2022年2022年勾股定理知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)典例題及練習(xí)題帶答案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)【趣味鏈接】我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖 ”,后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖 ”（如圖 1）圖 2 由弦圖變化得到,它為用八個(gè)全等的直角三角形拼接 而成,記圖中正方形abcd,正方形 efgh,正方形 mnkt的面積分別為 s1、s2, s3如 s1, s2, s3 10,就 s2 的值為多少呢？【學(xué)問(wèn)梳理】1.勾股定理定義：假如直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a, b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2 b2 c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方b弦 ca 勾acb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊勾股

2、定理的逆定理：假如三角形的三邊長(zhǎng)a,b, c 有下面關(guān)系： a2b2 c2,那么這個(gè)三角形為直角三角形；2.勾股數(shù)：滿意 a2 b2c2 的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)（留意：如a,b,c.為勾股數(shù), 那么 ka,kb,kc 同樣也為勾股數(shù)組；）* 附：常見(jiàn)勾股數(shù)： 3、4、5； 6、8、10； 9、12、15； 5、12、133.判定直角三角形：假如三角形的三邊長(zhǎng)a.b.c 滿意 a2+b2=c2 ,那么這個(gè)三角形為直角三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)（經(jīng)典直角三角形：勾三.股四.弦五）其他方法：（ 1）有一個(gè)角為 90°的三角形為直角三角形；（ 2

3、）有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形；用它判定三角形為否為直角三角形的一般步驟為：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）如 c2 a2 b2,就 abc 為以 c 為直角的三角形；如 a2 b2 c2,就此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；如 a2 b2 c2,就此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）4.留意：（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（ 2）在直角三角形中,假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（ 3）在直角三角形中,假如一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°；5.勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的兩邊

4、求第三邊；（ 2）已知直角三角形的一邊,求另兩邊的關(guān)系；（ 3）用于證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題；（ 4）利用勾股定理,作出長(zhǎng)為n 的線段【經(jīng)典例題】【例 1】（ 2021 山東煙臺(tái)）如圖為油路管道的一部分,延長(zhǎng)外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)形,兩直角邊分別為6m 和 8m.依據(jù)輸油中心o 到三條支路的距離相等來(lái)連接管道,就 o 到三條支路的管道總長(zhǎng)（運(yùn)算時(shí)視管道為線,中心o 為點(diǎn)）為（）a.2mb.3mc.6md.9m【例 2】（ 2021 貴州貴陽(yáng)）如圖,abc 中, c=90°, ac=3 , b=30°,點(diǎn)

5、p 為 bc 邊上的動(dòng)點(diǎn),就ap 長(zhǎng)不行能為（）a .3.5b. 4.2c.5.8d.7【例 3】（ 2021 河北）如圖,在abc 中, c=90°, bc=6、d、e 分別在 ab、ac上,將 abc 沿 de 折疊,使點(diǎn)a 落在點(diǎn) a處,如 a為 ce 的中點(diǎn),就折痕de 的長(zhǎng)為（） a 0.5b 2c3d 4【例 4】（ 2021 重慶綦江）一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng),其截面如下列圖.正方形 defh 的邊長(zhǎng)為 2 米,坡角 a 30°、 b 90°、bc 6 米. 當(dāng)正方形 defh 運(yùn)動(dòng)到什么位置、即當(dāng) ae米時(shí) 、有 dc 2 ae 2 bc 2

6、.【例 5】（ 2021 廣東肇慶）在直角三角形abc 中, c 90°, bc 12, ac 9,就 ab【例 6】（ 2021貴州安順）如圖,在rt abc 中, c=90°,bc=6cm,ac=8cm,按圖中所示方法將bcd 沿bd 折疊,使點(diǎn) c落在 ab邊的 c點(diǎn),那么 adc 的面積為【例 7】（ 2021四川廣安）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m.8m.現(xiàn)要將其擴(kuò) 建成等腰三角形,且擴(kuò)充部分為以8m為直角邊的直角三角形求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)【例 8】（ 2021

7、 四川樂(lè)山）如圖,在直角abc 中, c=90, cab 的平分線ad 交 bc 于 d,如 de 垂直平分 ab ,求 b 的度數(shù)；【例 9】（2021 山東棗莊）如圖,在邊長(zhǎng)為1 的小正方形組成的網(wǎng)格中,abc 的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,請(qǐng)按要求完成以下各題： （ 1）畫(huà)線段ad bc 且使 ad =bc,連接 cd ；（ 2）線段 ac 的長(zhǎng)為, cd 的長(zhǎng)為, ad 的長(zhǎng)為；（ 3） acd 為三角形,四邊形abcd 的面積為；【例 10】如圖, ab 為一棵大樹(shù),在樹(shù)上距地面10m 的 d 處有兩只猴子,它們同時(shí)發(fā)覺(jué)地面上的c 處有一筐水果,一只猴子從d 處上爬到樹(shù)頂a 處,利用拉在a

