[院校資料]線性代數(shù)第二章ppt課件

1、第第2章矩陣的初等變換與線性方程組章矩陣的初等變換與線性方程組2.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換2.2初等矩陣初等矩陣2.3矩陣的秩矩陣的秩2.4 線性方程組的解線性方程組的解2.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換2.1.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換例例2.1 用消元法解線性方程組用消元法解線性方程組7382273221321321xxxxxxxx787031212321321xxx解解 首先由矩陣的乘法可知，方程組可以寫成矩陣乘積方式首先由矩陣的乘法可知，方程組可以寫成矩陣乘積方式并且該方程組解的情況完全由它的増廣矩陣決議。 703182127321把方程組的消元過程與方程組對應(yīng)的增廣矩

2、陣的變換過程放在一同做對比 7382273221321321xxxxxxxx703182127321 増廣矩陣1把方程組中第二個方程加上第一個方程的-2倍，把第三個方程加上第一個方程的-1倍，得1436457323232321xxxxxxx14310645073217382273221321321xxxxxxxx7031821273212交換上面方程組中第二與第三個方程的位置，得 6451437323232321xxxxxxx64501431073211436457323232321xxxxxxx14310645073213把上面方程組中的第三個方程加上第二個方程的5倍，得7619143732

3、332321xxxxxx7619001431073216451437323232321xxxxxxx64501431073214再把上面方程組中的第三個方程兩邊同乘以-1/19，得4143732332321xxxxxx41001431073217619143732332321xxxxxx761900143107321最后得到的方程組具有這樣的特點：自上而下看，未知量的個數(shù)依次減少，成為階梯形上面用虛線標(biāo)出階梯形方程組。方程組施行了如下三種根本變換：I互換兩個方程的位置；II用一個非零常數(shù)乘某一個方程；III把一個方程的常數(shù)倍加到另一個方程上去。這三種變換都是可逆的，所以變換前后的方程組是同解的

4、，因此也稱方程組的這三種根本變換為方程組的同解變換。經(jīng)過上述消元過程，我們把線性方程組變成一個與它同解的階梯形線性方程組，而對階梯形方程組4143732332321xxxxxx1, 2, 4123xxx求解非常容易，由于只需從最后一個方程開場逐漸往上代入即可求得方程組的解：顯然，此題的求解過程分兩步進展：1按順序消元，使方程組變?yōu)榕c之同解并且易于求解的階梯形方程組；2回代求出方程組的解。我們稱這種求解線性方程組的方法為高斯消元法。在上面的運算過程中，實踐上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進展運算，未知量整個過程中，并未參與任何運算，因此每一步都把它們逐一寫出是多余的，在計算過程中完全可以把它們隱去，只是

5、這時要留意不要打亂系數(shù)的陳列順序。也就是說對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)化為對其增廣矩陣的行作相應(yīng)的變換。把方程組的三種同解變換移植到矩陣上就得到矩陣的三種初等行變換。 kikkri2以非零數(shù)乘矩陣某一行的一切元素第行乘以數(shù)，記作 ；ji,jirr 定義定義2.1 2.1 矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換1 1交換矩陣某兩行的對應(yīng)元素交換第交換矩陣某兩行的對應(yīng)元素交換第兩行對應(yīng)元素，記作 ；kjkijikrr 倍加到另一行對應(yīng)的元素行的倍加到第行上去，記作 。3把矩陣的某一行元素的上去第rc將上述定義中的“行改為“列即為矩陣的初等列變換的定義，其表示方法與行初等變換相仿，只需把換成即可。矩陣的初等行

6、變換和初等列變換統(tǒng)稱矩陣的初等變換。ijrrijrr1. 矩陣的三種初等變換都可逆，且它們的逆變換均為與其同類型的初等變換。即的逆變換為irk1( )irk的逆變換為ick1( )ick的逆變換為ijrkrijrk r 的逆變換為ijckcijck c 的逆變換為ijccijcc的逆變換為ABBA2. 用初等變換將矩陣化為，記為BA BA 有時為了看清變化的方式，往往會在箭頭記號上方加以，通常情況下。闡明，但不能記為BArAB把矩陣經(jīng)過假設(shè)干次初等行變換化為 ，記為 BAcAB把矩陣經(jīng)過假設(shè)干次初等列變換化為 ，記為 此時稱A與B行等價。此時稱A與B列等價。例2.1的消元過程用矩陣初等行變換方

