2019-2020學年江蘇省常州市前黃高級中學高二上學期期末數學試題(解析版)

1、2019-2020學年江蘇省常州市前黃高級中學高二上學期期末數學試題一、單選題1已知空間向量,若,則實數（ ）a-2b-1c1d2【答案】c【解析】根據時，列方程求出的值【詳解】解：向量，若，則，解得故選：【點睛】本題考查了空間向量的坐標運算與垂直應用問題，屬于基礎題2abcd【答案】d【解析】由復數的乘法運算展開即可【詳解】解： 故選d.【點睛】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題3盛唐著名邊塞詩人王昌齡在其作品從軍行中寫道：青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還其最后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（ ）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要

2、條件【答案】b【解析】根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭”，由充分條件和必要條件的定義判斷可得“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要不充分條件，故選：【點睛】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于容易題4設是首項為，公差為-1的等差數列，為其前n項和，若成等比數列，則=（ ）a2b-2cd【答案】d【解析】把已知用數列的首項和公差表示出來后就可解得，【詳解】因為成等比數列，所以，即故選d.【點睛】本題考查等差數列的前項和，考查等比數列的性質，解題方法是基本量法本題屬于基礎題5在正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則

3、與側面所成角的大小為（ ）abcd【答案】a【解析】由題意，取ac的中點o，連結，求得是與側面所成的角，在中，即可求解【詳解】由題意，取ac的中點o，連結,因為正三棱柱中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，所以，因為，所以平面，所以是與側面所成的角，因為，所以，所以，與側面所成的角【點睛】本題主要考查了直線與平面所成的角的求解，其中解答中空間幾何體的線面位置關系，得到是與側面所成的角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及轉化與化歸思想，屬于中檔試題6若拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點,則（ ）a2b10cd【答案】d【解析】先求出的左焦點，得到拋物線的準線，依據的意義求出它的值【詳解】解：

4、因為拋物線焦點在軸上，開口為正方向，故準線在軸左側，雙曲線的左焦點為，故拋物線的準線為，故選：【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的簡單性質，以及拋物線方程中的意義7正方體,點,分別是，的中點,則與所成角的余弦值為（ ）abcd【答案】a【解析】連接，證明，再根據，可得即可得到與所成角的余弦值.【詳解】解：連接，是正方體,且因為點,分別是，的中點即與成直角，則與所成角的余弦值為故選：【點睛】本題考查異面直線所成的角的計算，屬于基礎題.8若雙曲線的漸近線與圓沒有公共點，則c的離心率的取值范圍為（ ）abcd【答案】a【解析】先根據雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和

5、b的關系，進而利用求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可求【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，故選：a【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式等著重考查了學生數形結合的思想的運用，屬中檔題9設雙曲線的右焦點為f,點p在c的一條漸近線上,o為坐標原點,若且的面積為,則c的方程為（ ）abcd【答案】b【解析】根據雙曲線的漸近線方程，設雙曲線方程為，表示右焦點的坐標，根據點到線的距離公式求出到漸近線的距離，根據利用勾股定理求得，利用，得到方程，求得，得解.【詳解】解：為雙曲線的一條漸近線，故設雙曲線方程為則右焦點的坐標為因為

6、在上，且則右焦點的坐標為到直線的距離故故選：【點睛】本題考查雙曲線的性質，三角形面積公式，點到線的距離公式，屬于中檔題.10數列中，且，則數列前2019項和為（ ）abcd【答案】b【解析】由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項求和法即可得解【詳解】解：，整理得：，又，可得：則數列前2019項和為：故選b【點睛】本題主要考查了數列遞推關系、“累加求和”方法、裂項求和，考查了推理能力、轉化能力與計算能力，屬于中檔題11如圖,矩形中,是線段上一點且滿足,是線段上一動點,把沿折起得到,使得平面平面,分別記,與平面所成角為,平面與平面所成銳角為,則:（ ） abcd【答案】a【解析】由

