高考復習文科函數(shù)與導數(shù)知識點總結

1、1 21 21 20000函數(shù)與導數(shù)知識點復習測試卷 (文)一、映射與函數(shù)1、映射 f：AB 概念（1） A 中元素必須都有_且唯一；（2） B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。2、函數(shù) f：AB 是特殊的映射(1)、特殊在定義域 A 和值域 B 都是非空數(shù)集。函數(shù) y=f(x)是“y 是 x 的函數(shù)”這句話的數(shù)學表示，其中 x 是自變量，y 是自變量 x 的函數(shù)，f 是表示對應法則，它可以是一個解析式，也可以是表格或圖象， 也有只能用文字語言敘述.由此可知函數(shù)圖像與垂直 x 軸的直線_公共點，但與垂直 y 軸的直線公 共點可能沒有，也可能是任意個。（即一個 x 只能對應一個 y，但一

2、個 y 可以對應多個 x。）（2）、函數(shù)三要素是_，_和_，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者 確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).二、函數(shù)的單調性在函數(shù) f(x)的定義域內的一個_上，如果對于任意兩數(shù) x ，x A。當 x <x 時，都有_，那 么，就稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 A 上是增加的，當 x <x 時，都有_，那么，就稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 A 上是減少 的判斷方法如下：1、作差（商）法（定義法） 2、導數(shù)法 3、復合函數(shù)單調性判別方法（同增異減）函數(shù)的最值函數(shù) yf(x)的定義域為 D， (1)存在 x D，

3、使得 f(x )M；(2)對于任意 xD，都有_. M 為最大值(3)存在 x D，使得 f(x )M；(4)對于任意 xD，都有_. M 為最小值求函數(shù)最值的常用方法：(1) 單調性法：先確定函數(shù)的單調性，再由單調性求最值；(2) 圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值；(3) 換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.三函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)： f ( -x) = f ( x )設（ a, b ）為偶函數(shù)上一點，則_也是圖象上一點.偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足定義域一定要關于 y軸對稱，例如： y =x2+1在 1,-1)上不是偶函數(shù).滿足

4、_，或 f ( -x) - f ( x) =0 ，若 f ( x) ¹0 時， 奇函數(shù)： f ( -x) =-f ( x )f ( x) f ( -x)=1 .設（ a, b ）為奇函數(shù)上一點，則_也是圖象上一點.奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足 定義域一定要關于原點對稱，例如： y =x 3在 1,-1) 上不是奇函數(shù).滿足_，或 f ( -x) + f ( x) =0 ，若 f ( x) ¹0 時， 周期性f ( x ) f ( -x)=-1(1) 周期函數(shù)：對于函數(shù) yf(x)，如果存在一個非零常數(shù) T，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有 _， 那么就稱函數(shù) yf(

5、x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個函數(shù)的周期.1 / 91 1(2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中_的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期.(1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質.對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值.(2)函數(shù)周期性的三個常用結論：若 f(xa)f(x)，則 T2a，若 f(xa) ，則 T2a，若 f(xa) ，則 T2a (a>0).f(x) f(x)(1)關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題.(2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便

6、：f(x)為偶函數(shù) f(x)f(|x|).若奇函數(shù)在 x0 處有意義，則 f(0)0.四二次函數(shù)冪函數(shù)1.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點式：f(x)_零點式：f(x)_(2)二次函數(shù)的圖像和性質解析式f(x)ax2bxc(a>0) f(x)ax2bxc(a<0)圖像定義域值域(，)_æè(，) 4acb2ù，4a û單調性在_上單調遞減； 在_上單調遞增在_上單調遞增； 在_上單調遞減對稱性b函數(shù)的圖像關于 x 對稱2a2.冪函數(shù)(1)定義：形如_(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量，

