(完整word版)全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽金牌教練講座：第十一講等腰三角形的性質(zhì)

1、第1頁（共8頁） 蘭州第十中學(xué) 數(shù)學(xué)組 2013年最新八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽講座 第十一講等腰三角形的性質(zhì) 若按邊（角）是否相等分類，兩邊（角）相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一類特殊三角形，它 的兩底角相等；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合 （簡稱三線合一）, 特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為 60. 解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊 性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、 線段相等的證明、直線位置關(guān) 系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)， 因此, 重視全等三角形的運(yùn)用，又不囿于全等三角形，善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求

2、新的解題途徑. 例題求解 【例 1】 如圖 AOB 是一鋼架，且/ AOB=10，為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼 管 EF、FG GH添加的鋼管長度都與 OE 相等，則最多能添加這樣的鋼管 _ 根. （山東省聊城市中考題） 注 角是幾何中最活躍的元素，與角相關(guān)的知識(shí)異常豐富，在三角形中，角又有獨(dú)特的等量關(guān)系，如三 角形內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到 角與角之間的“和” “差”、“倍”、“分”關(guān)系. 隨著知識(shí)的豐富，我們分析問題、解決問題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問題 時(shí)，需要綜合與選擇. 【例 2】如圖，若 AB=AC BG=

3、BH, AK=KQ 則/ BAC 的度數(shù)為（） A . 30 D . 32 C 36 D . 40 （武漢市選拔賽試題） 第2頁（共8頁） 思路點(diǎn)撥 圖中有很多相關(guān)的角，用/ BAC 的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于/ 【例 3】 如圖，在 ABC 中，已知/ A=90 , AB=AC D 為 AC 上一點(diǎn)，AE 丄 BD 于 E,延長 AE 交 BC 于 F,問：當(dāng)點(diǎn) D 滿足什么條件時(shí)，/ ADB=Z CDF 請說明理由. （安徽省競賽題改編題） 思路點(diǎn)撥 本例是探索條件的問題，可先假定結(jié)論成 立，逐步逆推過去，找到相應(yīng)的條件，若/ ADB =Z CDF 這一結(jié)論如何用？因/ADB 與/ CD

4、F 對(duì)應(yīng)的三角形不全等，故需構(gòu)造全等三角形，而作頂角的平 分線或底邊上的高（中線）是等腰三角形中一條常用輔助線. 1 【例 4】如圖，在厶 ABC 中，AC= BC, / ACB=90 , D 是 AC 上一點(diǎn)，AE 丄 BD 交 BD 的延長線于 E,且 AE=丄 BD.求 2 證：BD 是/ ABC 的角平分線. （北京市競賽題） 思路點(diǎn)撥 AE 邊上的高與/ ABC 的平分線重合，聯(lián)想到等腰三角形，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形、 BAC 的方第3頁（共8頁） 注 若巳知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構(gòu)造全等三角形，使欲證的線段 或角轉(zhuǎn)移位置，最終使問題得以解決. 結(jié)

5、論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型冋題的基本形式，相應(yīng)的解題策略是： (1) 通過對(duì)符合條件的特例或簡單情形的分析、觀察、猜想結(jié)果，再給出證明； (2) 假設(shè)結(jié)論成立，逆推追尋相應(yīng)的條件； (3) 假設(shè)在題設(shè)條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象存在，進(jìn)行推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出 肯定的結(jié)論. 【例 5】如圖，在 ABC 中，已知/ C= 60, ACBC 又厶 ABC、 BCA、 CAB 都是 ABC 形外的等 邊三角形，而點(diǎn) D 在 AC 上，且 BC= DC (1) 證明： C BDA B DC (2) 證明： AC DB A; (3) 對(duì)厶 ABG ABC、 BCA、 CAB，

6、從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論 ？ (江蘇省競賽題) 思路點(diǎn)撥(1)是基礎(chǔ)，(2)是 的自然推論，(3)由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索 面積不等關(guān)系的關(guān)鍵. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖， ABC 中，已知 AD= AC,要使 AD=AE 需要添加的一個(gè)條件是 _ . (濟(jì)南市中考題) 2等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成 12cm 和 21cm 兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長 為 _ . 3. _ A ABC中, AB= AC / A=40 , BP=CE BD=CP 則/ DPF= _ 度. 4. 如圖， ABC 中, AD 丄 BC 于 D, BEX AC 于 E, AD

7、與 BE 相交于點(diǎn) F,若 BF= AC,則/ ABC 的大小是 _ (煙臺(tái)市中考題) 5. A ABC 勺一個(gè)內(nèi)角的大小是 40,且/ A=Z B,那么/ C 的外角的大小是() A . 140 B . 80 或 100 C . 100 或 140 D . 80 或 140 第3頁(共8頁)第6頁（共8頁） 6. 已知 ABC 中，AB= AC, / BAC=90，直角/ EPF 的頂點(diǎn) P 是 BC 中點(diǎn)，兩邊 PE、PF 分別交 AB AC 于 點(diǎn) F、F,給出以下四個(gè)結(jié)論：AE=CF、EPF 是等腰直角三角形， S四邊形AEPF =1 S ABC ;EF=AP 當(dāng) /丘卩卩在厶 ABC

