第4章 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置關(guān)系

1、土木工程制圖教學(xué)提示：教學(xué)提示：在空間中，直線與平面之間和在空間中，直線與平面之間和兩平面之間的相對(duì)位置可分為兩平面之間的相對(duì)位置可分為平行、相交平行、相交及及垂直垂直3 3種情況。種情況。學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求：掌握直線與平面之間和兩平面掌握直線與平面之間和兩平面之間之間3 3種相對(duì)位置關(guān)系的判定條種相對(duì)位置關(guān)系的判定條件以及求其交點(diǎn)、交線的作法。件以及求其交點(diǎn)、交線的作法。 土木工程制圖 ABLabccabXOOXbaccbadeed4.1 直線與平面平行4.2 過點(diǎn)c作平面平行于直線AB 直線直線L與與P平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線AB平行，則平行，則L平行于平面平行于平面P。反之，如果直線。反

2、之，如果直線L平平行于行于P平面，則在平面平面，則在平面P可以找到與直線可以找到與直線L平行的直線。平行的直線。 土木工程制圖。abccabXOOXbaccbadeed土木工程制圖PpABCDcdpbaHHpabdcbadcXO 土木工程制圖。 【分析】過【分析】過e e作作efef /ad /ad，過，過f f 向上作連系線，則過向上作連系線，則過ee與連系線相交的直線都與連系線相交的直線都為所求，此處我們?nèi)∑渲幸粭l，即過為所求，此處我們?nèi)∑渲幸粭l，即過ee作作cdcd的平行線，與連系線相交于的平行線，與連系線相交于一點(diǎn)即為一點(diǎn)即為ff。bacdadcbebacdadcbefeefOXOX土

3、木工程制圖PQBCADFE土木工程制圖 【分析】如圖【分析】如圖4.64.6（b b）所示，過）所示，過A A點(diǎn)作兩條直線點(diǎn)作兩條直線ABAB和和ACAC，使，使ABAB/DEDE, ,ACAC/DFDF, , 即即a ab b/dede，abab/dede, , ac ac/dfdf, , ac ac/d d f f，則，則ACAC和和ABAB所決定的平所決定的平面即為所求。面即為所求。XOOXadefbccbadeffedfedaa土木工程制圖PQqppqXOVHpqqpXO 土木工程制圖 【分析】由已知可得，【分析】由已知可得，CDE CDE 為鉛垂面，且為鉛垂面，且ab/cdeab/c

4、de，過，過a a作作am/cdam/cd, ,連連 接接bmbm，則，則AMBAMB即為所求即為所求 。abbaccddeeabbaccddeemmXOXO土木工程制圖 LCDBAPebadccdabehhqq 直線與平面垂直的幾何條件直線與平面垂直的幾何條件是：是：若直線垂直于平面內(nèi)的兩若直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線，則該直線與平面垂相交直線，則該直線與平面垂直。直。反之，若直線垂直于平面，反之，若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的所有則該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。直線。 在投影圖上作平面的垂線時(shí)，可作出平面上的正平線和水平線作為面上的相交二直線。 根據(jù)兩直線垂直的直角投影特性可知，

5、所作垂線與正平線所夾的直角，在V面投影仍反映為直角。垂線與水平線所夾的直角，在H面投影仍反映為直角。 土木工程制圖【分析【分析】 如圖如圖4.104.10（b b）所示，要過）所示，要過E E作平面作平面Q Q的垂線，可先作出的垂線，可先作出Q Q平面上正平線平面上正平線 AB AB 和水平線和水平線CD CD 的兩面投影的兩面投影abab，cdcd，abab，cdcd； 過過e e，ee分別垂作分別垂作ehehcdcd，ehehaab b，EHEH即為所求垂線。即為所求垂線。eeqqebadccdabehhqq土木工程制圖QPABababppabH 直線垂直于投影面垂直面時(shí)，它必然是一條投影

6、面平行線，平行于該平直線垂直于投影面垂直面時(shí)，它必然是一條投影面平行線，平行于該平面所垂直的投影面，該面的積聚投影與該垂線的同面投影相互垂直。面所垂直的投影面，該面的積聚投影與該垂線的同面投影相互垂直。土木工程制圖 【分析】如圖所示，平面【分析】如圖所示，平面ABCD為鉛垂面，在為鉛垂面，在H面積聚為一條線段，要作鉛垂面的面積聚為一條線段，要作鉛垂面的垂線，只需作出其垂線，只需作出其H面投影的垂線即可。與鉛垂面垂直的直線均為水平線，因此，所面投影的垂線即可。與鉛垂面垂直的直線均為水平線，因此，所求垂線的求垂線的V面投影一定為平行于面投影一定為平行于OX軸直線。軸直線。bacdadceeb土木工