7、式可簡約地表示為：703182127321 13122rrrr1431064507321 32rr6450143107321 235rr76190014310732141001431073211913r2.1.2 矩陣的等價規(guī)范形矩陣的等價規(guī)范形ABABAB定義定義2.2 2.2 假設(shè)矩假設(shè)矩陣陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣那么稱矩陣與矩陣等價，記作，等價關(guān)系滿足以下性質(zhì)：ABBA2 對稱性：假設(shè)，那么ABBCBC 3 傳送性：假設(shè) ， ，那么 AA1 反身性： 7341417319623A 31rr 13123rrrr3031003141073412310rr01430031410734173

8、41417319623A對矩陣施行如下一些初等變換303100314107341B014300314107341C矩陣A，B，C 等價9623417317341014300314107341C滿足以下兩個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣。1零行元素全為零的行都在非零行的下邊；2非零行的非零首元的下邊全是零。矩陣C的下方元素全是零，豎線后面第一個元素為非零元；每個臺階只需一行，臺階數(shù)即非零行的行數(shù)。有如下特點：在該矩陣內(nèi)可畫出一條階梯線，使橫線對矩陣C繼續(xù)進展初等行變換 32114314rrr0100314105590101003010500131325914rrrr014300314107341C0

9、10030105001D除仍具有行階梯形矩陣的特點外，它比矩陣C更簡單，我們稱非零行的非零首元是1，并且它所在的列的其它元素都是零的行階梯形矩陣為行最簡形矩陣。010030105001D010030105001D 241435ccccDD對矩陣?yán)^續(xù)做初等列變換，那么矩陣 可進一步被簡化為010000100001定義定義2.3假設(shè)一矩陣可經(jīng)假設(shè)干次初等變換化為假設(shè)一矩陣可經(jīng)假設(shè)干次初等變換化為形如形如rmnEOFOO的矩陣，即10000100001000000000F那么稱 rmnEOOO為該矩陣的等價規(guī)范形。 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaanm定理定理2.1 2.1

10、對于恣意一對于恣意一個個矩陣總可以經(jīng)過假設(shè)干次初等變換行變換和列變換把它化為等價規(guī)范形rmnEOFOOrnm,r該規(guī)范形由三個數(shù)完全確定，其中就是行階梯形矩陣中的非零行數(shù)。 1129118711630A 163018711129131rr1129118711630AA例例2.2 用初等變換化矩陣用初等變換化矩陣 為行最簡形矩陣和規(guī)范形矩陣。 解解 1先從矩陣先從矩陣最左邊的非零列開場，經(jīng)過交換它的第1，3兩行使矩陣 A1，1位置為非零元，然后利用矩陣的初等行變換將它下方元素變成零，即 Brr 263024201129113 2630121011291212rB 5000121031291233

11、rr2以上述矩陣 B的2，2位置為準(zhǔn)利用矩陣的初等行變換將它下方元素變成零，即 Cr 1000121031291513 1000121012601219rrCDrrrr100002100601313212C3再以上述矩陣 的非零行的非零首元為準(zhǔn)利用矩陣的初等行變換將其上方元素變成零，即 5000121031291100002100601D 01002010600143cc 010000100001241426cccc100002100601那么上述最后一個矩陣就是所求行最簡形矩陣，即 對上述行最簡形矩陣?yán)^續(xù)做初等列變換有：010000100001FA于是所求矩陣 的規(guī)范形矩陣為： 例例2.3

12、設(shè)設(shè) 114012100120 ,130222010112ABAB問矩陣與矩陣能否等價？AB解解 先求矩陣先求矩陣與矩陣的規(guī)范形 3134241 1 4 01 1 4 01 1 4 00 1 2 00 1 2 00 1 2 02 2 0 00 4 8 00 0 0 0r rr rA 3 13 424114011401140012001200120220004800000r rr rA 2 1313 241 0 0 01 0 0 00 1 2 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0c cc cc c 2 1313242100010000120010000000000c cc cc c 3

13、22 11 2 1 01 2 1 01 0 0 01 3 0 20 1 1 20 1 1 20 1 1 20 1 1 20 0 0 0r rr rB 00002110012123rr 000021104301212rr000000100001214213243ccccccAB22E OE OABOOOO，22E OE OABO OO O，利用等價矩陣的傳送性可知： 2.2初等矩陣初等矩陣2.2.1 初等矩陣的概念 定義定義2.4 2.4 由單位矩由單位矩陣陣E等矩陣。對應(yīng)于三類初等行列變換，初等矩陣有三種：經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初E, i j, i j1交換矩陣第兩行或交換第兩列。11

