第4章_線性系統(tǒng)的根軌跡法(《自動(dòng)控制原理》課件)

1、 第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法線性系統(tǒng)的根軌跡法 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 先通過一個(gè)簡單的例子先通過一個(gè)簡單的例子, 了解一下根軌跡的本質(zhì)是什么了解一下根軌跡的本質(zhì)是什么.設(shè)有二階代數(shù)方程設(shè)有二階代數(shù)方程0232Kss, 由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理, 可求出其二個(gè)根可求出其二個(gè)根為為:Ks25. 05 . 12, 1, 由于代數(shù)方程是二階的由于代數(shù)方程是二階的, 求其根很方便求其根很方便即便如此即便如此, 當(dāng)可變參數(shù)當(dāng)可變參數(shù)K從從0連續(xù)變化到正無窮大時(shí)連續(xù)變化到正無窮大時(shí), 計(jì)算這兩個(gè)計(jì)算這兩個(gè)根的所有值是相當(dāng)麻煩的根的所有值是相當(dāng)麻煩的. 那么能否在根平面即那么能否在根

2、平面即S平面上畫出這平面上畫出這兩個(gè)根隨兩個(gè)根隨K從從0連續(xù)變化到正無窮大時(shí)的變化軌跡呢連續(xù)變化到正無窮大時(shí)的變化軌跡呢? 下面從兩下面從兩個(gè)根的表達(dá)式著手來畫個(gè)根的表達(dá)式著手來畫. (1)K=0, 則則 2, 121ss, 在在S平面上的位置如下圖所示平面上的位置如下圖所示:0-1 -2j (2) 當(dāng)當(dāng)0K=0.25時(shí)時(shí), 一個(gè)根的絕對值隨一個(gè)根的絕對值隨K的增大而增大的增大而增大, 另另一個(gè)根的絕對值隨一個(gè)根的絕對值隨K的增大而減小的增大而減小, 兩根的變化軌跡如下圖所示兩根的變化軌跡如下圖所示:0-1 -2j -1.5當(dāng)當(dāng)K=0.25時(shí)時(shí), 兩根相等兩根相等, 均為均為-1.5 (3)

3、0.25K m時(shí)時(shí),有有n-m條根軌跡的終點(diǎn)隱藏于條根軌跡的終點(diǎn)隱藏于S平面上的無平面上的無窮遠(yuǎn)處窮遠(yuǎn)處;當(dāng)當(dāng)nn時(shí)時(shí), 有有m-n條根軌跡從條根軌跡從無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)沿?zé)o窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)沿1, 2 , 1 , 0) 12(1nmknmknmpzanjjmiia一組漸近線進(jìn)入有限零點(diǎn)一組漸近線進(jìn)入有限零點(diǎn), 這一組漸近線的這一組漸近線的由下式計(jì)算由下式計(jì)算: :a和和a 法則法則5 根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn):兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在S平面平面上相遇又分開的點(diǎn)稱為上相遇又分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)分離點(diǎn). 一般常見的分離點(diǎn)多位于實(shí)一般常見的分離點(diǎn)多位于實(shí)軸上軸上, 但有時(shí)也

4、產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對中但有時(shí)也產(chǎn)生于共軛復(fù)數(shù)對中(即在復(fù)平面上即在復(fù)平面上).分離點(diǎn)必為分離點(diǎn)必為重根點(diǎn)重根點(diǎn), 分離點(diǎn)分離點(diǎn)d的值可由下式計(jì)算的值可由下式計(jì)算:miinjjzdpd1111由上式算得的由上式算得的分離點(diǎn)分離點(diǎn)d值必須使值必須使K0, 或者講必須在根軌跡上或者講必須在根軌跡上. 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有一個(gè)零點(diǎn)時(shí), 分離點(diǎn)分離點(diǎn)d的值由下式計(jì)算的值由下式計(jì)算: 011njjpd現(xiàn)計(jì)算例子中的現(xiàn)計(jì)算例子中的分離點(diǎn)分離點(diǎn)d值值, 由于由于:271271101113413415 . 015 . 0181611jdjdddjdjdjdjdddd對上式整理得對上式整理得

