2022年2022年函數(shù)奇偶性的知識(shí)點(diǎn)及例題解析

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)函數(shù)的奇偶性學(xué)問(wèn)點(diǎn)及例題解析精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：1.函數(shù)奇偶性的概念一般地,對(duì)于函數(shù)f x,假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x ,都有f xf x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么函數(shù)f x就叫做偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一般地,對(duì)于函數(shù)f x,假如對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x ,都有f xf x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么函數(shù)f x就叫做奇函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載懂得：1奇偶性為針對(duì)整個(gè)定義域而言的,單調(diào)性

2、為針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的；這兩個(gè)概念的區(qū)分之一就為,奇偶性為一個(gè)“整體 ”性質(zhì),單調(diào)性為一個(gè)“局部 ”性質(zhì)；2定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)具有奇偶性的必要條件；2.按奇偶性分類,函數(shù)可分為四類：奇函數(shù)非偶函數(shù).偶函數(shù)非奇函數(shù).非奇非偶函數(shù).亦奇亦偶函數(shù).3.奇偶函數(shù)的圖象：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù),偶函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱的函數(shù)；4.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（也就為說(shuō), 函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件為其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；常用的結(jié)論：如fx為奇函數(shù),且x 在 0 處有定義,就f0 0； 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上如有單調(diào)性,就其單調(diào)性完全相同,

3、最值相反；奇 函數(shù) fx在區(qū)間 a、b0 a<b上單調(diào)遞增 （減）,就 fx在區(qū)間 b、 a 上也為單調(diào)遞增 （減）；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上如有單調(diào)性,就其單調(diào)性恰恰相反,最值相同；偶函數(shù) fx 在區(qū)間 a、b （ 0 a<b）上單調(diào)遞增（減） ,就 fx在區(qū)間 b、 a上單調(diào)遞減（增）任意定義在r 上的函數(shù)fx都可以唯獨(dú)地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和；如函數(shù)gx, fx, fgx 的定義域都為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,就u=gx,y=fu 都為奇函數(shù)時(shí), y=fgx 為奇函數(shù)； u=gx, y=fu都為偶函數(shù),或者一奇一偶時(shí),y= fgx 為偶函數(shù)；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)為：“ 內(nèi)

4、偶就偶,內(nèi)奇同外” .5.判定函數(shù)奇偶性的方法：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載.定義法：對(duì)于函數(shù)f x的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有fxf x 或fx1fx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載或 fxfx0 函數(shù) f （ x）為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)于函數(shù)f x 的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有 fxf x 或 fx1 或fx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fxfx0函數(shù) f （ x）為奇函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載判定函數(shù)奇偶性的步驟：.判肯定義域?yàn)榉耜P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

5、迎下載.比較f x 與f x 的關(guān)系；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載.扣定義,下結(jié)論；.圖象法： 圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)為奇函數(shù)；圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱的函數(shù)為偶 函數(shù)；,.運(yùn)算法：幾個(gè)與函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論：奇函數(shù) +奇函數(shù) =奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù) =偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 f x 為偶函數(shù),就f xf xf | x | ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)二.典例分析1.給出 函數(shù)解析式判定其奇偶性：分析：判定函數(shù)的奇偶性,先要求定義域,定

6、義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的為非奇非偶函數(shù),如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f x與 fx的關(guān)系 .【例 1】 判定以下函數(shù)的奇偶性：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 .f xx 22 x1 ;2 .x22x3f x、 xx0;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： f x 函數(shù)的定義域?yàn)? ,xx3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x x22 x1 ,f x x 22x1x 22 x1f x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x x22 x1 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（法 2圖象法）：畫出函數(shù)f x x 22 x

7、1 的圖象如下：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由函數(shù)f x x 22 x1 的圖象可知,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x x22 x1 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說(shuō)明 ：解答題要用定義法判定函數(shù)的奇偶性,挑選題.填空題可用圖象法判定函數(shù)的奇偶性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.解：由xx30 ,得 x , 3 3 ,+.3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故為非奇非偶函數(shù).【例 2】 判定以下函數(shù)的奇偶性：20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1). . f x4