14、0.1.1.( , ).1.1.011E i j0k Ei2以數(shù)乘矩陣第行。11( ( ).11E i kk11.( , ( )1.1kE i j kEjki3把矩陣的第行的倍加到第行或第 i列的 k倍加到第j列上去 1.初等矩陣的行列式都不等于零，因此初等矩陣都可逆；2. 初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；初等矩陣具有以下性質(zhì)： 1),(detjiE0)(det kkiE1)(,(detkjiE),(),(jiEjiET)()(kiEkiET)(,()(,(kijEkjiET3. 初等矩陣的逆矩陣仍是同類初等矩陣1( , )( , )Ei jE i j11( ( )( ( )Ei kE ik1

15、( , ( )( , ()Ei j kE i jk2.2.2 初等變換與初等矩陣關(guān)系初等變換與初等矩陣關(guān)系 矩陣的初等變換是一種運算，而初等矩陣是一些矩陣，有著極其親密的關(guān)系，它們是用不同的言語來描畫兩個矩陣之間的同一種關(guān)系。初等矩陣主要用于某些實際推導(dǎo)與證明，初等變換那么偏重于對給出詳細元素的矩陣進展運算。先看下面的矩陣乘法運算。 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa343332312423222114131211001010100aaaaaaaaaaaa141312112423222134333231aaaaaaaaaaaa34333231242322

16、211413121110000001aaaaaaaaaaaak343332312423222114131211aaaakakakakaaaaa34333231242322211413121110010001aaaaaaaaaaaak14341333123211312423222114131211kaakaakaakaaaaaaaaaa0010010010000001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa323334312223242112131411aaaaaaaaaaaa100000000100001343332312423222114131211kaaaa

17、aaaaaaaa243332312423222114131211akaaaakaaaakaaa100010000100001343332312423222114131211kaaaaaaaaaaaa243332343124232224211413121411aaakaaaaakaaaaakaan階初等矩陣。Am nAAmAA定理定理2.2 2.2 設(shè)設(shè)的左邊乘上一個相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的右邊乘上一個相應(yīng)的( ( )E i kAAik表示將矩陣的第行乘以非零數(shù);( , )E i j AAji、表示將矩陣的第兩行交換；( , (

18、 )E i j kAAjki表示將矩陣第行的倍加到第行上去；( , )AE i jAji、表示將矩陣的第兩列交換； kiAEAik表示將矩陣的第列乘以數(shù);( , ( )AE i j kAjki倍加到第表示將矩陣第列的列上去。 左乘一個矩陣相當(dāng)于做一次行變換右乘一個矩陣相當(dāng)于做一次列變換例例2.4 設(shè)有初等矩陣設(shè)有初等矩陣1000010000100011kA1000010001000012kB1000100001000013kC求CBA及其逆矩陣。BAA解解 作初等行變換，左乘表示對CBABA 表示對左乘作初等行變換CBA1000100001000013k1000010001000012k100

19、0010000100011k1000100001000013k1000010001000121kk1000100010001321kkk1111)(CBACBA1000010000100011k1000010001000012k1000100001000013k1000100010001321kkk1000010000100011kA1000010001000012kB1000100001000013kC定理定理 2.3 可逆矩陣經(jīng)過初等變換后仍為可逆矩陣?？赡婢仃嚱?jīng)過初等變換后仍為可逆矩陣。( , ( )BE i j kAAB初等矩陣是可逆的，上式闡明，當(dāng)可逆時，是兩個可逆矩陣的乘積，也是可

20、逆矩陣。BA證證 設(shè)矩陣設(shè)矩陣是經(jīng)過對施行一次初等行變換而得到的，( , )E i j( ( )E i k( , ( )E i j k那么存在一個相應(yīng)的初等矩陣或或B( , )E i j A( ( )BE i kA或或使得nA定理定理2.4 2.4 階矩陣可逆的充分必要條件是它可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣。證證 由定理由定理2.12.1以及矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系，以及矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系，nlPPP,21階初等矩陣可知一定存在，使得其中 H為 n階矩陣 A的行最簡形矩陣。 EAPPPPll121HAPPPPll121假設(shè)矩陣 A可逆，那么由定理2.3可知，上述行最簡形矩陣 可