5、:用手工解十次代數(shù)方程相當(dāng)麻煩用手工解十次代數(shù)方程相當(dāng)麻煩. 但在實(shí)軸上的分離點(diǎn)有以下兩但在實(shí)軸上的分離點(diǎn)有以下兩個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn): (1) 實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的區(qū)段如實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的區(qū)段如是根軌跡是根軌跡, 則其上必有一個(gè)分離點(diǎn)則其上必有一個(gè)分離點(diǎn). 這兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相這兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)中有一個(gè)可以是無限極點(diǎn)或零點(diǎn)鄰的零點(diǎn)中有一個(gè)可以是無限極點(diǎn)或零點(diǎn). (2) 實(shí)軸上某區(qū)段是根軌跡的話實(shí)軸上某區(qū)段是根軌跡的話, 如這區(qū)段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是如這區(qū)段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是極點(diǎn)極點(diǎn), 而另一個(gè)是零點(diǎn)而另一個(gè)是零點(diǎn), 則此區(qū)段上要么沒有分離點(diǎn)則

6、此區(qū)段上要么沒有分離點(diǎn), 如有如有, 則不則不止一個(gè)止一個(gè). 利用以上兩個(gè)特點(diǎn)可初步判斷實(shí)軸上那些區(qū)段上有分離點(diǎn)利用以上兩個(gè)特點(diǎn)可初步判斷實(shí)軸上那些區(qū)段上有分離點(diǎn),然后用試探法求近似的分離點(diǎn)值然后用試探法求近似的分離點(diǎn)值, 求出一個(gè)后求出一個(gè)后, 對整理后的方程對整理后的方程可降一階可降一階.040677525.6709175.640674625.58474375.499357233825.572799375.543075.6215 .382345678910dddddddddd 法則法則6 起始角與終止角起始角與終止角:根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾

7、角與正實(shí)軸的夾角,叫起始角叫起始角,以以ip標(biāo)識標(biāo)識; 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角,叫叫終止終止角角,以以iz標(biāo)識標(biāo)識, 且且:)()(1)(1)(11njzpmijjzzznijjppmjpzpijijiijiji上兩式中上兩式中 ip表示下標(biāo)序號為表示下標(biāo)序號為i的開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角的起始角.ipijpz表示以下標(biāo)序號為表示以下標(biāo)序號為j的開環(huán)零點(diǎn)的開環(huán)零點(diǎn)jz為始點(diǎn)指向?yàn)槭键c(diǎn)指向ip的矢量與正實(shí)軸方向的夾角的矢量與正實(shí)軸方向的夾角.表示以下標(biāo)序號為表示以下標(biāo)序號為j的開環(huán)極點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)表示下標(biāo)序號為表示下標(biāo)序號

8、為i的開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)ijppjp為始點(diǎn)指向?yàn)槭键c(diǎn)指向ip的矢量的矢量與正實(shí)軸方向的夾角與正實(shí)軸方向的夾角.iziz的的終止終止角角.ijzz表示以下標(biāo)序號為表示以下標(biāo)序號為j的開環(huán)零點(diǎn)的開環(huán)零點(diǎn)jz為始點(diǎn)指向?yàn)槭键c(diǎn)指向iz的矢量與的矢量與正實(shí)軸方向的夾角正實(shí)軸方向的夾角.ijzp表示以下標(biāo)序號為表示以下標(biāo)序號為j的開環(huán)極點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)jp為始點(diǎn)指向?yàn)槭键c(diǎn)指向iz的矢量的矢量與正實(shí)軸方向的夾角與正實(shí)軸方向的夾角. 現(xiàn)以所舉例子中序號為現(xiàn)以所舉例子中序號為4即即i=4的開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為例的開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為例, 說明它說明它的起始角的計(jì)算過程的起始角的計(jì)算過程. 由計(jì)算起始角的公式可得由計(jì)算起

9、始角的公式可得:417)4(1)(444jjjpppzpjj43pz上式中上式中:(弧度弧度)7718.74324.01526.021049.01071.15 .635 .6125 .915 .01111141444342414ggggpzpzpzpzjpzttttj0p1123-1z1p4p5p6-6p2-8p3-10z2p7z3z4jj41pz44pz42pz46pp同理可得同理可得:(弧度弧度)5283.108520. 05191. 0221326. 01799. 01071. 15 . 345 . 32225 . 715 . 515 . 01111117)4(1474645434241

