14知識(shí)講解_提高_(dá)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；2. 理解等差數(shù)列的性質(zhì)，并會(huì)用性質(zhì)靈活解決問題；體會(huì)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系的聯(lián)系，能用二次函數(shù)的知識(shí)解決數(shù)列問題3. 能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題【學(xué)習(xí)策略】n項(xiàng)和公式數(shù)列是特殊的函數(shù)，類比一次函數(shù)、二次函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 的性質(zhì)特點(diǎn)。注意方程思想的應(yīng)用：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及 印、n、d、an、Sn五個(gè)量, 已知其中任意三個(gè)量，通過解方程或者方程組，便可求出其

2、余兩個(gè)量?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等差數(shù)列的定義文字語言形式一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。要點(diǎn)詮釋：公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)d （即公差）；符號(hào)語言形式對(duì)于數(shù)列an，若an an i d（n N，n 2,d為常數(shù)）或 a. i an d （n N ，d為常數(shù)），則此 數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù) d叫做等差數(shù)列的公差。要點(diǎn)詮釋：定義中要求 同一個(gè)常數(shù)d ”，必須與n無關(guān)。等差中項(xiàng)如果a , A,b成等

3、差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即 A要點(diǎn)詮釋：a，b的等差中項(xiàng)存在且唯一 兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。任意兩實(shí)數(shù) 三個(gè)數(shù)a ,A,b成等差數(shù)列的充要條件是要點(diǎn)二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為ai，公差為d的等差數(shù)列a.的通項(xiàng)公式為:an a1 (n 1)d (n N )推導(dǎo)過程：(1 )歸納法：anai(n1)d當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立歸納得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:ana1(n 1)d ( n N )。(2 )疊加法:根據(jù)等差數(shù)列定義an an 1 d ,有:a2a1d ,a3a2d ,a4a3d ,anan把這n 1個(gè)等式的左邊與右邊分別相加(疊加)，并化簡得

4、an a1 (n 1)d ,-ana1(n1)d .(3)迭代法：anan 1d(an 2 d) d(a2 d) dda1(n 1)dn 2ana1(n1)d .要點(diǎn)詮釋:根據(jù)等差數(shù)列定義anan 1d可得：anan 1 d ,a?ada(21)d83 a? d (ad)d ;a1 2da1(3 1)d ,a4a3d 佝2d)da1 3da1(4 1)d ,通項(xiàng)公式由首項(xiàng) ai和公差d完全確定，一旦一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確 定了。通項(xiàng)公式中共涉及 ai、n、d、an四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程，便可求出第四個(gè) 量。等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣已知等差數(shù)列%中，第m項(xiàng)

5、為am，公差為d，則：an am (n m)d證明：t an a-i (n 1)d , am (m 1)d an am a1 (n 1)d a1 (m 1)d (n m)d an am (n m)d由上可知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公差來表示，公式an a1 (n 1)d可以看成是m 1時(shí)的特殊情況。要點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列an中，公差為d ,則若 m, n,p,q N，且 m n p q,則 am an ap aq,特別地，當(dāng)m n 2p時(shí)am an 2ap.下標(biāo)成公差為 m的等差數(shù)列的項(xiàng)ak ,ak m,ak 2m，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md 若數(shù)列bn也為

6、等差數(shù)列，則an bn , ka. b , (k,b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列aia2a3,84a5a6,a7鬼ag,仍是等差數(shù)列數(shù)列 an + b (, b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列要點(diǎn)四、等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式na? a 3an 1 an 公式一：n(aian)Sn 2證明：倒序相加法Snan an 1 an 2a2 ai +：2Sn (ai an) (a? an 1) an 2) L (a. ajal ana2 an 1a3an 2 L L 2Sn n(aia.)公式二：Snn(n 1)d2證明：將ana1 (n i)d代入Snn(ai an)可得:n(n 1)d2由