21、逆， 從而矩陣 必為單位矩陣 E，即 HHA經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣 E反之，假設(shè)矩陣 A經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣 E即存在 n階初等矩陣 lPPP,21，使得 EAPPPPll121由于初等矩陣是可逆的，所以它們的乘積 121PPPPll也可逆，于是1211PPPPAil即 n階矩陣 A可逆。 推論推論 n階矩陣 A可逆的充分必要條件是 A有限個初等矩陣的乘積。 可以表示為2.2.3 求逆矩陣的初等變換法求逆矩陣的初等變換法2n) 1( nn求逆矩陣通常有兩種方法：伴隨矩陣法和初等變換法，求階行列式，當(dāng)個伴隨矩陣要計算較大時計算量非常大，所以在實踐運用中，伴隨矩陣僅作為證明矩

22、陣可逆條件的鋪墊，只需較簡單的二階矩陣用伴隨矩陣求逆，其他的多采用初等變換法。1,AEEA初等行變換1AEEA初等列變換nAEnn2)(EA1A把 階矩陣 與 n階矩陣 排在一同構(gòu)成 階矩陣 ，對此矩陣施行初等行變換，那么當(dāng)把矩陣 A位矩陣 變?yōu)閱?E時，原來的單位矩陣 E就變成了 ，即 EA類似地，對矩陣 施行初等列變換，那么當(dāng)把矩陣 A變?yōu)閱?1A位矩陣 E時，原來的單位矩陣 E就變成了 ，即 2n) 1( nAn這種求逆矩陣的方法和以前用伴隨矩陣求逆矩陣的方法相比較，由于求伴隨矩陣要計算個 所以當(dāng) 階行列式，較大時用初等變換法求逆矩陣計算量要小得多， 因此在實踐運用中，只需對較簡單的二階

23、矩陣用伴隨矩陣方法求逆，其他的多采用初等變換法求逆。另外，用初等變換法求逆矩陣時，不用先思索逆矩陣能否存在，只需留意在進展初等變換的過程中，假設(shè)與中有零行，就可斷定矩陣 等價的矩陣A不可逆。 例例2.5 求矩陣求矩陣 012213101A的逆 EA100012010213001101解解 131223rrrr 23rr102210013510001101111300013510001101)31(3r 31325rrrr)1(2r11130001351000110131313110001351000110131313110035323401031313200131313110035323401

24、03131320013131311003532340103131320013131313532343131321A同理，利用矩陣的初等行變換還可以解某些矩陣方程 BAX 假設(shè)矩陣 ACBAX 或可逆，那么方程有解BAX1nn2)(BAAEBBA1,為直接求得此解，可以構(gòu)造階矩陣，對此矩陣施行初等行變換，那么當(dāng)把矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，原來的矩陣就變成了BAEBA1,初等行變換即DXC CDXC 類似地，利用矩陣的初等列變換還可以解某些矩陣方程假設(shè)矩陣可逆，那么方程有解1 DCXnn2DCCED1DC，為直接求得此解，構(gòu)造階矩陣，對此矩陣施行初等列變換，那么當(dāng)把矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r，原來的矩陣就變成了

25、1DCEDC初等列變換即1008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 01355403500010010304005rr 解解 R8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R例例2.6 2.6 機器人手臂的轉(zhuǎn)動常用矩陣表示其中的元素為轉(zhuǎn)動角機器人手臂的轉(zhuǎn)動常用矩陣表示其中的元素為轉(zhuǎn)動角的逆陣的三角函數(shù)值求下面轉(zhuǎn)動矩陣13107505010010304005rr 313107505010010002515020rr 312510750501001034001055r/p>

26、01001034001055rr 所以 54053010530541AABABAB例例2.7 某工廠檢驗室有甲、乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料某工廠檢驗室有甲、乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂分別含鋅與鎂10%與與20%，乙種原料分別含鋅與鎂，乙種原料分別含鋅與鎂10%與與30%， 如今要用這兩種原料分別配制如今要用這兩種原料分別配制、兩種試劑，試劑需含鋅、鎂各2g、5g，試劑需含鋅、鎂各1g、2g、兩種試劑分別需求甲、乙兩種化學(xué)原料各多少g？ 問配制Ayx,gBgts,解一解一 設(shè)配制設(shè)配制試劑需求甲、乙兩種化學(xué)原料分別為；配制試劑需求甲、乙兩種化學(xué)原料分別為，根據(jù)題意，得如下矩陣