8、處的滑繩ac,滑到 c 處,另一只猴子從d 處滑到地面b,再由 b 跑到 c,已知兩猴子所經(jīng)路程都為15m,求樹(shù)高ab.【課堂練習(xí)】1.（ 2021 湖北黃石）將一個(gè)有45 度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm 的紙帶邊沿精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)上,另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上,測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30 度角,如圖,就三角板的最大邊的長(zhǎng)a.3cmb.6cmc.32 cmd. 62 cm2.（ 2021 江蘇無(wú)錫）如圖,在rt abc 中, acb = 90 ,°d .e.f 分別為 ab.bc.ca 的中點(diǎn),如 cd =

9、 5cm ,就 ef = cm 3.（ 2021 山東棗莊）將一副三角尺如下列圖疊放在一起,如ab =14cm ,就陰影部分的面積為 cm2.4.王偉預(yù)備用一段長(zhǎng)30 米的籬笆圍成一個(gè)三角形外形的小圈,用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長(zhǎng)為a 米,由于受地勢(shì)限制,其次條邊長(zhǎng)只能為第一條邊長(zhǎng)的2 倍多 2 米.（ 1）請(qǐng)用 a 表示第三條邊長(zhǎng)；（ 2）問(wèn)第一條邊長(zhǎng)可以為7 米嗎？為什么 .請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出a 的取值范疇；（ 3）能否使得圍成的小圈為直角三角形外形,且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？如能,說(shuō)明你的圍法;如不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.一個(gè)零件的外形如圖,按規(guī)定這個(gè)零件中a 與 bdc 都應(yīng)為直角,工人師傅量得零

10、件各邊尺寸：ad=4 ,ab=3、bd=5 ,dc=12 、 bc=13 ,這個(gè)零件符合要求嗎？【課后作業(yè)】1.以下各組數(shù)據(jù)中,不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.9 , 12, 15b.5 、1、344c.0.2, 0.3, 0.4d.40 , 41, 9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.滿意以下條件的三角形中,不為直角三角形的為（）a. 三個(gè)內(nèi)角比為1 21b. 三邊之比為1 25c.三邊之比為3 25d.三個(gè)內(nèi)角比為1 2 33.如圖,以 rtabc 的三邊為邊向

11、外作正方形,其面積分別為s1.s2.s3,且 s1 =4,s2=8,就 ab 的長(zhǎng)為 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14.如圖, e.f 分別為正方形abcd 中 bc 和 cd 邊上的點(diǎn),且ab=4,ce =4ae ,問(wèn) aef 為什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.bc, f 為 cd 的中點(diǎn),連接af .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a df精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b ec5 題圖 （ 6 題圖）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.如圖,如上圖,今年的冰雪災(zāi)難中,一棵大樹(shù)在離地面3 米處折斷,樹(shù)的頂端落在離樹(shù)桿底部4 米處,那么這

12、棵樹(shù)折斷之前的高度為米.6.一個(gè)零件的外形如下列圖,已知ac=3 cm , ab=4 cm ,bd=12 cm ；求 cd 的長(zhǎng) .7.如圖,某會(huì)展中心在會(huì)展期間預(yù)備將高5m、長(zhǎng) 13m,寬 2m 的樓道上鋪地毯、已知地毯平方米18 元,請(qǐng)你幫忙運(yùn)算一下,鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢(qián).8.如圖, 一架長(zhǎng) 2.5 m 的梯子,斜靠在一豎直的墻上,這時(shí), 梯底距墻底端0.7 m,假如梯子的頂端沿墻下滑0.4 m,就梯子的底端將滑出多少米？【經(jīng)典例題】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載141.c2.d3.b4.35.156.

13、6cm27.由題意可得,花圃的周長(zhǎng)=8+8+ 82 =16+ 82精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.解： ad 平分 cad cad= bad de 垂直平分ab ad=bd、 b= bad cad= bad= b在 rtabc 中, c=90o cad+ dae+ b=90o b=3 0o9.解：（ 1）如圖；（ 2） 25 ,5 , 5；（ 3）直角, 10；（ 4） 1 210.設(shè) ad=x 米,就 ab 為（ 10+ x）米,ac 為（ 15- x）米,bc 為 5 米, x+10 2+52=15- x2,解得 x=2 , 10+x=12【課堂練習(xí)】491.d2. 53

14、.24.1 第一條邊為a、其次條邊為2a+2、第三條邊為30-a-（ 2a+2）=28-3a2 不行以為7,第一條邊為7,其次條邊為16,第三條邊為7,不滿意三邊之間的關(guān)系,不行以構(gòu)成三角形； 13 a 5235、12、13、 可以圍成一個(gè)滿意條件的直角三角形5.解：在 abd 中, ab 2+ad 2=32+42=9+16=25=bd 2,所以 abd 為直角三角形,a =90°.在 bdc 中、bd 2+dc 2=52+122=25+144=169=13 2=bc 2.所以 bdc 為直角三角形,cdb =90°.因此這個(gè)零件符合要求.【課后作業(yè)】1.c2.c3. 234.解：由勾股定理得ae2=25 , ef2=5,af 2=20 , ae 2= ef2 +af2, aef 為直角三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.86.解：在直角三角形abc 中,依據(jù)勾股定理,得bc 2ac 2ab 23 24 225精品學(xué)習(xí)資料