7、是常數(shù). (2)冪函數(shù)的性質冪函數(shù)在_上都有定義；冪函數(shù)的圖像過定點_；當 >0 時，冪函數(shù)的圖像都過點(1,1)和(0,0)，且在(0，)上單調_； 當 <0 時，冪函數(shù)的圖像都過點(1,1)，且在(0，)上單調_.2 / 9maxmin(1)二次函數(shù)最值問題解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵1 一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).2 兩種思路都是將問題歸結為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù)是否已分離 . 這兩個思

8、路的依據(jù)是： af(x)恒成立af(x) ，af(x)恒成立af(x) .(3) 冪函數(shù)的形式是 yx(R )，其中只有一個參數(shù) ，因此只需一個條件即可確定其解析式.(4) 在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近 x 軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中 指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠離 x 軸.五函數(shù)的變換y = f ( x) Þ y = f ( -x)：將函數(shù)y = f ( x)的圖象關于 y 軸對稱得到的新的圖像就是y = f ( -x)的圖像；-ca-byodby=f(x)-acxÞ-ca-byody=f(-x)b -a cxy = f ( x

9、) Þ y =-f ( x)：將函數(shù)y = f ( x)的圖象關于 x 軸對稱得到的新的圖像就是y =-f ( x )的圖像；ydy=f(x)ydy=-f(x)-ca-bob-acxÞ-ca-bob -a cxy = f ( x) Þ y =| f ( x) |：將函數(shù)y = f ( x)的圖象在 x 軸下方的部分對稱到 x 軸的上方，連同函數(shù)y = f ( x )的圖象在 x 軸上方的部分得到的新的圖像就是y =| f ( x) |的圖像；-ca-byodby=f(x)-acxÞ-ca-byody=|f(x)|b -a cxy = f ( x) 

10、22; y = f (| x |)：將函數(shù)y = f ( x)的圖象在 y 軸左側的部分去掉，函數(shù)y = f ( x)的圖象在 y 軸3 / 9aìa右側的部分對稱到 y 軸的左側，連同函數(shù)y = f ( x)的圖象在 y 軸右側的部分得到的新的圖像就是y = f (| x |)的圖像.ydy=f(x)ydy=f(|x|)-ca-bob-acxÞ-ca-bob -a cx函 數(shù)y=f(x+a)y=f(x)+ay=f(-x)y=-f(x)y=-f(-x)y=f(x)a>0 時，向左平移 a 個單位；a<0 時，向右平移|a|個單位. a>0 時，向上平移 a

11、 個單位；a<0 時，向下平移|a|個單位. y=f(-x)與 y=f(x)的圖象關于 y 軸對稱.y=-f(x)與 y=f(x)的圖象關于 x 軸對稱.y=-f(-x)與 y=f(x)的圖象關于原點軸對稱.y=f(|x|)y=f(|x|)的圖象關于 y 軸對稱，x³0 時函數(shù)即 y=f(x)，所以 x<0時的圖象與 x ³0 時 y=f(x)的圖象關于 y 軸對稱.y=|f(x)|ìy = f ( x ) =íîf ( x), f ( x ) ³0； - f ( x), f ( x) <0.， y=|f(x)| 的

12、 圖 象 是y=f(x) ³0 與 y=f(x)<0 圖象的組合.yf-1( x)y=f -1 ( x )與 y=f(x)的圖象關于直線 y=x 對稱.注：（1）若對任意實數(shù) x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立，則 x=a 是函數(shù) f(x)的對稱軸；a +b（2）若對任意實數(shù) x,都有 f(a+x)=f(b-x)成立，則 x= 是 f(x)的對稱軸.2(1)利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖像的函數(shù)，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖像研究，但一定要注意性質與圖像特征的對應關系.(2)利用函數(shù)的圖像可解決某些方程和不等

