圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（ 1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 ktan,0,)ky2y1x2x1點(diǎn) P(x0 , y0 ) 到直線 AxByC0的距離Ax0 By0 CdB2A2l1: y k1x b1夾角為，k2k1夾角公式：直線則 tanl2 : y k2 x b21 k2 k1（ 3）弦長(zhǎng)公式直線 ykxb 上兩點(diǎn) A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 間的距離 AB( x2x1 )2( y2y1)2 AB1k2x1x2(1k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 AB

2、11y1y2k 2（ 4）兩條直線的位置關(guān)系（） l1 : yk1xb1l2 : yk2 xb2 l1l2k1k2 =-1 l1 / l2k1k2且 b1 b2l1 : A1 x B1 y C10（）0l2 : A2 x B2 y C2 l1 l2A1 A2B1B2 0 l1 / /l 2A1B2 - A2 B1 =0且AC12- A2C10或 A1B1C1 者（ A2 B2C20 ）A2B2C2兩平行線距離公式l1 : y kx b1| b1b2 |l2 : y kx b2距離 dk 21l1 : Ax By C10| C1C 2 |l 2 : Ax By C20距離 dB2A22、圓錐曲線

3、方程及性質(zhì)1. 圓錐曲線的兩定義 ：第一定義 中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1 ，F(xiàn) 2 的距離的和等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a 一定要大于 F1 F2 ，當(dāng)常數(shù)等于F1F2 時(shí)，軌跡是線段 F1 F2 ，當(dāng)常數(shù)小于 F1 F2 時(shí)，無(wú)軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點(diǎn) F1 ， F2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a 一定要小于 | F1 F2 | ，定義中的 “絕對(duì)值”與 2a |F 1 F2 | 不可忽視 。若 2a |F 1 F2 | ，則軌跡是以F1 ，F(xiàn)2 為端點(diǎn)的兩條射線，若2a |F 1 F2 | ，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅

4、表示雙曲線的一支。如方程( x6)2y2(x6)2y28 表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（ 1）橢圓 ：焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí) x2y2y 軸上時(shí) y2x222 1 （ ab 0 ），焦點(diǎn)在22 1abab（ a b 0 ）。方程 Ax2By2C 表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號(hào)， AB）。橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y 20, n0且 mn)m1(mn距離式方程：(x c)2y2( x c)2y22a參數(shù)方程： xacos , ybsin若 x, yR

5、，且 3x22 y26 ，則 xy 的最大值是 _，x2y 2 的最小值是 _（答：5,2）（ ）雙曲線：焦點(diǎn)在x 軸上： x 2y 2y 2x 21（ a 0, b0 ）。2a2b2=1 ，焦點(diǎn)在 y 軸上：2b2方程 Ax2By2aC 表示雙曲線的充要條件是什么？（ ABC0，且 A， B 異號(hào)）。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O ，焦點(diǎn) F1 、 F2 在坐標(biāo)軸上，離心率 e2 的雙曲線 C 過(guò)點(diǎn)P(4, 10) ，則 C 的方程為 _（答： x2y26 ）（3）拋物線 ：開(kāi)口向右時(shí) y 22 px( p0) ，開(kāi)口向左時(shí) y22 px( p 0) ，開(kāi)口向上時(shí) x22py( p 0) ，開(kāi)口向下

6、時(shí) x22 py( p0) 。3. 圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷 （首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷） ：（1）橢圓：由 x 2 , y 2 分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程x 2y2m 121表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍是 _（答：m3(, 1)(1,)）22（2）雙曲線：由 x, y項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；提醒：在橢圓中， a 最大， a2b2c2 ，在雙曲線中， c 最大， c2a2b2 。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì) ：22（1）橢圓（以 x2y21（ ab 0 ）為例）：范圍： axa, byb ；ab，一個(gè)對(duì)稱中心（ 0,0 ），四焦點(diǎn)：兩

7、個(gè)焦點(diǎn) (c,0) ；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x0, y0個(gè)頂點(diǎn) ( a,0),(0,b) ，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2 a ，短軸長(zhǎng)為 2 b ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 xa2； c ，橢圓c離心率： e0 e1， e越小，橢圓越圓； e 越大，橢圓越扁。a25如（ ）若橢圓 x2y 2的離心率e10，則m1515的值是 _（答： 3 或）；m3（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為 _（答： 2 2）（ 2）雙曲線（以x2y21（ a0,b0 ）為例）：范圍： xa 或 x a, y R ；焦b2a2點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) (c,0)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸 x0, y0 ，一個(gè)對(duì)