7、此得：n(a1 an)n 2要點(diǎn)詮釋:倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一。上面兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及ai、n、d、an、Sn五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量。要點(diǎn)五、等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)等差數(shù)列an中，公差為d ,則連續(xù)k項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即2Sk ,S2kSk, S3kS2k ,成等差數(shù)列，且公差為k d .若項(xiàng)數(shù)為 2n,則 S2nn(an an 1) , S偶 S奇nd ,S奇an 1若項(xiàng)數(shù)為 2n-1,則 S2n1 (2n1)an, S奇nan ， S偶(n 1)an ， S奇S偶 an ，要點(diǎn)六、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列an

8、的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))等差數(shù)列an中，an a1 (n 1)ddn 佝 d)，令 a1 db，則:an dn b ( d ,b是常數(shù)且d為公差)(1 )當(dāng)d 0時(shí)，an b為常數(shù)函數(shù)，an為常數(shù)列；它的圖象是在直線 y b上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)。(2)當(dāng)d 0時(shí)，an dn b是n的一次函數(shù)；它的圖象是在直線 y dx b上均勻排列的一群孤立 的點(diǎn)。 當(dāng)d 0時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)增，an為遞增數(shù)列； 當(dāng)d v0時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)減，an為遞減數(shù)列。等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)(或一次函數(shù)),n(n 1)d2/ d、 人d由 Sn na12 d &

9、quot;2 n(a1 Q)n，令 A ， B ai "2，則：2Sn An Bn ( A,B為常數(shù))(1 )當(dāng)d 0即A 0時(shí)，Sn Bn nai, Sn是關(guān)于n的一個(gè)一次函數(shù)；它的圖象是在直線 y a 上的一群孤立的點(diǎn)。(2)當(dāng)d 0即A 0時(shí)，Sn是關(guān)于n的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線y Ax2 Bx上的一群孤立的點(diǎn)。 當(dāng)d 0時(shí)Sn有最小值 當(dāng)d 0時(shí)，Sn有最大值要點(diǎn)詮釋：1.公差不為0的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是關(guān)于 n的一次函數(shù)。2 an pn q ( p,q是常數(shù))是數(shù)列a.成等差數(shù)列的充要條件。3.公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的一個(gè)常

10、數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)。24 Sn An Bn (其中A, B為常數(shù))是數(shù)列a.成等差數(shù)列的充要條件【典型例題】類型一：等差數(shù)列的定義例1. -401是不是等差數(shù)列 5、9、 13的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【思路點(diǎn)撥】要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項(xiàng)，關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得an等于這一數(shù).【解析】由 a15 d 9 ( 5) 4 得 an 5 4(n 1) 4n 1由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得:401 4n 1成立解得：n 100即401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).【總結(jié)升華】1根據(jù)所給數(shù)列求得首項(xiàng) a1和公差d，寫出通項(xiàng)公式an.2要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性 舉一

11、反三：【變式1】20是不是等差數(shù)列0,7 , - 7,2的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由【答案】由題意可知：a1 0,d72 J.此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an772n 2,2令207n 7,解得n 47 N，所以20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)227【變式2】求集合M m|m 7n, n N*,m 100的元素的個(gè)數(shù)，并求這些元素的和2 *【答案】 7n 100 , n 14, tn N , M中有14個(gè)元素符合條件，7又滿足條件的數(shù)7, 14, 21,，98成等差數(shù)列，即a1 7 , d 7 ,無 98 , S14 48) 735.2例2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1 = 1, anMD,

12、anan+1 =1，其中入為常數(shù).(I )證明：an+2 an=入(n )是否存在 入使得an為等差數(shù)列？并說明理由.【答案】(I )見解析。(n )存在【解析】(I )證明：T anan+1 = ?Sn一 1 , an+1an+2= XSn+1 一 1 , an+1 (a n+2 an)= ?an+1-外+1書,an+2 一 an = X.(n )解：當(dāng)X= 0時(shí)，anan+1 = 1,假設(shè)an為等差數(shù)列，設(shè)公差為 d.貝V an+2 an = 0,. 2d = 0,解得 d = 0,an= an+1 = 1,12= 1,矛盾，因此 X= 0時(shí)an不為等差數(shù)列.當(dāng)入洋時(shí)，假設(shè)存在 人使得an