13、式的求解問題，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù) f(x)與 g(x)圖像交點的橫坐標； 不等式 f(x)<g(x)的解集是函數(shù) f(x)的圖像位于 g(x)圖像下方的點的橫坐標的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.六、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質一指數(shù)函數(shù)（一） 指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地，如果 xn= ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N*負數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，記作n0 =0 。當 n 是奇數(shù)時，nan= ，當 n 是偶數(shù)時， n a n =|a |=íîa ( a ³0) -a ( a <

14、0)2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：ma n=n a m ( a >0, m, n Î N * , n >1) a-mn=1ma n=n1am( a >0, m, n Î N * , n >1)4 / 9r r r +s( a ) =ar s rs(a 0 a 1)a0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質（1）a · a =a （二）指數(shù)函數(shù)及其性質( a >0, r, s Î R ) ；（2）( a >0, r , s ÎR ) ；1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地

15、，函數(shù)_ x 是自變量，函數(shù)的定義域為 R叫做指數(shù)函數(shù)，其中注：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>1_0<a<16546543 32 21111-4 -202 4 6-4 -202 4 6定義域 R-1定義域 R-1值域 y0在 R 上單調增非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：值域 y0 在 R 上單調減 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過 定點（0，1）（1）在a，b上， f (x) =ax> 且 ¹ 值域是_或_；（2）若 x ¹0 ，則 f (x) ¹1 ； f (x) 取遍所

16、有正數(shù)當且僅當 x ÎR ； （3）對于指數(shù)函數(shù) f (x) =a x (a >0且a ¹1) ，總有 f (1) =a ；指數(shù)函數(shù)的性質及應用問題解題策略(1) 比較大小問題.常利用指數(shù)函數(shù)的單調性及中間值(0 或 1)法.(2) 簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題.解決此類問題應利用指數(shù)函數(shù)的單調性，要特別注意底數(shù) a 的取值范圍， 并在必要時進行分類討論.(3) 解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題時，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質同函數(shù)的其他性質 (如奇偶性、周期性)相結合，同時要特別注意底數(shù)不確定時，對底數(shù)的分類討論.二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地，如果 a(a>

17、;0，a1)的 b 次冪等于 N，即 abN，那么數(shù) b 叫作以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 log Nb，其中_叫作對數(shù)的底數(shù)，_叫作真數(shù).5 / 9log NMaaaaa1.51.5說明 1注意底數(shù)的限制 a >0 ，且 a ¹1 ； a x =N Û log N =x ；a注意對數(shù)的書寫格式 a兩個重要對數(shù)：12常用對數(shù)：以 10 為底的對數(shù)_；自然對數(shù)：以無理數(shù) e =2.71828L 為底的對數(shù)的對數(shù)_指數(shù)式與對數(shù)式的互化 冪值 真數(shù)a b N Û log N b a底數(shù)指數(shù) （二）對數(shù)的運算性質對數(shù)如果 a >0 ，且 a ¹1

18、， M >0 ， N >0 ，那么：log ( M · N ) =_；alog =_； alog N_；log aN N_(a>0 且 a1).log Man=_( n Î R ) 注意：換底公式log blog b = c （ a >0 ，且 a ¹1 ； c >0 ，且 c ¹1 ；log ac利用換底公式推導下面的結論b >0 ）（1）log ba mnn= logmab1；（2） log b = log ab（三）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y =log x( a >0 ，且 a ¹1)

19、叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變a量，函數(shù)的定義域是（0，+）注1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y=2 log2x，y = log5x5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ( a >0 ，且 a ¹1) 2、對數(shù)函數(shù)的性質：a>132.52110<a<132.52110.5 0.5 -10112 3 4 5 6 7 8 -10112 3 4 5 6 7 8-0.5-0.5-1 -1-1.5 -1.5-2-2.5定義域 x0-2-2.5定義域 x0 6 / 9aaaa1000001 010001 0 x 0x值

