(完整word)高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點(diǎn)整理,推薦文檔

1、 1 1 數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系: an S （n 1）注意通項(xiàng)能否合并。 Sn & i,（n 2）. 2 2、等差數(shù)列： 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)， 即an - an 1 =d =d ， (n n2 2, n n N N ), 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。 等差中項(xiàng)：若三數(shù) a、A b成等差數(shù)列 或an pn q（p、q是常數(shù)） 前n項(xiàng)和公式： n n 1 Sn n d 2 常用性質(zhì)： 若 m n p q m,n, p,q N ，貝 U U am an ap aq ； 下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng) ak,ak m,ak 2m,，仍組成等差數(shù)

2、列； 數(shù)列 an b （ ,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列； 若an、0是等差數(shù)列，則kan、kan pbn （k、p是非零常數(shù)）、 ap nq（ p,q N ）、，也成等差數(shù)列。 單調(diào)性： an 的公差為d，則： i) d 0 an為遞增數(shù)列； ii) d 0 an為遞減數(shù)列； iii) d 0 an為常數(shù)列； 數(shù)列a 為等差數(shù)列 an pn q （ p,qp,q 是常數(shù)） 若等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn ,則Sk、S2k Sk、S3k S2k 是等差數(shù)列。 3 3、等比數(shù)列 定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)， 那么這個(gè)數(shù) 列就叫做等比數(shù)列。 等比中項(xiàng)：若三

3、數(shù)a、Gb成等比數(shù)列 G2 ab, （ ab同號）。反之不一定成立。數(shù)列 通項(xiàng)公式：an a1 (n 1)d am (n m)d n a-i an 2 通項(xiàng)公式：an n 1 n m ag amq 前n項(xiàng)和公式： a1 1 qn Si 1 q a1 anq 1 q 常用性質(zhì) 若m n p q m,n, p,q N , 則 am an a p aq ； ak，ak m，ak 2m ,為等比數(shù)列， 公比為 qk （下標(biāo)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列） 數(shù)列 an （為不等于零的常數(shù)）仍是公比為 q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列 an ；則 lg an是公差為lg q的等差數(shù)列； 若an是等比數(shù)列，則

4、can , an2 , anr （r Z）是等比數(shù)列，公比依次是 單調(diào)性： ai 0,q 1或印 0,0 q 1 a“為遞增數(shù)列； ai 0,0 q 1 或 q 0,q 1 a.為遞減數(shù)列； q 1 an為常數(shù)列； q 0 an為擺動(dòng)數(shù)列； 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。 若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ,則Sk、S2k Sk、S3k S2k 是等比數(shù)列 4 4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 類型I I 觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析， 尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。 類型n I公式法：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列 a

5、n的通項(xiàng)an可用 公式 an （n 構(gòu)造兩式作差求解。 & S.1,5 2） 用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二” ，即分段式；另一種是“合二 為一”，即印和an合為一個(gè)表達(dá)， （要先分n 1和n 2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn) 證能否統(tǒng)一）。 類型川| 累加法： 2 1 q， q q， 形如an 1 an f（n）型的遞推數(shù)列（其中f（n）是關(guān)于n的函數(shù)）可 構(gòu)造： an 4 1 f(n 1) an 1 an 2 f(n 2) a2 ai f (1) 將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得: an f(n 1) f(n 2) .f(2) f(1) a(n 2) 若f(n)

6、是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和 若f (n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和 . . 類型W | 累乘法： a 形如an 1 an f(n) 口 f(n)型的遞推數(shù)列(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu) 亙 f (n 1) an 1 造: an1 f(n 2) an 2 亞 f(1) a1 將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相乘，可得: an f(n 1) f(n 2) . f(2) f(1)a1,( n 2) 有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。 類型v |

7、 構(gòu)造數(shù)列法： 形如 an 1 pan q (其中 p, q均為常數(shù)且 p 0) 型的遞推式： (1 1 )若P 1時(shí)，數(shù)列 an為等差數(shù)列； (2) 若q 0時(shí)，數(shù)列 an為等比數(shù)列； (3) _ 若p 1且q 0時(shí)，數(shù)列 an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造 _ 比數(shù)列來求. .方法有如下兩種： 法一：設(shè)an 1 p(an ), ,展開移項(xiàng)整理得an 1 pan ( p 1), ,與題設(shè)an 1 pan q比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得 為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. .再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公 p 1 式求出 an 旦的通項(xiàng)整理可得 an. p 1 a a 法二：由an 1 pan q

