2022年2022年根據(jù)遞推公式,求數(shù)列通項公式的常用方法總結歸納

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載求遞推數(shù)列通項公式的常用方法歸納目錄一.概述· · · · · · ·· · · · ·· · · · ·二.等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式· · · ·· · · · ·· · · · ·· · ·1.等差

2、數(shù)列通項公式的推導過程· · · · ·· · · · · · · · · · ·2.等差數(shù)列前n 項和公式的推導過程· · · · · ·· · · · ·· · · · · ·三.一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法· · · ·

3、· · · · · · · · · ·· · ·1.公式法· · · · · · · ·· · · · ·· · · ·2.歸納猜想法· · · · · ·· · · · ·· &

4、#183; · · ··3.累加法· · · · · ·· · · · ·· · · · ··4.累乘法· · · · ·· · · · · ·· · · · · ·5.構造新函數(shù)法 待定系數(shù)法）· ·

5、; · · ·· · · · ·· · · · · ··6.倒數(shù)變換法· · · · · ·· · · · ·· · · · ··7.特點根法· · · · ·· · · · ·&

6、#183; · · · ·· ·8.不動點法· · · · ·· · · · ·· · · · ·· ·9.換元法· · · · ·· · · · ·· · · · ·· ·10.取對數(shù)法·

7、 · · · · · · · · · ·· · · · ··11.周期法· · · · · · · · · · ·· · · · ··精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載一.概述在高中數(shù)學課程內容中,數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一,不僅在高中數(shù)

8、學中具有重要位置,而且,在現(xiàn)實生活中有著特別廣泛的作用,同時,數(shù)列的教學也為培育觀看.分析.歸納. 猜想. 規(guī)律推理以及運用數(shù)學學問提出問題.分析問題和解決問題的必不行少的重要途徑；數(shù)列這一章包蘊著多種數(shù)學思想及方法,如函數(shù)思想.方程思想,而且在基本概念.公式的教學本身也包含著豐富的數(shù)學方法,把握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念.公式的懂得, 而且運用數(shù)學思想方法解決問題的過程,往往能誘發(fā)學問的遷移,使同學產生舉一反三.融會貫穿的解決多數(shù)列問題；在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學方法：1.不完全歸納法不完全歸納法不但可以培育同學的數(shù)學直觀,而且可以幫忙同學有效的解決問題,在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通

9、項公式推導的過程就用到了不完全歸納法；2.倒敘相加法等差數(shù)列前n 項和公式的推導過程中,就依據(jù)等差數(shù)列的特點,很好的應用了倒敘相加法,而且在這一章的許多問題都直接或間接地用到了這種方法；3.錯位相減法錯位相減法為另一類數(shù)列求和的方法,它主要應用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉化,并且為多個數(shù)求和的問題；等比數(shù)列的前n 項和公式的推導就用到了這種思想方法；4.函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就為一個特別的函數(shù),而且為離散的函數(shù),因此在解題過程中,特別在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特別的數(shù)列時,可以將它們看成一個函數(shù),進而運用函數(shù)的性質和特點來解決問題；5.方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個關于首項.

10、末項.項數(shù).公差.公比.第n 項和前n 項和這些量的數(shù)學公式,而公式本身就為一個等式,因此,在求這些數(shù)學量的過程中,可將它們看成相應的已知量和未知數(shù),通過公式建立關于求未知量的方程,可以使解題變得清楚.明白,而且簡化明白題過程；二.等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式第一節(jié)：等差數(shù)列前n 項和的推導過程1.等差數(shù)列通項公式：1 可以從等差數(shù)列特點及定義來引入；定義： n2時,有 an an 1=d ,就： a2=a1 d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載a3=a2 d=a12d a4=a3 d=a1 3d a5=a4 d=a14d推測并寫出an=？（2 ）實行累加a2

11、a1=d a3 a2=d a4 a3=dan an 1=d累加后,有：an a1=n 1d ,即：an=a1 n 1d ；2.等差數(shù)列前n 項和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1 + 2 + 3 +50+51+98+99+100= ？1+100=101, 2+99=101,、50+51=101 ,所以原式 =50（ 1+101）=5050就利用高斯算法,簡潔進行類比,過程如下：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 1a 2a 3.a n2a n1a n.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其中a1a na 2a n1a 3a

12、 n2.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 mnpq 、就 a ma na pa q精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載這里用到了等差數(shù)列的性質：問題為一共有多少個a1an ,同學自然想到對n 取奇偶進行爭論；（1）當 n 為偶數(shù)時：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sna1ananan122精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sn aan21n（2）當 n 為奇數(shù)時：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sna1a n 112a n 12an 1an12精品學習資料精選學習資料