13、為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.貝 y X= an+2 an= (an+2 an+1)+(an+1 an) = 2d,X- d =°1入（n 1）2an 1-入Si = 1 + 1入（n2入n、 入 2-=n42（入-？）n 2| ,42入0根據(jù)an為等差數(shù)列的充要條件是入 ，解得入=4.2 = 02此時(shí)可得Sn n , an= 2n 1.因此存在 =4，使得a n為等差數(shù)列.【總結(jié)升華】（1）證明三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的方法為：證明2b a c，即a,b,c成等差數(shù)列2b a c。2（2）anpn q（ p,q是常數(shù)）是數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件；Sn An Bn（其中A, B為常數(shù)

14、）是數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件舉一反三：【變式1】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 3n 5,這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?【答案】因?yàn)閚 2時(shí)，anan 1 3n 5 3（ n 1） 5 3,所以數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為 3.【變式2】已知數(shù)列an中，a1 1, an 12a“（ n N）,求證：-是等差數(shù)列。an 2an證明：t an 12an1an 1an 22 an1an 1an 是公差為an1的等差數(shù)列。2類型二：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例3.已知等差數(shù)列an中，a15 33, 845 153，試問217是否為此數(shù)列的項(xiàng)？若是，說明是第幾項(xiàng)？若不是，說明理由。a1、d的問題,【思路點(diǎn)撥】等差

15、數(shù)列的計(jì)算，一般優(yōu)先考慮使用性質(zhì)，如果不宜用性質(zhì)，則回歸為基本量 列出a1、d的方程組?！窘馕觥坑赏?xiàng)公式得:耳5a45a1 14d a1 44d an234(n1)4n27 2174n27,解得n61.(a45ai5方法一:n 1, n N33，解得153a1 23 d 4'方法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得30d，即 153 33 30d，解得 d 4,an a15 4(n 15),/. 21733 4(n 15),解得 n 61.方法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列是一些共線的點(diǎn),點(diǎn) P(15,33)、Q(45,153)、R(n,217)在同一條直線上,怛仝23，解得n 61。45

16、 15 n 45【總結(jié)升華】1.等差數(shù)列的關(guān)鍵是首項(xiàng)a1與公差d ；五個(gè)基本量a1、n、d、an、Sn中，已知三個(gè)基本量便可求 出其余兩個(gè)量;2列方程（組）求等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d，再求出an、Sn，是數(shù)列中的基本方法舉一反三:【變式1】在等差數(shù)列an中，已知鬼10,a1231,求首項(xiàng)a1,與公差d .【答案】由5a1 4d 1012a111d31解得；a12 ,d 5【變式2】等差數(shù)列an中,d 4, an18, Sn48，求a1的值.an a1 (n 1)d【答案】n(n 1)& nd218即481) 1844(nna-i 2n(n 1) 48a1a1解得：6或n 4 n 6【

17、變式3】已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列an的前三項(xiàng)之和為 21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【答案】方法一：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列 an的前三項(xiàng)分別為a1, a1+ d, a1 + 2d,例4.已知等差數(shù)列an中，若a3a8ai3i2 , a3a8ai328,求an的通項(xiàng)公式?！舅悸伏c(diǎn)撥】可以直接列方程組求解ai和d ；同時(shí)留意到腳標(biāo)3 i38 2 ,n 2p 時(shí) aman 2ap解題.【解析】 a3ai32a8，二 a33gai33a8i2即a8 4 ,a3ai38a3 i亠a37代入已知，有，解得或a3 ai37ai3 7ai3iai3a37 i3/ c、334當(dāng) a3 i, ai37

18、 時(shí)，d3- ana3 (n 3)-ni3 3io5555a3a3i 73344當(dāng) a37 ,ai3i 時(shí)，d233J-anni3 3i0555m類型三：活用等差數(shù)列的性質(zhì)解題【總結(jié)升華】利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題，往往比較簡捷可以用性質(zhì)：當(dāng)ai + ai + d + ai + 2d = 21則ai ai + dai + 2d=231即 3ai + 3d= 2iai ai + dai + 2d解得ai = 3d= 4ai = ii或d= 4因?yàn)閿?shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，因此ai = 3 d = 4'從而等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 4n- i.方法二：由于數(shù)列an為等差數(shù)列，因此可設(shè)前三項(xiàng)