10、4gggggppppppppppppjjpptttttj0p1123-6p2-8p3-10z2-1z1p4p5p6p7z3z4jj41pp47pp45pp42pp43pp從而從而:由于根軌跡的對稱性由于根軌跡的對稱性, 則則:9783.213834.05283.107718.74p9783.215p 其它開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角和開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的其它開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角和開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的終止終止角同理角同理計(jì)算計(jì)算. 法則法則7 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn):若根軌跡與虛軸有交點(diǎn)若根軌跡與虛軸有交點(diǎn), 則則交點(diǎn)處的臨界根軌跡放大倍數(shù)交點(diǎn)處的臨界根軌跡放大倍數(shù)KC值和值和值可令值可令s=j代入閉

11、環(huán)特代入閉環(huán)特征方程征方程 1+G1+G0 0( (s)=0, 再令其實(shí)部和虛部分別等于零而求得再令其實(shí)部和虛部分別等于零而求得; 也可由也可由勞斯判據(jù)求得勞斯判據(jù)求得. 下面舉例說明繪制概略根軌跡七條法則的應(yīng)用下面舉例說明繪制概略根軌跡七條法則的應(yīng)用. 例例: 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:)23)(23)(5 . 3)(1()(0jSjSSSSKsG要求畫概略根軌跡圖要求畫概略根軌跡圖.解解: (1)0523, 23, 5 . 3, 1, 054321mnjpjpppp有五條根軌跡分支有五條根軌跡分支.(2) 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: 見下圖見下圖 (3)

12、 漸近線漸近線: P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-359,57,53,54, 3 ,2, 1 ,05)12(1 .2523235 .3104321051aaaaaajjakkjjmnp漸近線見下圖漸近線見下圖: (4)出射角出射角:P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.12734.2676648.423258.14588.025 .02)22()32(1115)4ggppppppppjjppptttj出射角相當(dāng)于出射角相當(dāng)于92.7266度度, 由于對稱性由于對稱性, (5) 分離點(diǎn)分離點(diǎn):7266.925

13、p0136625 . 311112312315 . 311111251ddddddjdjddddpdjj上式手工求解較為麻煩上式手工求解較為麻煩, 采用試探法采用試探法. 由于實(shí)軸上由于實(shí)軸上0與與-1之間必有之間必有分離點(diǎn)分離點(diǎn), 若使若使d=-0.4, 則上式左邊約為則上式左邊約為-0.027, 接近接近0. (6) 根軌跡與虛軸交點(diǎn)根軌跡與虛軸交點(diǎn): 由由G0(s)可得閉環(huán)特征方程為可得閉環(huán)特征方程為: 05 .455 .795 .435 .10)(2345KssssssD則則:05 .455 .4305 .795 .103524K令上式實(shí)部和虛部分別為零令上式實(shí)部和虛部分別為零, 得得

14、:05 .455 .795 .435 .10)(2345KjjjjD解上面聯(lián)立方程解上面聯(lián)立方程:28.153845 . 6002314.73036. 1cccKKK后兩組舍去后兩組舍去. 現(xiàn)現(xiàn)用勞斯判據(jù)求用勞斯判據(jù)求根軌跡與虛軸交點(diǎn)根軌跡與虛軸交點(diǎn), 由閉環(huán)特征方程列出由閉環(huán)特征方程列出勞斯行列表表頭并計(jì)算各行各列的值勞斯行列表表頭并計(jì)算各行各列的值, 得如下勞斯行列表得如下勞斯行列表:02123455 .10249755 .1136362875.1545425.3775 .10249755 .1075.4775 .1025.3775 .795 .105 .455 .431KsKKKsKKs

15、KsKss由令由令1s行第一列為零得行第一列為零得:05 .1136362875.154542KK, 解得解得:0562.15528,1812.73ccKK(舍去舍去), 將將1812.73cK代入代入2s行得輔助方程行得輔助方程:01812.7324.682s, 解此輔助方程得解此輔助方程得:036. 1 js完整的概略根軌跡如下圖完整的概略根軌跡如下圖:課外習(xí)題課外習(xí)題: P.166 第第4-3題題,第第4-4題題(1) (3),第第4-5題題(1) 第第4-6題題(2),第第4-10題題(2) (3)P1, 021-2-3.5 p3P2, -1p4p5jj-1-3-2.1 4-3 廣義根