8、稱中心（0,0 ），兩個(gè)頂點(diǎn) ( a,0)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2 a ，虛軸長(zhǎng)為 2b ，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 x2y2k , k0 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 xa2；c離心率： ec ，雙曲線e1，等軸雙曲線e2 ， e 越小，開(kāi)口越小， eab x 。雙曲線的方程的形式有兩種越大，開(kāi)口越大；兩條漸近線：ya標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y21(mn0)mn距離式方程： |( x c) 2y2( x c)2y2 |2a（ 3）拋物線（以 y22 px( p0) 為例）：范圍： x0, y R ；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn) ( p ,0) ，其中 p 的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一

9、條對(duì)稱軸2y0 ，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線 xp ； 離心率： ec ，拋物線e 1 。2a1 )）；如設(shè) a 0,a R ，則拋物線 y4ax2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 _（答： (0,16a5 、點(diǎn)x02a2x02a2P( x0 , y0 ) 和橢 圓 x 2y21 （ a b0 ）的關(guān)系 ：（ 1 ）點(diǎn) P(x0 , y0 ) 在橢圓外y02a 2b2x02y021 ；（ 2）點(diǎn) P( x, y) 在橢圓上 1；（ 3）點(diǎn) P( x , y ) 在橢圓內(nèi)b200a 2b 200y02b216.記住焦半徑公式：（ 1） 橢圓焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 aex0 ; 焦點(diǎn)在 y軸上

10、時(shí)為 aey0 ，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。（2） 雙曲線焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)為 e | x0 |a（3） 拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)為| x1 |p焦點(diǎn)在y軸上時(shí)為| y1px,|227.橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問(wèn)題）設(shè) A x, y、 B x2 , y2， Ma, b 為橢圓 x2y 21的弦 AB 中點(diǎn)則有1143x12y121， x22y221；兩式相減得x12x22y12y220434343x1x2 x1x2y1 y2y1 y2kAB =3a434b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？

11、設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到12兩個(gè)式子，然后 1 -2 ，整體消元······，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A 、B、 F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為ykxb ，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x 25 y280

12、 上，且點(diǎn)A 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A 在y 軸正半軸上）.（ 1）若三角形ABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC 的方程 ;（2）若角 A 為 900 ，AD 垂直 BC 于 D，試求點(diǎn) D 的軌跡方程 .分析：第一問(wèn)抓住“重心” ，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC 的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問(wèn)抓住角A為900 可得出ABAC，從而得x1 x2 y1 y2 14( y1y2 ) 16 0 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D 的軌跡方程；解：（1）設(shè) B（ x1 , y1 ）,C( x2 , y2),BC 中點(diǎn)為 ( x0 , y0 ),F(2,0)則有 x12y12

13、1, x22y22120162016兩式作差有(x1 x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2)x0y0 k0 (1)2016054F(2,0)為三角形重心，所以由x1x22 ，得 x03 ，由 y1y240 得 y02 ，代入33（ 1）得 k65直線 BC 的方程為 6x5y2802)由 ABAC 得x1x2y1 y214(y1y2) 160（ ）2設(shè)直線 BC 方程為 ykx b,代入 4 x25y 280 ，得 (45k 2 ) x210bkx5b 2800x1x210kb， x1x25b2804 5k 24 5k 2y1y28k, y1 y24b280k 2代入（ 2）式

14、得45k245k29b 232b160 ，解得 b445k 24(舍) 或 b9y4直線過(guò)定點(diǎn)（ 0，49 y 41 ，即 9y29x232y 16 0) ，設(shè) D （x,y），則x9x所以所求點(diǎn) D 的軌跡方程是 x2( y16 )2( 20 ) 2 ( y4) 。994、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 ABCD 中 AB2 CD ，點(diǎn) E 分有向線段 AC 所成的比為，雙曲線過(guò) C、 D 、E 三點(diǎn)，且以 A、B 為焦點(diǎn)當(dāng) 23 時(shí)，求雙曲34線離心率 e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建立直角