27、方程0.10.10.20.3xsyt2152設(shè)3 . 02 . 01 . 01 . 0AtysxX2512BBAX11A那么，下面用初等變換求0.1 0.1 1 00.2 0.3 0 11210101 11002 3 0 10rr2121 1 1000 1 20 10rr121 0 30100 1 2010r r102010301AtysxX2512102010300101010AB即配制試劑分別需求甲、乙兩種化學(xué)原料各10g，配制試劑需求甲、乙兩種化學(xué)原料各10g、0g解解2 BAXBAX1BAEBAA11,此過程可經(jīng)過初等行變換實現(xiàn)253 . 02 . 0121 . 01 . 0 2050

28、32102011101021rr 01010102011122rr 0101010100121rr使得 證證 必要性必要性. 假設(shè)假設(shè) AB，那么存在 m階可逆矩陣 rPPP,21和 sQQQ,21BQQAQPPPsr2112令 12PPPPr和 sQQQQ21，即得 BPAQ 充分性 假設(shè) BPAQ 存在 m階可逆矩陣 rPPP,21和 n階可逆矩陣 sQQQ,21使得 12PPPPrsQQQQ21于是BQQAQPPPsr2112即 AB定理定理2.5 設(shè) BA,都是 nm矩陣，那么 等價的充分必要條件BA,m階可逆矩陣 P和 n階可逆矩陣 Q，使得 BPAQ 是存在2.3矩陣的秩 2.3.

29、1 矩陣的秩的概念矩陣的秩的概念定義定義2.5 在一個 nm矩陣 A中，任取 k行 k列 ,min1nmk 位于這些行列交叉點處的 2k個元素按它們在 A中位置次序組成的 k階行列式，稱之為矩陣 A的一個 k階子式。階子式。 nmkknkmCCnnAA一個矩陣的 階子式共有個。特別地，階方陣只需一個階子式，即方陣的行列式125042630128504126370A434C例如例如 在矩陣在矩陣個三階子式，而選定1,2,3行和1,2,4列的子式為 中，可選出定義定義2.6 假設(shè)矩陣 A中有一個 r階子式 0rD ，且一切的 1r階子式假設(shè)存在的話的值都等于0，那么稱 rD為矩陣A的一個最高階非零

30、子式，其階數(shù) r稱為矩陣 A的 秩，記作 ( )R A或 rankA【注】 1規(guī)定零矩陣的秩為零。2設(shè) A是 nm矩陣，假設(shè) mAR)(，那么稱 A為行滿秩矩陣；假設(shè) nAR)(，那么稱 A列滿秩矩陣。 3假設(shè) n階矩陣 A的秩 nAR)(，那么稱 A為滿秩矩陣；假設(shè) nAR)(，那么稱 A為降秩矩陣。 ()( )TR AR AATAAAT4 由于行列式行列互換后其值不變，而的每一個子式都是的某個子式的轉(zhuǎn)置，因此的非零子式的最高階數(shù)與即矩陣的轉(zhuǎn)置不改動矩陣的秩，的非零子式的最高階數(shù)一樣，2.3.2 矩陣秩的計算矩陣秩的計算1用矩陣秩的定義求矩陣秩用矩陣秩的定義求矩陣秩例例2.8 求矩陣求矩陣

31、81131433111221A的秩 解解 計算它的二階子式，由于計算它的二階子式，由于 053121繼續(xù)計算它的三階子式 0113331221081314311121081314311121081114331122由于該矩陣共有四個三階子式均為零，2)(AR找到一個二階非零子式那么秩大于等于22)(BR00002555011221B例例2.9 求矩陣求矩陣的秩解解BB055021所以是一個行階梯形矩陣，它的非零行有2行，即知的一切3階子式全為零，而以兩個非零行的非零首元為對角線元素的2階子式2用初等變換求矩陣的秩此為較常用的方法用初等變換求矩陣的秩此為較常用的方法能否利用矩陣的初等變換把普通的

32、矩陣“變成一個與之同秩的行階梯形矩陣 81131433111221A 25550255501122113123rrrr 0000255501122123rrB2)()(BRAR定理定理2.6 矩陣的初等變換不改動矩陣的秩，即假設(shè)矩陣的初等變換不改動矩陣的秩，即假設(shè) AB( )( )R AR B 那么 AnmBmCn推論推論 設(shè)設(shè)是矩陣，是階滿秩矩陣，是階滿秩矩陣，那么必有 )()()(ACRARBAR證證 由于由于 B是 m階滿秩矩陣，所以矩陣 B可逆 從而 B可分解為有限個初等矩陣的乘積，于是 BA可視為對矩陣 A施行有限次初等行變換， 由定理2.6便知， )()(ARBAR同理可證)()(

