余弦定理及其應(yīng)用（精編版）

1、. . . . 1 / 5 余弦定理與其應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo) (1) 了解并掌握余弦定理與其推導(dǎo)過(guò)程(2) 會(huì)利用余弦定理來(lái)求解簡(jiǎn)單的斜三角形中有關(guān)邊、角方面的問題(3) 能利用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算（反三角） 過(guò)程與能力目標(biāo) (1) 用向量的方法證明余弦定理，不僅可以表達(dá)向量的工具性，更能加深對(duì)向量知識(shí)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)(2) 通過(guò)引導(dǎo)、啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并且順利推導(dǎo)出余弦定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力 情感與態(tài)度目標(biāo) 通過(guò)三角函數(shù)、 余弦定理、 向量數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系，來(lái)表達(dá)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一 教學(xué)重點(diǎn) 余弦定理的證明與應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) (1

2、) 用向量知識(shí)證明余弦定理時(shí)的思路分析與探索(2) 余弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路 教學(xué)過(guò)程 一、引入問：在 rtabc中，若 c=090，三邊之間滿足什么關(guān)系？答：222bac問：若 c090，三邊之間是否還滿足上述關(guān)系？答：應(yīng)該不會(huì)有了！問：何以見得？答：假如ba,不變，將 a、b往里壓縮，則 c090，且222bac；同理，假如ba,不變，將 a、b往外拉伸，則 c090，且222bac師：非常正確！那么，這樣的變化有沒有什么規(guī)律呢？答：規(guī)律肯定會(huì)有，否則，您就不會(huì)拿它來(lái)說(shuō)事了問：仔細(xì)觀察，然后想想，到底會(huì)有什么規(guī)律呢？答：有點(diǎn)象向量的加法或減法，acb或cbaacbabcacbabc.

3、 . . . 2 / 5 探求 設(shè)abc 的三邊長(zhǎng)分別為cba,，由于bcabacbaccababaccbcbbcababbbcbcbcabababacbcabbcabacaccos2cos2)180cos(22)()(2222220222?即即問：仔細(xì)觀察這個(gè)式子，你能否找出它的在特點(diǎn)？答：能！式子中有三邊一角，具體包括如下三個(gè)方面：第一、左邊是什么邊，右邊就是什么角；第二、左邊有什么邊，右邊就沒有什么邊；第三、邊是 平方和 ，乘積那里是“ 減號(hào)” 師：很好！那么，你能否仿照這個(gè)形式寫出類似的另外兩個(gè)？答：可以！它們是：abccbacos2222和cabcbaccos2222總結(jié) 這就是我們

4、今天要講的余弦定理，現(xiàn)在，讓我們來(lái)繼續(xù)研究它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以與其應(yīng)用問題 板書課題余弦定理與其應(yīng)用二、新課（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍 . （二）余弦定理的另一種表述形式：bcacba2cos222；acbcab2cos222；abcbac2cos222（三）歸納1. 熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方” “夾角” “余弦”等；2. 每個(gè)式子中都有四個(gè)量，知道其中的三個(gè)就可以求另外的一個(gè)；3. 當(dāng)夾角為090（即三角形為直角三角形）時(shí)即為勾股定理 ( 特例)acbabc. . . . 3 / 5 （四）余弦定理的適用圍1. 已知三

5、邊求角；2. 已知兩邊與其夾角求第三邊三、應(yīng)用例 1在 abc中，已知3,5,7cba，求這個(gè)三角形的最大角 分析 根據(jù)大邊對(duì)大角 的原則，知： a為最大解：cbacba由，21352499252cos222bcacba，a=0120，即該三角形的最大角等于0120練習(xí) 1已知 abc 的三邊長(zhǎng)分別是37,4, 3cba，求三角形的最大角答案：0120思考：？形狀，如何判斷該三角形的，的三邊長(zhǎng)為已知cbaabc提示：求出與最大邊相對(duì)應(yīng)的角的余弦值，再與0 進(jìn)行比較，判定標(biāo)準(zhǔn)如下：若 0，則為銳角三角形；若=0，則為直角三角形；若 0，則為鈍角三角形例 2在 abc中，,4,26,32bca求b

6、與 a 分析 已知兩邊夾角，可以用公式baccabcos2222直接求出b；然后用公式bcacba2cos222即可求出角a解：由baccabcos2222得：,84cos)26(322)26()32(222b解得22b；又bcacba2cos22221)26(222)32()26()22(222，a=3. . . . 4 / 5 例 3已知 abc中，)13(:6:2:cba，解此三角形 分析 知道邊的比值，可以設(shè)其公約數(shù)為k, 因?yàn)?，在后面的運(yùn)算中又可以同時(shí)約分將其約掉，原則上一般先求最小的角；當(dāng)然，也可以先求最大的角解法一： 設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則kckbka)13(,6,2，由bca

7、cba2cos222得22) 13(62)2() 13()6(cos222kkkkka045a；由acbcab2cos222得21) 13(22)6()13()2(cos222kkkkkb，b=060；因此 c=0000075)6045(180)(180ba解法二： 設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則kckbka)13(,6,2，由abcbac2cos222得kkkkkc622) 13()6()2(cos222即426cosc， （此時(shí)可用計(jì)算器的第二功能求426的反余弦）000000075cos)3045cos(30sin45sin30cos45cos21222322426又因?yàn)閏=075；由acbc

8、ab2cos222得21) 13(22)6()13()2(cos222kkkkkb，b=060； a=0000045)7560(180)(180cb例 4已知 abc中，bcbcbaa及求 , 8,7,1200 分析 這種題型一般都要?dú)w結(jié)為解方程組解： 由abccbacos2222得0222120cos27bccb，即4922bccb1549849)(22bcbccb，由5335158cbcbbccb或，分類討論如下：. . . . 5 / 5 當(dāng)5b時(shí)，3,7 ca，由acbcab2cos222得：1411372537cos222b02.38b當(dāng)3b時(shí)，5,7 ca，由acbcab2cos222得：1413572357cos222b08.21b即02 .38,3, 5bcb或08.21, 5, 3bcb練習(xí) 2在 abc中，15,8,2accabca，求b提示 ：060b,193)(cos22222accabaccab, 19b練習(xí) 3在棱長(zhǎng)為 1 的正方體1111dcbaabcd中，m 、n分別為11ba與1bb 的中點(diǎn)，那么直線 am 與 cn所成角的余弦值是 ( ) 52