7、題意畫出圖形,因為與平面所成角為,平面與平面所成銳角為,與平面所成角為分別求出和,結合圖形分別比較和和,即可求出答案.【詳解】如圖,過作,在中,由,可得由等積法可得,則 平面平面,且,可得平面 畫出底面平面圖:在,由余弦定理可得: ,故 結合圖像可知: ,可得: , 可得 過作,垂足為,連接，則為平面與平面所成的銳角 到的距離,由底面圖像可知: 即由可得: 都是銳角,根據正切函數單調性可知: 故選:a.【點睛】本題考查空間中直線與平面、平面與平面所成角的求法.在立體圖形中某個平面內的線段較多且關系復雜時,可畫出其平面圖形進行求解.解題關鍵是求,和.考查空間想象能力與邏輯思維能力,是中檔題12已

8、知f為橢圓c：的左焦點，過f作兩條互相垂直的直線，直線與c交于a，b兩點，直線與c交于d，e兩點，則四邊形adbe的面積最小值為（ ）a4bcd【答案】c【解析】先計算直線斜率為0時或直線斜率為0時對應的四邊形的面積，再設斜率為k，利用弦長公式計算，得出四邊形的面積關于k的函數，利用換元法求出面積的最小值從而得出結論【詳解】橢圓的左焦點為（1）當直線斜率為0時，直線的方程為，或當直線斜率為0時，直線的方程為，把代入橢圓方程得，四邊形adbe的面積為（2）當直線有斜率且斜率不為0時，設直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，消元得：，設，則，用替換k可得，四邊形adbe的面積為，令，則，當即時，s

9、取得最小值綜上，四邊形abde的面積的最小值為故選：c【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，面積公式的應用，考查換元法與設而不求法的運用，計算較難，注意認真檢查，同時注意討論直線方程的特殊情況，屬難題二、填空題13是虛數單位,則的值為_.【答案】【解析】利用復數的運算法則計算出，再根據求模的法則計算即可得出【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查復數的運算，屬于基礎題.14已知“”是假命題,則實數的取值范圍為_.【答案】【解析】求出命題的否定，由原命題為假命題，得命題的否定為真命題，參變分離得到，構造函數求在所給區(qū)間上的最小值.【詳解】解：由題意可知，是真命題對恒成立，令令則；令

10、則；即在上單調遞減，上單調遞增；故答案為：【點睛】本題考查根據命題的真假求參數的取值范圍，關鍵是將問題進行轉化，屬于中檔題.15，是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點，若，且，則_.【答案】【解析】不妨設點在在第一象限，設，在中，由余弦定理可得：，進而得到，根據范圍可得到結果.【詳解】如圖所示，設雙曲線的方程為，（，），半焦距為，橢圓的方程為（），半焦距為，不妨設點在在第一象限，設，在中，由余弦定理可得：，兩邊同時除以，得，.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線離心率的綜合，通過計算得到是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和邏輯思維能力，屬于常考題.16設是

11、等比數列，公比，為的前n項和，記'，設為數列的最大項，則_【答案】4【解析】略三、解答題17若復數，當實數為何值時（1）是實數；（2）是純虛數；（3）對應的點在第二象限.【答案】(1)m=2或m=-1 (2)m=-3 (3)m范圍【解析】（1）根據復數的分類條件可求出的值;（2）根據純虛數的條件可得出結果;（3）利用復數的幾何意義,轉化為的不等式,即可求的取值范圍.【詳解】（1）當是實數時,解得或,所求的值為或;（2）當是純虛數時,解得,所求的值為;（3）當對應的點在第二象限時,解得,實數的取值范圍是.【點睛】本題考查復數的分類,以及復數的幾何意義,考查等價轉化,數形結合思想,屬于基本

12、題.18已知拋物線：的焦點，上一點到焦點的距離為5（1）求的方程；（2）過作直線，交于，兩點，若直線中點的縱坐標為-1，求直線的方程【答案】（1）（2）【解析】法一：利用已知條件列出方程組，求解即可法二：利用拋物線的準線方程，由拋物線的定義列出方程，求解即可法一：由可得拋物線焦點的坐標，設出兩點的坐標，利用點差法，求出線段中點的縱坐標為，得到直線的斜率，求出直線方程法二：設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設出兩點的坐標，通過線段中點的縱坐標為，求出即可【詳解】法一:拋物線: 的焦點的坐標為,由已知解得或,的方程為. 法二:拋物線的準線方程為由拋物線的定義可知解得的方程為. 2.法一:由(1