19、分別為a d, a, a + d,于是可得 ada d+ a+ a+ d = 2i=23i3a = 2i即 a a2d2= 23i，解得a= 7或d= 4由于數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列,因此a= 7，從而 an= 4n i.d = 4舉一反三:【變式i】在等差數(shù)列an中，a?比i8，則玄5 =【答案】9【變式2】在等差數(shù)列 an中，a2a5 ag an 20，則 ae+a7 =【答案】i0【變式3】在等差數(shù)列an中，若 ai a69,a47 ,則 a3=a99 a49 7 2,【答案】t a-i a6 a4 a39, a47，二 a3 d a4 a35，二 a9 a4 (9 4)d32.類型四：前

20、n項(xiàng)和公式及性質(zhì)的運(yùn)用例5.等差數(shù)列an前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,求它的前3m項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】n( n i)利用等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式Sn nai 丄 丄d求解；或利用性質(zhì)：“等差數(shù)列的連續(xù)10項(xiàng)和構(gòu)2成一個(gè)新的等差數(shù)列”和等差中項(xiàng)求解；或利用相關(guān)的函數(shù)(Sn An2 Bn)等知識(shí)求解?！窘馕觥糠椒ㄒ唬豪玫炔顢?shù)列的前 n項(xiàng)和公式Snna心d求解。Sm由已知得maiS2m2majm(mJ)d 3022m(2m 1) d，解得100a-1040m2， Ssm 3mc3m(3m21)d 210。方法二：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn住亠及性質(zhì)mq,則 am an ap aq 求解。m(

21、a1am)60.(1)丄“ 口m(a1a2m)100.由已知得3m(a1a3m )2S3 m.a3ma2 ma2m am(4)由(3)-(2)及(2)-(1)結(jié)合(4),得 S3m=210.方法三：根據(jù)性質(zhì)：已知an成等差數(shù)列，則 Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,Sn-S(k-1)n,(k 2)成等差數(shù)列解題。由上述性質(zhì)，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列。-Sm+(S3m-S2m)=2(S 2m-Sm), S3m=3(S2m-Sm)=210.方法四：由Snnq的變形式解題，由上式知，色a1(n 1)2n2數(shù)列Sn也成等差數(shù)列，即Sm,S2m,S3m成等差數(shù)列,nm 2m 3

22、m2S2m2mSmS3m3m又 Sm=30, S2m=100, S3m=210方法五：/ an為等差數(shù)列,2設(shè) Sn An Bn10m故有SnSman2 bn(1)2am bm.(2)二 Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100,得 A- S3m=9m2a+3mb=210.【總結(jié)升華】方程是解決這類問題的重要方法，當(dāng)然具體題目也要注意數(shù)列本身的一些性質(zhì)，它往往 更能起到事半功倍的效果.舉一反三：【變式1】等差數(shù)列an中， 若 ai +a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+aio=8O,貝Uaii+ai2+ai3+ai4+ai5=.【答案】比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)可知后一段

23、中每一項(xiàng)總比前段每一項(xiàng)多5d,故后一段和比前一段和多25d，故三段依然構(gòu)成等差數(shù)列，故由等差中項(xiàng)公式可知：aii+ai2+ai3+ai4+ai5=2 >80-30=130.【變式2】等差數(shù)列a n中，Sm=Sn且m n,則Sm+n=.【答案】方法一：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是Sn=an2+bn (其中a, b為常數(shù))，(2)-(1)得 a(m2-n2)+b(m-n)=0,/ m n, a(m+n)+b=0, Sm+n=a(m+n) 2+b(m+n)=(m+n)a(m+n)+b=0.方法二：從等差數(shù)列Sn=an2+bn去認(rèn)識(shí)它是函數(shù) S(x)=ax2+bx圖象上的點(diǎn),T Sm=Sn,