8、 內(nèi)繞頂點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn) E 不與 A、B 重合），上述結(jié)論中始終正確的是 （） A . 1 個(gè) B . 2 個(gè) C . 3 個(gè) D . 4 個(gè) （蘇州市中考題） 7. 如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 , AC= AE, BC= BF,則/ ECF=（） A. 60 B . 45 C . 30 D .不確定 &如圖，在等邊厶 ABC 中，BD= CE, AD 與 BE 相交于點(diǎn) P,則/ APE 的度數(shù)是（） A . 45 D . 55 C . 60 D . 75 （荷澤市中考題） 9. 在 ABC 中，已知 AB= AC,且過 ABC 某一頂點(diǎn)的直線可將 ABC 分成兩個(gè)等

9、腰三角形，試求厶 ABC 各 內(nèi)角的度數(shù). （廣州市中考題） 10. 如圖，已知 A、D 兩點(diǎn)分別是正三角形 DEF 正三角形 ABC 的中心，連結(jié) GH AD,延長 AD 交 BC 于 M 延長 DA交 EF 于 N, G 是 FD 與 AB 的交點(diǎn)，H 是 ED 與 AC 的交點(diǎn). （1） 請寫出三個(gè)不同類型的、必須經(jīng)過至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論（不要求寫出證明過程） ； （2） 問 FE、GH BC 有何位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論. （江西省中考題） 第7頁（共8頁） 第8頁（共8頁） 11. 如圖，在 Rt ABC 中，已知/ ACB=90 , AC=BC D 為 DC 的中點(diǎn)，CE

10、L AD 于 E, BF/ AC 交 CE 的延長 線于點(diǎn) F.求證：AB 垂直平分 DF. （河南省中考題） 12. _ 如圖，0 為等邊三角形 ABC 內(nèi) 一點(diǎn)，BD= DA, BE= AB,/ DBEZ DBC 則/ BED 的度數(shù)是 _ . （河南省競賽題） 13 .如圖，AA、BB分別是/ EAO / DBC 的平分線，若 AA =BB = AB,則/ BAC 的度數(shù)為 _ .（全 國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題） 14周長為 100,邊長為整數(shù)的等腰三角形共有 _ 種. （ “華杯賽”試題） 15 已知等腰三角形的兩邊 a、b 滿足|2a 3b 5 （2a 3b 13）2=0,則此等腰三角形的周

11、長為 _ 16. 如圖，在 ABC 中，/ BAC=120 , ADL BC 于 D,且 AB+BD= DC 則/ C 的大小是（） A. 20 B . 25 C . 30 D . 45 17. 如圖，在等腰直角 ABC 中, AD 為斜邊上的高，以 D 為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于 E、 F,連結(jié) EF 與 AD 相交于 G,則/ AED 與/ AGF 的關(guān)系為（）第9頁（共8頁） A. / AED 乂 AGF B ./ AED=Z AGF C 上 AEDG AGF D .不能確定 （“學(xué)習(xí)報(bào)）公開賽試題） 18. 如圖，直線 h、I?、I3表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)

12、站，要求它到三條公路的距離相等, 則可供選擇的地址有（） A .一處 B .兩處 C .三處 D .四處 （安徽省中考題） 19.A ABC 的三邊為 a、b、 C,且滿足 2 .2 a b 2 3.25 2 c a 1.5b，則 ABC 是 () 2 A.直角三角形 B . 等腰三角形 C .等邊三角形 D .以上答案都不對(duì) （河南省競賽題） 20.如圖，在 ABC 中，AB=AC P 底邊 BC 上一點(diǎn)，PD 丄 AB 于 D, PE AC 于 E, CF 丄 AB 于 F. 求證：PD+PE=CF （2）若 P 點(diǎn)在 BC 的延長線上，那么 PD PE、CF 存在什么關(guān)系？寫出你的猜想并

13、證明. 21.如圖，在等腰直角 ABC 中，/ BAC= 90 , AD=AE AF 丄 BE 交 BC 于點(diǎn) F,過 F 作 FG 丄 CD 交 BE 延長線 22. 如圖，在 ABC 中，AB= AC, / BAC= 80, OABC 內(nèi)一點(diǎn)，且/ OBC=10 , / OCA=20，求/ BAO 的度數(shù). （天津市競賽題） 23. 如圖，等邊 ABC 中，AB=2 點(diǎn) P 是 AB 邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) P 可以與點(diǎn) A 重合，但不與點(diǎn) B 重合），過 點(diǎn) P 作PEL BC 于 E,過點(diǎn) E 作 EF 丄 AC 于 F,過點(diǎn) F 作 FQLAB 于 Q 設(shè) BP= x, AQ= y. （

14、1）用 x的代數(shù)式表示 y; 當(dāng) PB 的長等于多少時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 重合？ 第10頁（共8頁） （福州市中考題） 24. 如圖， ABC 是邊長為 I的等邊三角形， BDC 是頂角/ BDC= 120 的等腰三角形，以 D 為頂點(diǎn)作一 個(gè) 60角，角的兩邊分別交 AB 于 M 交 AC 于 N,連結(jié) MN 形成一個(gè)三角形，求證： AMN 勺周長等于 2 .第11頁（共8頁） 【例題求解】 M 1 ft 2 S C = -180 倒 3 當(dāng) AD-CP 時(shí)/”加-。叭過 A 作 ZA 的平仿拽 JEBQ T G, jfc AArF. it flfl AAGDiS ACFD, 禽就AD-CD

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