求概率為33440.80.20.80.8192pc.答：生產(chǎn) 4 件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10 萬(wàn)元的概率為0.8192. 4 （ 2010安徽高考理科21）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相

5、同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試. 根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分. 現(xiàn)設(shè)4n，分別以1234,a a a a表示第一次排序時(shí)被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令12341234xaaaa，則x是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述. (1)寫(xiě)出x的可能值集合；(2) 假設(shè)1234,a aa a等可能地為1,2,3,4的各種排列，求x的分布列；(3) 某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有2x，試按 (2) 中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)

6、試相互獨(dú)立）；你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說(shuō)明理由. 【命題立意】 本題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，考查考生的計(jì)數(shù)能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 【思路點(diǎn)撥】 用列表或樹(shù)形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況，計(jì)算每一種排列下的x值，3 即可得出其分布列及相關(guān)事件的概率. 【規(guī)范解答】 （i ）x的可能值的集合為0,2,4,6,8.（ii ）1,2,3,4的排列共24 種，在等可能的假定下，計(jì)算每種排列下的x值，得到x0 2 4 6 8 p124324724924424（iii） （i ）1(2)(0)(2),6p xp xp x2,xp將三輪測(cè)試都

7、有的概率記作由獨(dú)立性假設(shè)可得：1111666216p（ii ）由于152161000p是一個(gè)很小的概率，這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有x2x的結(jié)果的可能性很小，所以可以認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的味覺(jué)鑒別功能, 不是靠隨機(jī)猜測(cè). 5 （ 2010浙江高考理科19）如圖，一個(gè)小球從m處投入，通過(guò)管道自上而下落到a或b或c.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到a，b，c，則分別設(shè)為l ，2，3 等獎(jiǎng)(1) 已知獲得l ， 2，3 等獎(jiǎng)的折扣率分別為50， 70， 90記隨機(jī)變量為獲得k(k=1,2,3) 等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量的

8、分布列及期望e；(2) 若有 3人次 ( 投入 l 球?yàn)?l 人次 ) 參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得1 等獎(jiǎng)或 2 等獎(jiǎng)的人次，求)2(p【命題立意】 本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、 二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí). 【思路點(diǎn)撥】（ 1）求分布列時(shí)， 要先找出從m出發(fā)到相應(yīng)的位置有幾種路，然后再用獨(dú)立事件的乘法公式. 4 如從 m到 a有兩種路， 所以34113()( )( )2216p a； （2）第（2）題是一個(gè)二項(xiàng)分布問(wèn)題. 【規(guī)范解答】 ( )由題意得 的分布列為507090p 31638716則 =31650 +3870+7169

9、0=34. （）由 ( ) 可知，獲得1 等獎(jiǎng)或 2 等獎(jiǎng)的概率為316+38=916. 由題意得 b（3，916）則 p（=2）=23c(916)2(1-916)=17014096. 【方法技巧】 1. 獨(dú)立事件的概率滿足乘法公式，互斥事件的概率滿足加法公式；2.n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是一個(gè)很重要的試驗(yàn)，要注意在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 6 （2010北京高考理科 7）某同學(xué)參加3門(mén)課程的考試. 假設(shè)該同學(xué)第一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為45，第二、第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p，q(pq) ，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立. 記 為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為0 1 2 3 p612

10、5ad24125( ) 求該生至少有1 門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；( ) 求p，q的值；( ) 求數(shù)學(xué)期望e. 【命題立意】 本題考查了對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率及期望的求法. 【思路點(diǎn)撥】 （1） “至少”問(wèn)題一般用對(duì)立事件求概率方便. （2）利用獨(dú)立事件分別求出0,3時(shí)的概率，聯(lián)立方程解出,p q的值 .（3）求出,a d，代入期望公式即可. 【規(guī)范解答】 事件ia表示“該生第i門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)” ，i=1,2,3 ，由題意知14()5p a，2()p ap，3()p aq（i ）由于事件“該生至少有1 門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)”與事件“0”是對(duì)立的，所以該生至少有1 門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是

11、61191(0)1125125p，5 （ii ）由題意知12316(0)()(1)(1)5125pp a a apq123424(3)()5125pp a a apq整理得625pq，1pq由pq，可得35p，25q. （iii）由題意知123123123(1)()()()app a a ap a a ap a a a =432132132(1)(1)(1)(1)55555555537125 d(2)1(0)(1)(3)bpppp=63724112512512558125( )0(0)1(1)2(2)3(3)epppp =6375824012312512512512595. 【方法技巧】 （1