8、x;x332.f x 1 x；x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 1 . 由4x20,解得2 x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x330x0 且 x64x 24x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義域?yàn)?2x 0 或 0 x2,就f x; .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f x4x 24x2x33xf x ; .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f x xx4x 2為奇函數(shù) .x33精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說(shuō)明 ：對(duì)于 給出函數(shù)解析式較復(fù)雜時(shí)

9、,要在函數(shù)的定義域不變情形下,先將函數(shù)解析式變形化簡(jiǎn),然后再進(jìn)行判定；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x(2). 由2x0,解得10x0,函數(shù)定義域?yàn)閤1xr x0、 x1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x 011精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f x x21x 210 , f x0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f xf x 且 f x f x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x 011所以 f x 220既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)；x1x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)【例

10、3】 判定以下函數(shù)的奇偶性：x1x 、 x0.f x 0 、 x01x1x 、 x0解析 1. 函數(shù)的定義域?yàn)閞,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x0 時(shí),x0 、 f x x 1xx1x f x ;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x0 時(shí),x當(dāng) x0 時(shí),x0 、 f 0 、 f x 0xf x ;x 1xx1xf x.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上可知,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有 f x f x ,所以函數(shù)f x 為奇函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說(shuō)明 ：分段 函數(shù)判定奇

11、偶性,必分段來(lái) 判定,只有各 段為同一結(jié)果時(shí)函數(shù)才有奇偶性； 分段 函數(shù)判定奇偶性,也可用圖象法；2.抽象函數(shù)判定其奇偶性：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 4】 已知函數(shù)f x xr 且 x0 、 對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1 、x2 、 恒有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1x 2 f x1 f x 2 、 判定函數(shù)f x xr 且 x0 的奇偶性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：函數(shù)的定義域?yàn)椤?00 、 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 x1x21 ,得f 10,精品學(xué)習(xí)資料

12、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 x1x21 ,就 2 f1f 1 、f 10 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載取 x11 、 x2x , 得 f x f 1f x 、f x f x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故函數(shù)f x xr 且 x0) 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：(1) .求字母的值：ax21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 5】已知函數(shù)f x a 、 b 、cz 為奇函數(shù),又 bxcf 12 ,f 23 ,求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

13、 - - - 歡迎下載a 、 b 、 c 的值 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由 f x f x 得bxcbxc , c0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f 12 得 a1 2 b ,而f 23 得 4a 2b14a13 ,3 ,a1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得1a2 ；又 az , a0 或 a1 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 a0 ,就 b12z ,應(yīng)舍去；如a1 ,就 b1z b=1 z.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a1、 b1、 c0

14、 ；說(shuō)明 ：此題從函數(shù)的奇偶性入手,利用函數(shù)的思想 建立方程或不等式,組成混合組 ,使問(wèn)題得解 . 有時(shí)也可用特別值,如f 1= f1, 得 c =0；(2) .解不等式：【例 6】如 f x為偶函數(shù),當(dāng)x 0,+時(shí), fx=x 1,求 fx1 0 的解集；分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱,可先作出f x的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法 .解：畫圖可知f x 0 的解集為 x 1 x 1,f x10,即 1 x-11,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)解集為 x0 x 2.（ 3）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 求值,求解析式,與單調(diào)性結(jié)合精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

15、載7.已知 fx=x5+ax3- bx- 8 ,且 f - 2=10,求 f2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 法一： f- 2=- 25 +- 23a- - 2b- 8=- 32- 8a+2b- 8=- 40- 8a+2b=10 8a- 2b=- 50 f2=2 5 +23a- 2b- 8=8a- 2b+24=- 50+24=- 26法二：令gx=fx+8 易證 gx為奇函數(shù) g- 2=- g2 f- 2+8=- f2 - 8 f2=- f- 2- 16=- 10- 16=- 26.8. f x為定義在r 上的奇函數(shù),且當(dāng)x 0 時(shí), f x=x2- x,求當(dāng) x 0 時(shí),