16、軌跡廣義根軌跡 1. 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 繪制根軌跡常以系統(tǒng)開環(huán)增益繪制根軌跡常以系統(tǒng)開環(huán)增益K或開環(huán)根跡增益或開環(huán)根跡增益K作為參變作為參變量量. 但當(dāng)?shù)?dāng)K或或K固定固定, 而系統(tǒng)其它某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)而系統(tǒng)其它某一個(gè)參數(shù)變化時(shí),也可利用繪也可利用繪制根軌跡的法則制根軌跡的法則, 以非以非K或非或非K為參變量繪制概略根軌跡為參變量繪制概略根軌跡, 這時(shí)這時(shí)繪制的根軌跡叫以非繪制的根軌跡叫以非K或非或非K為參變量的根軌跡為參變量的根軌跡, 簡稱參數(shù)根軌簡稱參數(shù)根軌跡跡. 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: )()()(0sPsQsG則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方

17、程為:0)()()()()(1)(10sPsQsPsPsQsG令令:)()()(sQsPsD, D(s)叫特征多項(xiàng)式叫特征多項(xiàng)式, D(s)=0叫特征方程叫特征方程,可可見閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程等于開環(huán)傳遞函數(shù)的分母加分子見閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程等于開環(huán)傳遞函數(shù)的分母加分子.例例: 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:)2(1)(0ssassG, K固定固定, a 可在可在0和和+ 間連續(xù)變化間連續(xù)變化, 則有上面的敘述則有上面的敘述,01) 2()(assssD由上式經(jīng)整理由上式經(jīng)整理, 將含有參變量將含有參變量a的項(xiàng)歸并在一起的項(xiàng)歸并在一起, 即即:稱作等效開環(huán)傳遞函數(shù)稱作等效開環(huán)傳遞函

18、數(shù), 由由012)(2assssD將上面特征方程兩邊同時(shí)除以不含將上面特征方程兩邊同時(shí)除以不含a的的s多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 得得:)(1012102sGssas)(0sG)(0sG, 即可用繪制根軌跡的法即可用繪制根軌跡的法 則則, 繪制以繪制以a為為參變數(shù)的參變數(shù)的概略根軌跡概略根軌跡. 課外習(xí)題課外習(xí)題: P.168第第4-13題題(2),第第4-14題題(2) 2. 附加附加開環(huán)零開環(huán)零極點(diǎn)的作用極點(diǎn)的作用 若閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能不理想若閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能不理想, 可通過附加開環(huán)零可通過附加開環(huán)零極點(diǎn)改極點(diǎn)改變閉變閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能環(huán)系統(tǒng)的控制性能, 其實(shí)質(zhì)是其實(shí)質(zhì)是改變了改變了根軌跡的形狀根軌

19、跡的形狀. (1) 增加開環(huán)增加開環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn) 設(shè)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的原開環(huán)傳遞函數(shù)為)2)(1()(0ssKsG其根軌跡見下圖其根軌跡見下圖:0-1 -2j -1.5由圖可分析得由圖可分析得: 無論無論K多大多大, 閉環(huán)始終穩(wěn)定閉環(huán)始終穩(wěn)定, 但是個(gè)有差系統(tǒng)但是個(gè)有差系統(tǒng). 如如給給G0(s)附加一個(gè)附加一個(gè)s=0的極點(diǎn)的極點(diǎn), 即串接一個(gè)積分環(huán)節(jié)即串接一個(gè)積分環(huán)節(jié), 則則:)2)(1()(0sssKsG其根軌跡圖如下其根軌跡圖如下:附加一個(gè)開環(huán)附加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)后極點(diǎn)后, ,根軌跡向右彎曲根軌跡向右彎曲, 當(dāng)當(dāng)K增至一定值后增至一定值后, 系統(tǒng)系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定, 動(dòng)態(tài)性能變壞動(dòng)態(tài)性能變壞; 但系統(tǒng)在階躍信號作用下由但系統(tǒng)在階躍信號作用下由有差系統(tǒng)變?yōu)闊o差系統(tǒng)有差系統(tǒng)變?yōu)闊o差系統(tǒng). 0-1 -2j (2) 增加開環(huán)增加開環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)設(shè)原開環(huán)傳遞函數(shù)增加一個(gè)設(shè)原開環(huán)