不可測(cè)集的構(gòu)造

1、不可測(cè)集的構(gòu)造不可測(cè)集的構(gòu)造是建立在選擇公理的基礎(chǔ)上 , 通常我們是用 它來(lái)構(gòu) 造各種反例 （ 例如利用不可測(cè)集去作出 Lebesgue 可測(cè)集 而非 Borel 集 的例子等 ） , 這使我們能加深對(duì)測(cè)度理論的理解。在 構(gòu)造二維不可測(cè)集前 , 我們先來(lái)了解一些預(yù)備知識(shí) :外測(cè)度定義 :設(shè) E 是 Rn 的點(diǎn)集 ，是 Rn 中的一列開長(zhǎng)方 體 ,，則 確定一個(gè)非負(fù)的數(shù)u。記。稱為E的Lebesgue 外測(cè)度 外測(cè)度的基本性質(zhì) :性質(zhì) 1:;（ 非負(fù)性 ）性質(zhì) 2: ; （ 單調(diào)性 ）性質(zhì) 3:;（ 次可加性 ）完全可加性 : 若對(duì)任意互不相交的點(diǎn)集, 有 :則稱具有完全可加性。不可測(cè)集 : 若

2、某集合的外測(cè)度不能滿足外測(cè)度的三個(gè)基本 性質(zhì) 1、 2、3 及完全可加性 , 則稱這樣的集合叫做不可測(cè)集。選擇公理 （Zermelo ）: 是一簇兩兩不相交的非空集 , 則存在 集 合 L 滿足下列條件 :; L 與 F 中的每一個(gè)集合有且只有一個(gè)公共元素 一、二維不可測(cè)集的構(gòu)造1. 構(gòu)造集合 S 用 一個(gè)等價(jià)關(guān)系把 中的一切點(diǎn)分類 , 每一類構(gòu)成一個(gè)集 合。取等 價(jià)關(guān)系 :, 假設(shè)對(duì) 的每一個(gè)分量都是有理數(shù)。根據(jù)這個(gè) 等價(jià)關(guān)系 , 我們可 以把的一切點(diǎn)分類比如就是其中一類。 由上述等價(jià)關(guān)系劃分出來(lái)的等價(jià)類是一串互不相交的集 合類 : 記 , 則對(duì)任意的 , 有 :事實(shí)上,假設(shè) , 即, 使得

3、。則必存在 , 使得和的每個(gè)分量都是有理數(shù)。從而 的每個(gè)分量也都是有理數(shù) , 即的每個(gè)分量是有理數(shù) , 于是有Rx 與 Ry 是同一類 ， 這與 Rx,Ry 的定義矛盾 ， 故假設(shè)不成立 ，即。 由 選擇公理 , 構(gòu)造如下集合 :S2. 證明集合 S 是個(gè)不可測(cè)集證 :10 記 =,.則 為 中的兩個(gè)分量都是有理數(shù)的全體 ，Sn 為 S 平移 rn 得 到, 顯然, 且當(dāng) 時(shí), 。事實(shí)上 , 當(dāng) 時(shí), 若存在 則有 , 這使得 :于是 （ 兩個(gè)有理數(shù)的向量差 ）, 故 向量差的兩個(gè)分量都是有理數(shù)。從而推出，即x和y屬于同一類，這與S的構(gòu)造矛盾，因此有:對(duì)20 下證證:任取，由 S 的構(gòu)造知 是

4、個(gè)單點(diǎn)集 ，設(shè)為，于是 的每個(gè)分 量均為有理數(shù) ， 且 ， 因此存在一個(gè) n0， 使得 rn0= ， 這樣， 即。綜合上面 10，20 可得 :30 下證 Sn 是不可測(cè)集 ()證:假設(shè) Sn 具有完全可加性 ()，于是， 由外測(cè)度的單調(diào)性 : 由完全可加性得 :由平移不變?cè)淼?: ， 則式變?yōu)?:再由外測(cè)度非負(fù)性知 : ， 則若 ， 則推出 ， 從而矛盾。若 ， 從而推出 : 矛盾。故是 Sn 不可測(cè)集 ( 不具有完全可加性 )，又由知 S 是不可測(cè) 集。二、 n 維不可測(cè)集的構(gòu)造1.引理:對(duì)于任意的外測(cè)度等于正無(wú)窮大集合E,總存在一個(gè)外測(cè)度既大于零又小于正無(wú)窮的子集 (即大于零又有界 )

5、。證:，即對(duì)使得當(dāng)時(shí) ， 有 又記 ， 。 于是由外測(cè)度的性質(zhì)得 : 必定存在使所以綜合上述得 : 存在， 使得: 這樣 En 就是 E 的外測(cè)度大于零又有界的子集。 即引理的結(jié) 論成立。2.在n維可測(cè)集E中構(gòu)造n維不可測(cè)集，類似第二節(jié)，具體方法 與相關(guān)證明如下 :(1) 同第 2 節(jié)中的同理 ，先用一個(gè)等價(jià)關(guān)系把 E 中的一切點(diǎn) 分類 , 每一類構(gòu)成一個(gè)集合。取等價(jià)關(guān)系 :, 假設(shè)對(duì) , 有的每個(gè)分量都是有理數(shù)。根據(jù)這個(gè)等價(jià)關(guān)系 , 我們可以把中 的一切 點(diǎn)分類 (比如 就是其中的一類 )。(2) 由等價(jià)關(guān)系劃分出來(lái)的等價(jià)類是一串互不相交的集合類:即:對(duì)任意的：。這里的證明方法與第二節(jié)中的證

6、明方法相同。(3) 由選擇公理 , 作集合 :證明 W 是不可測(cè)集這個(gè)證明分以下幾個(gè)步驟 : 證:記 為, 即中的兩個(gè)分量都是有理數(shù)的全體。,即 Wn 是將 W 平移 rn 得到的 ， 顯然 ， 且當(dāng)時(shí) 。下證證:任取，由的 W 構(gòu)造知 是個(gè)單點(diǎn)集 ，設(shè)為=,于是,的每個(gè)分 量均為有理數(shù) , 故, 因此存在一個(gè) n0, 使得 =。這樣 , 即。綜合可得 : 。證明 Wn 為不可測(cè)集 假設(shè) Wn 是可測(cè)集 ，則 Wn 具有完全可加性。由外測(cè)度的單調(diào)性得 : 再由完全可加性及次可加性得 : 于是有 : 再由平移不變?cè)淼?:, 又由 的收斂性知 :則式變?yōu)?: 矛盾 , 故是不可測(cè)集。而 , 所以我們?cè)?n 維可測(cè)集 E 中構(gòu)造出來(lái)的集合是不 可測(cè)集。結(jié)論: 上面的不可測(cè)集是在外測(cè)度大于零又有界的集合