20、域為 R 在 R 上遞增 函數(shù)圖象都 過定點（1， 0）值域為 R 在 R 上遞減函 數(shù) 圖 象 都 過 定 點（1，0）1.在運算性質 log MlogM 中，要特別注意條件，在無 M 0 的條件下應為 log Mlog|M|(N，且 為偶數(shù)).2.解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.七函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義函數(shù) yf(x)的圖像與橫軸的交點的_稱為這個函數(shù)的零點.(2) 幾個等價關系方程 f(x)0 有實數(shù)根函數(shù) yf(x)的圖像與_有交點函數(shù) yf(x)有_(3) 函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)若函數(shù)

21、yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即 f(a)· f(b)<0，則在區(qū)間 _內，函數(shù) yf(x)_零點，即相應的方程 f(x)0 在區(qū)間(a，b)內至少有一個實數(shù)解.2.二分法對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且_的函數(shù) yf(x)，通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間_，使區(qū) 間的兩個端點逐步逼近_，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.1.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調性、對稱性或結合函數(shù)圖像.2.判斷零點個數(shù)要注意函數(shù)的定義域，不要漏解；畫圖時要盡量準確.解函數(shù)應用問題的步驟

22、(四步八字)(1) 審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2) 建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3) 解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4) 還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義.八導數(shù)1.導數(shù)與導函數(shù)的概念(1)當 x 趨于 x ，即 x 趨于 0 時，如果_，那么這個值就是函數(shù) yf(x)在 x 點的瞬時變化率.在數(shù) 學中，稱瞬時變化率為函數(shù) yf(x)在 x 點的導數(shù)，通常用符號 f(x )表示，記作 f(x ) limx xf(x)f(x) f(xx)f(x) lim .x x x(2)如果一個

23、函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點 x 處都有導數(shù)，導數(shù)值記為 f(x)：f(x) limx0是關于 x 的函數(shù)，稱 f(x)為 f(x)的導函數(shù)，通常也簡稱為導數(shù).7 / 9f(xx)f(x)，則 f(x)00a00000'''3'2.導數(shù)的幾何意義函數(shù) f(x)在點 x 處的導數(shù) f(x )的幾何意義是曲線 yf(x)在點_處的_.相應地，切線方程為_ 3.幾種常見函數(shù)的導數(shù)f(x)c(c 為常數(shù))，f (x)_；f(x)x( 為實數(shù))，f (x)_；f(x)sin x，f (x)_；f(x)cos x，f (x)_；f(x)ax(a>0，a1)

24、，f (x)_；f(x)exf (x)_；f(x)log x(a>0，a1)，f (x)_；f(x)ln x，f (x)_。4.導數(shù)的運算法則若 f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)·g(x)_；f(x)(3) _(g(x)0).g(x)1.f(x )代表函數(shù) f(x)在 xx 處的導數(shù)值；(f(x )是函數(shù)值 f(x )的導數(shù)，而函數(shù)值 f(x )是一個常數(shù)，其導數(shù)一定為 0，即(f(x 0)0.2. 對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的 運算失誤.3. 未知切點的曲線

25、切線問題，一定要先設切點，利用導數(shù)的幾何意義表示切線的斜率建立方程.4. 利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.5. 求曲線切線時，要分清在點 P 處的切線與過 P 點的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.6. 曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別.5. 極值的判別方法：（極值是在 x0附近所有的點，都有 f ( x) f ( x ) 0，則 f ( x ) 0是函數(shù) f ( x)的極大值，極小值同理）當函數(shù) f ( x)在點 x0處連續(xù)時，如果在 x0附近的左側 f ( x) 0，右側 f ( x ) 0，那么 f ( x )0是極大值；如果在 x0附近的左側 f'( x ) 0，右側 f'( x ) 0，那么 f ( x )0是極小值.也就是說 x0是極值點的充分條件是 x0點兩側導數(shù)異號，而不是 f ( x ) =0 . 此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點 . 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點 附近的點不同）.注： 若點 x0是可導函數(shù) f ( x)的極值點，則 f'( x ) =0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數(shù)，其一點 x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函