12、） “至少”“至多”問(wèn)題，一般采用對(duì)立事件求概率較容易；（2）事件 a與 b獨(dú)立，則()() ()p abp a p b. 7 （ 2010福建高考理科16）設(shè) s是不等式260 xx的解集， m ，ns. （ i ）記“使得m + n = 0 成立的有序數(shù)組（m , n ）”為事件a ，試列舉a包含的基本事件；（ ii ）設(shè)2m，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望e. 【命題立意】 本題考查概率與統(tǒng)計(jì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【思路點(diǎn)撥】 第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合s ，進(jìn)而求出a所包含的基本事件；第二步求出m的可

13、能取值，再求出的可能取值，計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的概率，畫(huà)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望. 【規(guī)范解答】 （i ）320)2)(3(xxx，則 3 ,2, 1 ,0, 1, 2,nm6 由0nm有0022221111nmnmnmnmnm或或或或，因此 a包含的基本事件為：)0,0(),2 ,2(),2,2(),1 , 1(),1, 1(；（ii ）m的可能取值為3 ,2, 1 , 0, 1,2，則2m的可能取值為9 ,4, 1 ,061)9()0(22mpmp，3162)4()1(22mpmp因此2m的分布列為：所以其數(shù)學(xué)期望為6192335233431e【方法技巧】 有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，利用枚舉法求解越來(lái)越常

14、見(jiàn)，枚舉時(shí)一定要考慮全面，漏解是最常見(jiàn)的錯(cuò)誤，如本題要求的是有序數(shù)組（m ，n），坐標(biāo)的位置是有序的，如（1,2 ）和（2,1 ）是不同的情況， 不能當(dāng)成同一種. 因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來(lái)越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易. 8 （2010山東高考理科20）某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽, 第一輪選拔共設(shè)有,a b c d四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：每位參加者計(jì)分器的初始分均為10 分，答對(duì)問(wèn)題,a b c d分別加 1 分、 2 分、 3分、6 分，答錯(cuò)任一題減2 分；每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8 分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或

15、等于14 分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14 分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；每位參加者按問(wèn)題,a b c d順序作答，直至答題結(jié)束. 假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題,a b c d回答正確的概率依次為3 1 1 1,4 2 3 4，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響 . (1) 求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；2m0 1 4 9 )(2mp613131617 （2）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望e. 【命題立意】 本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的知識(shí)，考查了考生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 【思路點(diǎn)撥】 (1)

16、甲能進(jìn)入下一輪有以下幾種情形：前三個(gè)問(wèn)題回答正確；第一個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，后三個(gè)問(wèn)題回答正確；只有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤；只有第三個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤；第一、三錯(cuò)誤，第二、四正確. (2)隨機(jī)變量的可能取值為2，3，4. 【規(guī)范解答】 用(1,2,3,4)im i表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確，用(1,2,3,4)in i表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤. 則im與in(1,2,3,4)i互為對(duì)立事件，由題意得p(m1)13,4pmp(m2)21,2pm p(m3)31,3pm p(m4)41,4pm所以 p(n1)11,4pn p(n2)21,2pn p(n3)32.3pn(1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件q

17、 ，q=123m m m+1234n m m m+1234m n m m+1234m m n m+1234n m n m，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，因此p(q)= p(123m m m+1234n m m m+1234m n m m+1234m m n m+1234n m n m) =123()p m m m+1234()p n m m m+1234()p m n m m+1234()p m m n m+1234()p n m n m=311423+11114234+31114234+31214234+11214234=14.（2）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為2，3，4，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)

18、立，因此p(1212111(2)()()();428pp n np np np(=3) =p(m1m2m3)+ p(m1n2n3)123123123123(3)()()()() ()()() ()3113123;4234238pp m m mp m n np mp mp mp mp np np(=4) =1- p(=2)-p(=3)=1-181882所以的分布列為2 3 4 8 ( )p183812數(shù)學(xué)期望e=128+338+412=278. 9. （2010天津高考理科8）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是23，且各次射擊的結(jié)果互不影響 . （1）假設(shè)這名射手射擊5 次，求恰有2 次擊中目標(biāo)的概率；（2）假設(shè)這名射手射擊5 次，求有 3 次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2 次未擊中目標(biāo)的概率；（3）假設(shè)這名射手射擊3 次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1 分，未擊中目標(biāo)得0 分，在 3 次射擊中，若有2 次連續(xù)擊中，而另外1 次未擊中，則額外加1 分；若 3 次全擊中，則額外加3