7、程制圖 過過e e點(diǎn)作點(diǎn)作ememadad，則，則emem即為所求垂線的即為所求垂線的H H面投影。面投影。 過過ee作作OXOX軸的平行軸的平行 線，過線，過m m向上作連系線，兩者向上作連系線，兩者交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)m m，則，則emem 即為即為所求垂線的所求垂線的V V面投影。面投影。bacdadcbemem土木工程制圖【例【例7 7】作正垂面垂直于正平線】作正垂面垂直于正平線CDCD。【分析【分析】要作正垂面垂直于正平線，只需在V投影面作cd的垂線，在此垂線上我們 定點(diǎn)a、b、m，向下作連系線，可確定平面ABM即為所求正垂面。dcdcdcdcambabm土木工程制圖三、兩平面相互垂直兩

8、平面相互垂直 PQLABCD 兩平面垂直的幾何條件是：若一平面上有一直線與另一平面垂直，則兩平面相互垂直。如圖所示，因P平面中一條直線L垂直于平面Q,則PQ。 在特殊情況下，當(dāng)兩平面都是同一投影面的垂直面時(shí)，則兩平面的垂直關(guān)系可直接在兩平面的積聚投影中表現(xiàn)出來。土木工程制圖【例【例8 8】過點(diǎn)】過點(diǎn)A A作平面作平面ABCABC垂直于垂直于DEFDEF且平行于且平行于MNMN。defdeamnXafmnodefdeackmnghghXacfkmno【分析【分析】作平面垂直于已知平面時(shí)，需先作一直線垂直于已知平面，然后包含所作垂線作平面即可。因又要求平面平行于直線MN，故作另一直線平行于MN即可

9、。 土木工程制圖defdeackmnghghXacfkmno作圖步驟： 過A點(diǎn)作直線垂直于DEF。先在DEF內(nèi)作水平線DG和正平線EH，然后過A作直線AK與水平線和正平線垂直，即akfg，akdh。則AK即與DEF垂直。 包含AB作平面平行于MN。即作一直線AC，使ac/mn, ac/mn,則直線AK與AC所組成的平面平行于直線MN。土木工程制圖4.3直線與平面、平面與平面相交直線與平面、平面與平面相交 直線與平面相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為交點(diǎn)，交點(diǎn)是平面與直線的共有點(diǎn)，它既在直線上又在平面上。 平面與平面相交于一條直線，該直線稱為交線，交線是兩平面的共有線，它應(yīng)同屬于兩平面。 直線與平面、平面與平

10、面相交的求解方法一般有兩種。 （1）積聚投影法：當(dāng)直線或平面有積聚投影時(shí)，可利用積聚投影來求交點(diǎn)或交線。 （2）輔助面投影法：當(dāng)直線或平面均無積聚投影時(shí)，可利用輔助平面來求交點(diǎn)或交線。交點(diǎn)、交線是互相聯(lián)系的，為敘述方便起見，先介紹幾種特殊情況，然后再討論一般的作圖方法。土木工程制圖一、一般位置直線與特殊位置平面相交一、一般位置直線與特殊位置平面相交 由于平面處于特殊位置時(shí)，其某一投影具有積聚性因此可利用其積聚投影來求交點(diǎn)，并判別可見性。 如圖所示，一般線AB與鉛垂面P 相交，交點(diǎn)K 既在AB上又在P 平面上。ABPbapXOpapabb12k1(2)kXOpabHabkK土木工程制圖【例例9

11、9】 求直線AB與平面P的交點(diǎn)K，并判別可見性。bapXOpab【分析】平面P為鉛垂面，因此直線AB與平面P的交點(diǎn)的投影必在平面P的H面積聚線段上，又因?yàn)榻稽c(diǎn)是兩者的公共點(diǎn)，所以p與ab的交點(diǎn)k既為所求交點(diǎn)的H面投影，由此作連系線，再與ab交得k。 土木工程制圖XOpapabb12k1(2)k1、判斷交點(diǎn)的H面投影位置。2、作出交點(diǎn)的V面投影。3、判斷交點(diǎn)兩側(cè)直線的可見性。 （1）可見部分與不可見部分的分界點(diǎn)為交點(diǎn)K，從水平投影中可以看出，在k點(diǎn)的右邊，ab在p的前面，因此k的右邊ka為可見，左邊kb 為不可見。 （2）也可用重影點(diǎn)來判斷，即取AB與平面P邊線的重影點(diǎn)1（2），其在H面上的投影

12、1在2的前方，故由前向后看，2點(diǎn)不可見，其所在的直線段2k不可見，因而2k 畫為虛線。） 土木工程制圖由于直線具有積聚性，因此可利用其積聚投影來求交點(diǎn)，并判別可見性。CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b)如圖所示，鉛垂線AB與平面CDE相交，交點(diǎn)K既在AB上又在CDE平面上。土木工程制圖CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b)CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b)土木工程制圖bkcededcaO