33、ARACR例例2.10 求矩陣求矩陣 231453312112231B的秩 解解 利用初等行變換化矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q化矩陣 B為行階梯形矩陣： 231453312112231B 46024077055023115141312322rrrrrrrr 46024077022023132rr 2002000002202312524233227rrrrrr 0000002002202314534rrrrC3)(CR由于 3)(BR所以 例例2.11 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 kA96386424321問 k何值時，有 3)(?2)(?1)(ARARAR解解 對矩陣施行初等行變換，將其變成行階梯形，有對矩陣施行初等

34、行變換，將其變成行階梯形，有kA96386424321 1200000004321113232krrrr1)(AR2)(AR12k當(dāng)時，12k當(dāng)時，3)(AR在任何時候都不能夠有2.4 線性方程組的求解線性方程組的求解2.4.1 線性方程組的根本概念線性方程組的根本概念mnnxxx,21含的線性方程組的普通方式為個方程個未知量mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111假設(shè)記 ,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaAmbbbb21mmnmmnnbbbaaaaaaaaaB21212222111211那么稱矩陣 A為系數(shù)矩

35、陣, 矩陣 ),(bAB 為增廣矩陣，稱矩陣 b為常數(shù)項矩陣。 寫成矩陣乘積方式 bAx 當(dāng)常數(shù)項矩陣 b為零矩陣時，稱方程組為齊次線性方程組，否那么為非齊次線性方程組。 假設(shè)用常數(shù) n,21依次替代方程組中的 nxxx,21方程組中的 m個方程均成為恒等式，那么稱 nnxxx,2211為方程組的一個解，并稱列向量 nx21為線性方程組的解向量，或稱x是方程 bAx 的解。 線性方程組有解，稱該方程組為相容的，否那么稱為不相容的。假設(shè)線性方程組中的方程個數(shù)與未知量個數(shù)一樣，并且其系數(shù)矩陣滿秩，那么可有以下三種求解方法：1克拉默法那么；2逆矩陣；3高斯消元法。 2.4.2 線性方程組解的判別線性

36、方程組解的判別例例2.12 用高斯消元法求解線性方程組：用高斯消元法求解線性方程組：, 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換97963422644121121112)(bAB 9796321132211124121121321rrr 3433063550022204121114133232rrrrrr 34330635500111041211212r 31000620000111041211242335rrrr000003100001110412112121334rrr那么原方程組的同解方

37、程組為：, 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx用“回代的方法求出解： 33443231xxxxx此方程組有無窮多組解。令 cx 33344321xcxcxcx例例2.13 討論方程組討論方程組104834822263531324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的解。解解 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換對方程組的增廣矩陣施行初等行變換104834822126351311321B rrrrrr42343126045060450304501132160450604503045011321 2334rrrr原方程組的同解方程組為30 3451323

38、24321xxxxxx最后一個方程為矛盾方程，闡明方程組無解，即原方程組是不相容的。00000300003045011321方程組的解的情況可以歸結(jié)為：有獨一解，有無窮多解和無解三種情況 定理定理2.7 線性方程組相容的充分必要條件是它的系數(shù)矩線性方程組相容的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。陣的秩與增廣矩陣的秩相等。定理定理2.8 假設(shè)線性方程組是相容的，那么當(dāng)系數(shù)矩陣的秩假設(shè)線性方程組是相容的，那么當(dāng)系數(shù)矩陣的秩 nr 時，方程組有無窮多組解；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩 nr 方程組有獨一解。 時，推論推論 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組000221122221211212111nm

39、nmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系數(shù)矩陣為 A那么當(dāng) nAR)(時，方程組有獨一解，即零解；當(dāng) nAR)(時，方程組有無窮多解，即有非零解。 例例2.14 設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組44321343212432114321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx為何值時，方程組有解，有解時，求出一切的解。 解解 方程組可變形為方程組可變形為0) 1(0) 1(0) 1(0) 1(4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx此方程組為齊次的，對該方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換1111111111111111A 1111111111112222413121rrrrrr 11111111111111112 2000020000201111141312rrrrrr故當(dāng) 2，且 2時，方程組有獨一零解； 當(dāng) 2時， 41)(AR，方程組有無窮多解，即 0000000000001111A對應(yīng)的方程組為： 04321xxxx，取 432,xxx為自在未知量，那么方程組的解為： 3423123211cxcxcxcccx其中 321,ccc可恣意取值； 2當(dāng)時，3111131111311113A 3111131111310000413121rrrrrr 000013111131311141rr