13、 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載分析到這里發(fā)覺a n 1 “落單”了,好像遇到了阻礙,此時勉勵同學不能舍棄,在2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載老師的適當引導下,不難發(fā)覺,an 1 的角標與2 a1an 角標的關系精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1snn1a 2an an 12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1n1 a2an an 12an 122精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n aa 21nn精品學習資料精選

14、學習資料 - - - 歡迎下載從而得到,無論n 取奇數(shù)仍為偶數(shù),sn a1 2an 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載總結：（ 1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對”,發(fā)覺需要對n 取奇偶進行爭論,思路自然,簡潔把握；（2）不少資料對n 取奇數(shù)時的處理方法為,當爭論進行不下去時轉向尋求其它解決方法,進而引出倒序相加求和法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載方法二：對 n 的奇偶進行爭論有點麻煩,能否回避對n 的爭論呢？接下來給出實際問題：伐木工人為如何快速運算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載s

15、na1a2an 1an精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載snan兩式相加得：an 12snaa2a1a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n1nsn aa n21n總結：（ 1）數(shù)學學習需要最優(yōu)化的學習,因此引導同學去尋求更有效的解決方法,讓同學在解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決方法,而我們需要的為具備高效率的方法；（2）倒序相加求和法為重要的數(shù)學思想,方法比公式本身更為重要,為以后數(shù)列求和的學習做好了鋪墊；（3）在過程中體會數(shù)學的對稱美；三.一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

16、迎下載一.公式法例 1. 已知無窮數(shù)列a n的前 n 項和為sn ,并且ansn1nn * ,求a n的通項公精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載式？【解析】：s1a ,assaa,a1 a ,又 a1 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nnn 1n 1nnn 1n 1n122精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nna1.2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思：利用相關數(shù)列an與sn的關系： a1s1 、 ansnsn1 n2 與提設條件,建精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載立遞推關系,為

17、此題求解的關鍵.二. 歸納猜想法 ：由數(shù)列前幾項用不完全歸納推測出數(shù)列的通項公式,再利用數(shù)學歸納法證明其正確性,這種方法叫歸納法.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2. 已知數(shù)列a n中,a11 , an2an 11n2 ,求數(shù)列a n的通項公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】：a11 , an2an 11n2 ,a22a113 , a32a217精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載推測 an2 n1 n*n ,再用數(shù)學歸納法證明.（略

18、）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思： 用歸納法求遞推數(shù)列,第一要熟識一般數(shù)列的通項公式,再就為肯定要用數(shù)學歸納法證明其正確性 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三 .累加法 ：利用 ana1 a2a1anan 1 求通項公式的方法稱為累加法；累加精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載法為求型如an 1anf n 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（f n 可求前 n 項和） .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例3. 已 知 無 窮 數(shù) 列an的 的 通 項

19、 公 式 為 ann1, 如 數(shù) 列bn2滿 足 b11 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nbb1n1) ,求數(shù)列b的通項公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2n 1nn精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】： b11、 bn 1bnn1 n1 、2bnb1b2b1 bnbn 1 =1+1+.+2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n 1n 11= 21.22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思 :用累加法求通項公式的關鍵為將遞推公式變形為an 1anf n ；精品學習資料精

20、選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四 .累乘法 : 利用恒等式aa a2 a3ana0、 n2) 求通項公式的方法稱為累乘法、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n1a1 a2nan 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載累乘法為求型如:an 1gna n 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法數(shù)列g n 可求前n 項精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載積 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4. 已知 a1 、 an aa nn * 、求數(shù)列a通項公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1nn 1n

21、n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】：an aa 、an 1n1、又有 aaa2 a3an a0、 n2 =精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nn 1nannn1a1 a2nan 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載23n1×× ××12n-1= n 、當 n1 時 a11 ,滿意ann ,ann .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思 : 用累乘法求通項公式的關鍵為將遞推公式變形為an 1g n a n .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

22、載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載五.構造新數(shù)列 （待定系數(shù)法）: 將遞推公式an+1qand （ q 、d 為常數(shù), q0 , d0 ）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載通過 an 1xq anx 與原遞推公式恒等變成an 1dqad 的方法叫構精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nq1q1造新數(shù)列,也即為待定系數(shù)法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 5.已知數(shù)列an中、a11 、 an2an 11n2 、求an的通項公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習