15、坐標(biāo)系xOy ，如圖，若設(shè)C c ,h ，代入 x2y2 1，求得 h，進(jìn)而求得 xE, yE, 再代入 x2y2 1 ，2a2b2a2b2建立目標(biāo)函數(shù) f (a, b,c, )0，整理 f (e, ) 0，此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難 .我們對(duì) h 可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)f ( a, b, c,)0 ，整理 f ( e,)0,化繁為簡(jiǎn) .解法一：如圖，以 AB 為垂直平分線為y 軸，直線 AB 為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系xOy ，則 CD y 軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D ，且以 A、B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、 D關(guān)于 y 軸對(duì)稱依題意，記 Ac, 0 ，Cc，其中 c1,h

16、，E x0 , y0| AB |為雙曲線22的半焦距， h 是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得cc2 ch2x0，y02111設(shè)雙曲線的方程為x2y 2ca2b21，則離心率 ea由點(diǎn) C、E 在雙曲線上，將點(diǎn) C、E 的坐標(biāo)和 ec 代入雙曲線方程得ae2h 21，4b 2e22h21411b2由式得h 2e2b 21 ，4將式代入式，整理得e24412，4故13e21由題設(shè) 23得，21e23334324解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,10分析：考慮 AE , AC 為焦半徑 ,可用焦半徑公式 ,AE , AC 用 E, C 的橫坐標(biāo)表示， 回避 h的計(jì)算 , 達(dá)到設(shè)而不求的解

17、題策略解法二：建系同解法一，AEaexE , AC a exC ，cc2 cAE3xE2，代入整理123，由題設(shè)12，又ACe213411得， 21e233324解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 , 105、判別式法例 3 已知雙曲線 C : y2x21，直線 l 過(guò)點(diǎn) A2,0 ，斜率為 k ，當(dāng) 0 k 1時(shí)，雙曲22線的上支上有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為2 ，試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B 作與 l 平

18、行的直線，必與雙曲線C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 . 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l : y k( x2) 0 k 1直線 l在 l 的上方且到直線l 的距離為2l': y kx 2k 222k把直線 l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0解得 k的值解題過(guò)程略 .分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}kx2 x22k關(guān)于 x 的方程2 0 k 1 有唯一解k 21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn) M (x,2x 2

19、 ) 為雙曲線 C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M 到直線 l 的距離為：求解kx 2x22k20 k 1k 21于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x 的方程 .由于 0k 1，所以2 x 2x kx ，從而有kx2 x22kkx 2 x22k.于是關(guān)于 x 的方程kx2x 22k2(k 21)2x22(2(k 21)2kkx) 2 ,2(k 21)2kkx0k 2 1 x22(k22(k222k1)2k x1)2k2 0,2(k 21)2kkx0.由 0 k1可知：方 程 k 21 x22k2(k 21)2k x2(k 21)2k20的二根同正，故22(k 21)2k kx0恒成立，于是等價(jià)于k 21 x

20、22k2(k 21)2k x2( k 21)2k20 .2由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式0 ，就可解得k2 5 .5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .例 4 已知橢圓 C:x 22 y28 和點(diǎn) P（4，1），過(guò) P 作直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，在線段 AB 上取點(diǎn) Q，使 APAQ ，求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡所在曲線的方程 .PBQB分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解

21、題的目的.由于點(diǎn) Q (x, y) 的變化是由直線AB 的變化引起的，自然可選擇直線AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將x, y 與 k 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q 在直線 AB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： APAQ 來(lái)轉(zhuǎn)化 .由 A、 B、P、Q 四點(diǎn)共線，不難得到x4( xAxB ) 2x A x B ，PBQB8( xA xB )要建立 x 與 k 的關(guān)系，只需將直線AB 的方程代入橢圓C 的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù) .APAQPBQB4(xAxB )2xA xBx(xAxB )8將直線方程代入橢圓方程

22、，消去y，利用韋達(dá)定理xf k利用點(diǎn) Q 滿足直線 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于 x, y 的方程（不含 k），則可由 y k( x4) 1 解得 ky1 ，直接代入 xfk 即可得x4到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè) A x1, y1 , B(x2， y2 ), Q(x, y) ，則由 APAQ 可得： 4 x1x x1，PBQBx24x2x解之得： x4(x1x2 ) 2x1 x2（ 1）8( x1x2 )設(shè)直線 AB 的方程為： yk( x4)1 ，代入橢