13、X1322(3)k1（1）求交點(diǎn) 因直線AB在H面積聚成一點(diǎn)，則交點(diǎn)k必在其上，且交點(diǎn)K又在CDE上，可根據(jù)平面上取點(diǎn)的方法作輔助線DI,然后求出k。（2）判斷可見性 取交叉兩直線的重影點(diǎn)II、III，從H面可知，2在前，3在后，在V投影面上為2（3）。因II在CDE上，而III在直線AB上，故kb不可見，應(yīng)畫虛線。 土木工程制圖 ABCPpacbMNm(n)HXOacbpcapbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)土木工程制圖ABCPpacbMNm(n)HXOacbpcapbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)ABCPpacbMNm(n)HXOacbp

14、capbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)土木工程制圖pacpbcaOX12m(n)1(2)nm（1）求交點(diǎn) 如圖所示，因ABC與平面P均垂直于H面，故交線必為鉛垂線，且積聚于一點(diǎn)m(n)，然后作出此交線的V面投影mn，它的長(zhǎng)度僅為兩平面在V面的共有部分。（2）判斷可見性 在V面投影中，取交叉兩直線的任一重影點(diǎn)I、II，判斷可見性1（2），從H面可知，1在前，2在后，因1在ABC上,而2在平面P上，故an可見為實(shí)線。這時(shí)交線mn為可見與不可見的分界線。土木工程制圖 一般位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的積聚性投影求交線，并判斷可見性。 HbBCpnmacMN

15、APbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面與鉛垂面相交 4.23一般面與鉛垂面交線的求法 鉛垂面P與ABC 相交，由于P 面的H 面投影積聚為p，交線MN 的H 投影mn在p上；交線MN既在ABC上又在平面P上。利用平面的積聚投影求交線，并判別可見性。 土木工程制圖HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面與鉛垂面相交 4.23一般面與鉛垂面交線的求法HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面與鉛垂面相

16、交 4.23一般面與鉛垂面交線的求法土木工程制圖HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面與鉛垂面相交 4.23一般面與鉛垂面交線的求法12mnmn1(2) 如圖所示，因平面如圖所示，因平面P P 垂垂直直H H 面，故交線面，故交線mnmn 必在必在p p上，為上，為abcabc與與p p 的公共的公共部分，交點(diǎn)為部分，交點(diǎn)為mnmn, ,利用交利用交線線MNMN在在ABCABC上，由上，由mnmn求求mnmn。利用。利用V V 面的重影面的重影點(diǎn)點(diǎn)11（22）來判別可見）來判別可見性。性。土木工程制圖m1(2)mnba

17、cpacpbn12XO土木工程制圖 直線與一般位置平面相交。由于一般位置直線、平面的投影沒有積聚性，因此，在投影圖中不能直接求出它們的交點(diǎn)。 直線AB與平面CDE 相交，由于交點(diǎn)K 是平面與直線的共有點(diǎn)，故過K 點(diǎn)可在平面CDE 內(nèi)任作一直線MN，直線MN 與已知直線AB 可構(gòu)成一個(gè)輔助平面R，而MN 就是輔助平面與已知平面的交線。MN 與直線AB 的交點(diǎn)K 即為已知直線與平面的交點(diǎn)。 由此可得出利用輔助平面求一般位置的直線與平面交點(diǎn)的作圖方法：(1)包含AB 直線作一輔助平面R;(2)求輔助平面R 與己知平面CDE 的交線MN；(3)求AB 直線與交線MN 的交點(diǎn)K。 ABDCEMNKR土木

18、工程制圖【例【例13】 已知直線已知直線DE和和ABC的兩投影，試求的兩投影，試求DE和和ABC的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。土木工程制圖作圖步驟： 過DE 作鉛垂面P?？稍谕队皥D上延長(zhǎng)de，加上標(biāo)記PH。 求P 和ABC 的交線FG,fg和fg 即為交線的兩面投影。 fg與de 相交于點(diǎn)k，從k 引鉛直連線與de 相交于k，則k、k即為所求交點(diǎn)的兩面投影。 判別可見性,整理如圖。土木工程制圖 兩一般位置平面相交。求兩一般位置平面的交線時(shí)，可選其中一個(gè)平面內(nèi)的兩一般位置平面相交。求兩一般位置平面的交線時(shí)，可選其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線，求出它與另一平面的交點(diǎn)，即得交線上的一個(gè)點(diǎn)。用同樣方法求出任一直線，求出它與另一平面的交點(diǎn)，即得交線上的一個(gè)點(diǎn)。用同樣方法求出另一個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)連線即為兩平面的交線。另一個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)連線即為兩平面的交線。befdac1(2)mndfeabcmn1233(4)