23、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】 :利用anx2an 1x 、求得 an12 an 11 、an1為首項為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a112 、公比為 2 的等比數(shù)列 、即 an12n 、a2n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n反思：構造新數(shù)列的實質為通過an 1xq anx 來構造一個我們所熟知的等差或等比精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數(shù)列 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載六 .倒數(shù)變換 ：將遞推數(shù)列an 1canc0、

24、 d0 、取倒數(shù)變成1d11的形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載andan 1c anc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載式的方法叫倒數(shù)變換；然后就轉變?yōu)榈谖宸N情形,此時將數(shù)列1看成一個新的數(shù)列,即an精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載再利用“構造新數(shù)列”的方法求解；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n例 6. 已知數(shù)列a nn * 中、a1 、 anan12an、求數(shù)列1an的通項公式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1【解析】 :將

25、an 1an取倒數(shù)得 :121、112 、1為以11精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 an1an 1anan 1anana1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1為首項 、公差為 2 的等差數(shù)列 .an12n1 、an1.2n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思 :倒數(shù)變換有兩個要點需要留意:一為取倒數(shù) .二為肯定要留意新數(shù)列的首項、公差或公比變化了；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載七. 特點根法： 形如遞推公式為an 2pa n 1qa n （其中 p, q 均為常數(shù)） ；精品學習資料精選學

26、習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載對 于 由 遞 推 公 式 an 2pan 1qan, 有 a1、 a2給 出 的 數(shù) 列a n, 方 程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2pxq0 ,叫做數(shù)列a n的特點方程；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 x1 、 x2 為特點方程的兩個根,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載21學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2當 x1x2 時,數(shù)列an的通項為 a nax n 1bx n,其中a , b 由 a

27、1、 a2打算精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1（即把a1 、 a2、 x1 、 x2 和 n1、2 ,代入 a nax n 1bxn1 ,得到關于a .b 的方程組）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1當 x1x2 時,數(shù)列a n的通項為 anabnxn1 ,其中 a ,b 由 a、 a2打算（即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載把 a1、a 2、 x1、 x2 和 n1、2 ,代入 an abn x n1111,得

28、到關于a .b 的方程組）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 7: 數(shù)列a n滿意3a n 25a n 12 an0 n0、 nn ,a1a、 a2b 、求 an精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】：由題可知數(shù)列的特點方程為：3 x 25x20 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2x11、 x2、13精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1naax n 1aabbx n 1a2a3b2 nb 32a；又由 a1a、 a 2b ,于為2 n 1精品學

29、習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ba2 b 3b3ab故 an3b2a3ab 3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思：此題解題的關鍵為先求出特點方程的根；再由初始值確定出a、b的用已知量a、b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載表示的值,從而可得數(shù)列 an 的通項公式；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載八.不動點法如 a、b0 且 ad-bc0 ,解 xaxdcxd、設、為其兩根精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載i .如,數(shù)列ii .如,數(shù)列 a

30、na n1a n 為等比數(shù)列； 為等差數(shù)列；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 8.已知數(shù)列式； a n 滿意 a n17 a n2 a n2, a132 ,求數(shù)列 a n 的通項公精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】：令 x的不動點；7 x22x3, 得 2x 24x20 ,就 x=1 為函數(shù)f x 3x14x7精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于a n111所以7 a n2a n2a n215

31、a n532a n3332a n252 1212 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a n 1115a n515a n1511a n12a n15精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a1所以數(shù)列n為以a1121為首項,以為公差的等差數(shù)列,就5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載11an1n125a,故n2n8；2n3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載反思：此題解題的關鍵為先求出函數(shù)1f x 3x 4 x11的不動點,即方程72x7x2 的2x31精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載根 x1,進

32、而可推出a n 11a n15 ,從而可知數(shù)列a n1為等差精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數(shù)列,再求出數(shù)列1a n1的通項公式,最終求出數(shù)列 an 的通項公式；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載九.換元法即為將一復雜的整體用一個新的符號來表示,從而使遞推數(shù)列看起來更簡潔,更易找到解決的方法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 9. 已知數(shù)列 a n 滿意 a n111164 a n124 a n, a 11 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求數(shù)列

33、 a n 的通項公式；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】：令 b na11 b 224 a n1,就 a n1 b 21n24精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故n124n1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載代入 a n111164 a n124 a n 得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n1 b 21241111641b 21n24b n 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n1即 4b2bn32精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于 b n124 a n0 ,故 b n1124 a n10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 2b n1b n133 ,即 b n 1b n,22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載可化為 b n 131 bn23 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