13、)得拋物線c的方程為,焦點設兩點的坐標分別為,則 兩式相減,整理得線段中點的縱坐標為直線的斜率直線的方程為即分法二:由(1)得拋物線的方程為,焦點設直線的方程為由消去,得設兩點的坐標分別為,線段中點的縱坐標為解得直線的方程為即【點睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對于涉及到中點弦的問題，一般采用點差法能直接求出未知參數，或是將直線方程設出，設直線方程時要注意考慮斜率的問題，此題可設直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關系，求出未知參數19設各項均為正數的數列an的前n項和為sn，滿足：對任意的nn，都有an+1+sn+11，又a1（1）

14、求數列an的通項公式；（2）令bnlog2an，求（nn）【答案】(1) an；(2)【解析】（1）利用公式化簡得到，計算，得到答案.（2）計算得到，利用裂項求和計算得到答案.【詳解】（1）根據題意，由an+1+sn+11，則有an+sn1，（n2）得：2an+1an，即an+1an，又由a1，當n1時，有a2+s21，即a2+（a1+a2）1，解可得a2，則所以數列an是首項和公比都為的等比數列，故an；（2）由（1）的結論，an，則bnlog2ann，則（1）+（）+（）1【點睛】本題考查了求通項公式，裂項求和法計算前項和，意在考查學生對于數列公式的綜合應用.20如圖，四棱錐的底面是直角梯

15、形，是的中點，.（）證明：平面； （）求二面角的大小； （）線段上是否存在一點，使得直線平面. 若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（）見證明；（）；（）見解析【解析】（i）依題意易得兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系通過,證得平面.（ii）通過計算平面和平面的法向量，由此計算出面面角的余弦值，進而求得二面角的大小.（iii）設出的坐標，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，求出關于點坐標的參數，由此判斷出點的位置.【詳解】（）因為 平面.所以，又. 如圖，以為原點建立空間直角坐標系由題意得所以,. 所以,所以,所以平面. （）設平面的法向量為，因為. 所以，即，令，則.于是.

16、 因為平面，所以為平面的法向量，又.所以.因為所求二面角為鈍角，所以二面角大小為.（）解：設，. 設平面的法向量，則，即 ，令，. 于是，如果直線平面，那么，解得 .所以，存在點為線段靠近點的三等分點，使得直線平面.【點睛】本小題主要考查利用空間向量法證明線面垂直，考查利用空間向量法求面面角的大小，考查利用空間向量法確定點的位置，屬于中檔題.21已知橢圓的左，右焦點分別為，該橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（i）求橢圓的方程；（）如圖，若斜率為的直線與軸，橢圓順次交于點在橢圓左頂點的左側）且，求證：直線過定點；并求出斜率的取值范圍.【答案】（i）；（）證明見解

17、析，.【解析】（i）根據橢圓離心率求得，根據圓心到直線的距離等于半徑求得的值，進而求得的值和橢圓的標準方程.（ii）設出兩點的坐標，根據，得到，將兩點坐標代入上式.設出直線的方程，代入橢圓方程并化簡，寫出韋達定理和判別式，將韋達定理得到的式子代入，化簡后可求得直線所過定點.根據判別式，求得的取值范圍.【詳解】（）解：橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的離心率為，即有，即，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓方程為，直線與圓相切，則有，即有，則橢圓c的方程為；（）證明：設，由，可得直線和關于x軸對稱即有，即，即有，設直線，代入橢圓方程，可得，判別式，即為，代入可得，將代入，化簡可得，則直線的方程為，即即有直線恒過定點將代入，可得，解得或則直線的斜率的取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的方程和性質，主要是離心率的運用，注意運用直線和圓相切的條件.考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查化簡整理的運算