24、函數(shù)圖象對(duì)稱軸為 xm n2 ，故 Sm+n=S(0)=a 02+ b 0=0.【變式3】等差數(shù)列an前10項(xiàng)和為100,前20項(xiàng)和為10,求它的前30項(xiàng)和.【答案】方法一:由已知，得S10S2010(10 1)10a1d 1002，解得d20(20 1)“20a1d 10219371帀，31莎30(30 1)綣 30a1d 270.2方法二：-2(S20S10)SI0(§30S20 ), §303(S20S10)270.方法三:等差數(shù)列an中,設(shè)Sn2An Bn，則S|0210 A 10B100 A10B1001939，解得A,BS20202A 20 B400A 20 B

25、 1020 2“ 19、39- S30302 ()30270.202例6.已知兩等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn 、Tn ，且等差數(shù)列an中 Sw，S20S10 , S30S20,構(gòu)成新的等差數(shù)列,【思路點(diǎn)撥】SnTn7n 1，試求勺14n 27b笛利用前n項(xiàng)和公式與性質(zhì) mam an 2ap解題，或利用S2n 1(2n1)an解決，或利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和SnAn2 Bn(AnB)n形式解題.【解析】方法一： a11aa?12,b?11an2b11£b21)(a1 a21)1二(a1 a21)21 s21(b1 b21) 21T217 21 14 21 277 2114 212

26、7方法三：由題設(shè)，令等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn (7n 1)nk , Tn (4n 27)nk，則方法二：由 S2n1 (2n 1)(? a2n1) (2n 1)an 得業(yè) 細(xì) 魚b121 bn T21anSnSn1k(14n6) ,bnTnTn1k(8n23),a11148k4bii111k3【總結(jié)升華】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a1 a2n 1 2an可以得到S2n(2n 1) a2n 1)(2n 1)an ,當(dāng)已知兩等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn時(shí)，有anbnS2n 1T2n 1ambn2n 12m 1S2m 1T2n 1舉一反三:【變式1】等差數(shù)列an中，若a4 9,則S7 =【答案】

27、由 S2n 1 (2n 鑒 a2n1) (2n 1)an，得 S77a47 963 .S【變式2】已知兩等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn,且Tn4n3，則5n 2a10b10【答案】西b10SI9T194 19 3795 19 293【高清課堂：等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和379548練習(xí)5】例7. 一等差數(shù)列由3個(gè)數(shù)組成，3個(gè)數(shù)之和為9, 3個(gè)數(shù)的平方和為 35,求這個(gè)數(shù)列?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題設(shè)這三個(gè)數(shù)時(shí)，常規(guī)設(shè)法為a , a d , a 2d，但不如用對(duì)稱設(shè)法設(shè)為 a d, a , a d【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a d , a , a d，則(a(ad) a (a d) 92 2 2d

28、) a (a d)，解得a353,d2.所求三個(gè)數(shù)分別為1, 3, 5或5, 3, 1?！究偨Y(jié)升華】1.三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)其分別為x d, x, x d ；若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)其分別為x 3d , x d ,x d ,x 3d .舉一反三：【變式】已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且其平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此四個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?1, 2, 5, 8 或 8, 5, 2, -1 或-8, -5, -2, 1 或 1, -2, -5, -8類型五：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的最值問題例8.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1 0,S9 37,試問n為何值時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和最大？為什么？【思路點(diǎn)撥】Sn是n的二次函數(shù)關(guān)系來要研究一個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的最值問題，有兩個(gè)基本途徑：其一是利用 考慮；其二是通過考察數(shù)列的單調(diào)性來解決?！窘馕觥糠椒ㄒ唬篢 S9 S17, 9a1 36d 17a1 136d 即 8a1100d ,225ai又Snn（n 1）dn n（n 1）（呂?。?525（n2 26n）旦（n 13）2 ai,2525- ai 0 ,當(dāng)n 13, Sn有最大值為169 a25227ana1（n 1）dama102525即an 1227a1（n 1）a102525a10方法二：要使Sn最大,n必須使an0且a* 125解得 n22713 12169-n