8、得an pan 1 q(n 2)兩式相減并整理得 丄1 n p,即 an an 1 an 1 an構(gòu)成以a2印為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列. .求出an 1 an的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化 為類型川(累加法) 便可求出an. 形如 an 1 pan f(n)(p 1)型的遞推式： 當(dāng)f (n)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)： 法一：設(shè)an An B p an 1 A(n 1) B，通過待定系數(shù)法確定 A、B的值，轉(zhuǎn) 化成以a1 A B為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列 an An B，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng) 公式求出 an An B的通項(xiàng)整理可得an. 法二： 當(dāng)f(n)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an 1 pan

9、f(n), an pan 1 f (n 1)兩式相減得：an 1 a“ bn pbn 1 d轉(zhuǎn)化為類型V求出bn ,再用類型川(累加法) 便可求出an. 當(dāng)f (n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)： 法一：設(shè)an f(n) p an 1 f (n 1),通過待定系數(shù)法確定 的值，轉(zhuǎn)化成以 a1 f(1)為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列 an f(n)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求 出an f(n)的通項(xiàng)整理可得an. 法二：當(dāng)f(n)的公比為q時(shí)，由遞推式得：an 1 pan f(n) - ， an pan 1 f (n 1),兩邊同時(shí)乘以q得a.q pqa“ 1 qf (n 1)，由兩式相,(p

10、0) an 1 p(an an p(am壽即 an 構(gòu)成以a1 p 1 p(an an 1) d，令 bn an 1 an得: 減得an 1 anq p（an qan 1），即qan p，在轉(zhuǎn)化為類型V便可求出a*. an qan 1 法三：遞推公式為a* 1 pan qn （其中 p p, q q 均為常數(shù)）或a* 1 pa* rqn （其中 p p, q, rq, r 均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊冋時(shí)除以 n 1 an 1 q ，得： n1 q p ? an 1 n q q引入輔助數(shù)列bn （其中bn冷），得： bn 1 bn 1 -再應(yīng)用類型VP 的方法解決。 q q q 當(dāng)f （

11、n）為任意數(shù)列時(shí)，可用 通法： 在an 1 pan f（n）兩邊同時(shí)除以pn 1可得到an 1 an f(n)令 n n 1 ，令 6 ,則 p p p p bn 1 bn ，在轉(zhuǎn)化為 類型川（累加法），求出bi之后得an p bn. . p 類型 對數(shù)變換法： 形如 an 1 paq( p 0,an 0)型的遞推式 在原遞推式an 1 paq兩邊取對數(shù)得Igan1 qlgan lg p，令bn lg an 得： bn 1 qbn lg p，化歸為 an 1 pan q 型，求出bn之后得an 10bn （注意：底數(shù)不一 定要取 1010, 可根據(jù)題意選擇）。 類型四 倒數(shù)變換法： 形如 an

12、 1 an pan 1an ( p為常數(shù)且p 0 ）的遞推式：兩邊同除于 an 1an，轉(zhuǎn)化為 1 1 p形式，化歸為an 1 pan q型求出丄的表達(dá)式，再求 an ； an an 1 an 還有形如 a a , man的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成 丄 印丄 m形式，化歸 n 1 papan q q a an 1 q aq an p p 為an 1 pan q型求出 丄的表達(dá)式，再求an. . an 類型忸| 形如an 2 pan 1 qan型的遞推式： 用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)歹U an an 1的形式求解。方法為設(shè) an 2 kan 1 h（an 1 kan），比較系數(shù)得h k p

13、, hk q，可解得h、k ,于是1 (2n 1)(2 n 1) 1 1 1 2(2 n 1 2n 1) 呼1 cnm an 1 kan是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為 a. 1 總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方 法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式 an. 5 5、非等差、等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的求法 錯(cuò)位相減法 若數(shù)列 an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列an bn的求和就要采用此法 將數(shù)列 an 0 的每一項(xiàng)分別乘以 bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列 an bn的前n項(xiàng)和 此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法 裂項(xiàng)相消法 (a,bi,b2,c為常數(shù))時(shí)，往往可將 (an bj(an b2) an變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和 可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)： 設(shè)an ，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得 an b an b2 ，從而可得 常見的拆項(xiàng)公式有: n(n 1) n n! (n 1)! n!. 分組法求和 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾 個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 一般分兩步：找通向項(xiàng)公 pan q 型。 般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) an (an 0)(a n b