23、圓 C 的方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程：2k 21 x24k(14k )x2(14k) 280（ 2）x1x24k (4k1) ,2k 21x1 x22(1 4k )28.2k21代入（ 1），化簡(jiǎn)得： x4 k3.(3)k2與 yk (x4)1聯(lián)立，消去 k 得： 2xy 4 (x4)0.在（ 2）中，由64k 264k240 ，解得210k210 ，結(jié)合（ 3）可求得441621016210.9x9故知點(diǎn) Q 的軌跡方程為： 2 xy40（ 162 10x162 10）.99點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到

24、. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.6、求根公式法例 5 設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（ 0，3），和橢圓 x 2y 21順次交于 A 、B 兩點(diǎn)，試求 AP 的取94PB值范圍 .分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP =x A ，但從此后卻一籌莫展 , 問(wèn)題的PBxB根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.AP=xA已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變

25、量分析 1: 從第一條想法入手，PBxBxA , xB ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3 個(gè)變量直線AB 的斜率 k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將xA , xB 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程求根公式xA = f （k）， xB = g（ k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，可求得 AP1

26、 ;PB5當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) A x1 , y1 , B( x2，y2 ) ，直線 l 的方程為： y kx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得 9k 24 x254kx45 0解之得x1 ,227k 69k 25 .9k 24因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考慮 k0的情形.當(dāng) k0 時(shí)， x127k69k25 ， x227k 69k25 ，9k 249k24所以APx1=9k29k25= 118k= 118.PBx29k 2 9k 29k 2 9k 2559 2 952k由(54k )2180 9k 240 , 解得 k 25 ，9所以11181 ，綜上1A

27、P1 .55PB59292k分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k 的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于APx1 不是關(guān)于 x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問(wèn)題的方PBx2法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1, x2 的對(duì)稱關(guān)系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關(guān)于 x 的一元二次方程韋達(dá)定理xA+ xB = f（ k），xA xB = g（k ）AP/

28、PB = （ xA / xB）構(gòu)造所求量與 k 的關(guān)系式簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線 l 的方程為： y kx由判別式得出 k 的取值范圍3 ，代入橢圓方程，消去 y 得關(guān)于所求量的不等式9k 24 x254kx45 0（ *）x1x254k ,則9k2445x1 x2.9k 24x1，則，1324k 2令245k 2.x220在（ * ）中，由判別式0, 可得 k 25 ，9236 ，所以136 ，解得15 .從而有4324k4245k 220555結(jié)合 01得 11 .5綜上， 1AP1 .PB5點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法

29、等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法 .解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例

30、 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A, B ， O 為橢圓中心，F(xiàn) 為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF FB1，OF1 （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為M ，直線 l 交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l ，使點(diǎn)F 恰為PQM 的垂心？若存在，求出直線l 的方程 ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：（） 由 AF FB1，OF 1(a c)(a c) 1 ， c 1寫出橢圓方程a2,b 1由 F 為PQM 的重心PQMF , MPFQk PQ1（）yxm223x4mx 2m 2 0x22y22消元兩根之和，得出關(guān)于兩根之積MPFQ0解出 mm 的方程解題過(guò)程：（）如圖建系，設(shè)橢圓方程為x2y21(a b

31、0) ,則 c 1a2b2又 AF FB1即 (a c) (a c)1 a2c2 ， a22故橢圓方程為 x2y212（）假設(shè)存在直線 l 交橢圓于 P,Q 兩點(diǎn)，且 F 恰為 PQM 的垂心，則設(shè) P( x1, y1),Q (x2 , y2 ) ， M (0,1),F (1,0) ，故 k PQ1 ，于是設(shè)直線 l 為 y xm ，由y x m得， 3x24mx 2m22 0x22 y22 MPFQ0x1(x2 1) y2( y11) 又 yixim(i1,2)得 x1( x21)(x2m)( x1 m 1)0 即2x1x2(x1x2 )( m 1) m2m0 由韋達(dá)定理得2m224m1) m202(mm33解得 m4或 m1 （舍）經(jīng)檢驗(yàn) m4 符合條件33點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例 7、已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上， 且經(jīng)過(guò) A( 2,0) 、 B(2,0) 、C 1, 3 三點(diǎn) 2（）求橢圓E 的方程：（）若點(diǎn) D 為橢圓 E