連續(xù)梁按彈性理論五跨梁內(nèi)力系數(shù)及彎矩分配法

1、附表25：等截面等跨連續(xù)梁在常用荷載作用下按彈性分析的內(nèi)力系數(shù)（五跨梁）。 彎矩分配法（彎矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和剛架及舉例）一、名詞解釋彎矩分配法在數(shù)學(xué)上屬于逐次逼近法，但在力學(xué)上屬于精確法的范疇，主要適用于連續(xù)梁和剛架的計(jì)算。在彎矩分配法中不需要解聯(lián)立方程，而且是直接得出桿端彎矩。由于計(jì)算簡(jiǎn)便，彎矩分配法在建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算中應(yīng)用很廣。（一）線剛度i桿件橫截面的抗彎剛度EI被桿件的長(zhǎng)度去除就是桿件的線剛度i：（a） 當(dāng)遠(yuǎn)端B為固定支座時(shí)，對(duì)于A點(diǎn)處，AB桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；（b） 當(dāng)遠(yuǎn)端B為鉸支座時(shí)，對(duì)于A點(diǎn)處，AB桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；（c） 當(dāng)遠(yuǎn)端B為滑動(dòng)支座時(shí)，對(duì)于A點(diǎn)處，AB桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；（d） 當(dāng)遠(yuǎn)

2、端B為自由端時(shí)，對(duì)于A點(diǎn)處，AB桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。連續(xù)梁和剛架的所有中間支座在計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度時(shí)均視為固定支座。（二）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表示靠近節(jié)點(diǎn)的桿件端部對(duì)該節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的反抗能力。桿端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度以S表示，等于桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角需要施加的力矩，。施力端只能發(fā)生轉(zhuǎn)角，不能發(fā)生線位移。中的第一個(gè)角標(biāo)A是表示A端，第二個(gè)角標(biāo)B是表示桿的遠(yuǎn)端是B端。表示AB桿在A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。（三）分配系數(shù)各桿A端所承擔(dān)的彎矩與各桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度成正比。稱為分配系數(shù)，如表示桿AB在A端的分配系數(shù)。它表示AB桿的A端在節(jié)點(diǎn)諸桿中，承擔(dān)反抗外力矩的百分比，等于桿AB的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與交于A點(diǎn)各桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和的比值?？傊?，加于節(jié)點(diǎn)A的外

3、力矩，按各桿的分配系數(shù)分配于各桿的A端。（四）傳遞系數(shù)C稱為傳遞系數(shù)。傳遞系數(shù)表示當(dāng)近端有轉(zhuǎn)角（即近端產(chǎn)生彎矩）時(shí)，遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。因此一般可由近端彎矩乘以傳遞系數(shù)C得出遠(yuǎn)端彎矩。當(dāng)遠(yuǎn)端為固定的邊支座或?yàn)榉沁呏ё?；?dāng)遠(yuǎn)端為滑動(dòng)邊支座；當(dāng)遠(yuǎn)端為鉸支邊支座。節(jié)點(diǎn)A作用的外力矩M，按各桿的分配系數(shù)分配給各桿的近端；遠(yuǎn)端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。（五）桿端彎矩彎矩分配法解題過(guò)程中所指的桿端彎矩是所有作用于桿端的中間計(jì)算過(guò)程的最后總的效果。計(jì)算桿端彎矩的目的，是因?yàn)闂U端彎矩一旦求出，則每相鄰節(jié)點(diǎn)之間的“單跨梁”將可以作為一根靜定的脫離體取出來(lái)進(jìn)行該桿的內(nèi)力分析。其上作用的荷載有外荷載，每一

4、桿端截面上一般有一個(gè)剪力和一個(gè)彎矩，兩端共有二個(gè)剪力和二個(gè)彎矩。這兩個(gè)彎矩就是兩端的桿端彎矩，既然它們已經(jīng)求出，那么余下的兩個(gè)剪力可由兩個(gè)靜力平衡方程解出。（六）近端彎矩和遠(yuǎn)端彎矩二、彎矩分配法的思路在求桿端彎矩時(shí)，其主要的目標(biāo)是：（1）由于節(jié)點(diǎn)上有兩根或多根桿件匯集，因此需確定每一根桿在維持節(jié)點(diǎn)不轉(zhuǎn)動(dòng)平衡過(guò)程中所作出的貢獻(xiàn)。這需要用到分配系數(shù)以及與分配系數(shù)有關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S、線剛度i、截面剛度EI等值。（2）影響節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩大小及方向。這需要涉及到單跨梁的固端彎矩，它的含義是：將每相鄰節(jié)點(diǎn)之間的桿件視為一根兩端支座為固定支座或一端固定一端鉸支的單跨梁，這樣的梁在各種外荷載作用下的桿端彎矩

5、叫做固端彎矩。兩端鉸支的單跨梁無(wú)固端彎矩，即兩端鉸支的單跨梁的兩鉸支端的固端彎矩為零。只有固定端才有固端彎矩，鉸支端的固端彎矩為零(單跨梁)。固定端不允許轉(zhuǎn)動(dòng)所以產(chǎn)生固端彎矩，而鉸支端允許轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生固端彎矩。三、彎矩分配法的運(yùn)算步驟連續(xù)梁或剛架彎矩分配法運(yùn)算過(guò)程：（1）求各桿件（梁或柱）的線剛度i、桿端（梁端或柱端）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S和分配系數(shù)（對(duì)于剛架，參加分配系數(shù)計(jì)算的不僅有梁，還有柱）。（2）根據(jù)各個(gè)“單跨”梁或柱的荷載情況和支座特征查表求出各“單跨”桿件在桿端的固端彎矩。這里需注意的是固端彎矩是帶符號(hào)的，可以用“左負(fù)右正”四個(gè)字來(lái)幫助記憶。即對(duì)每一“單跨”梁而言，左端的取負(fù)值或零，右端的取正值

6、或零。當(dāng)“單跨”的邊支座為鉸支座時(shí)，它不能抵抗桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以邊支座為鉸支座時(shí)的=0；但對(duì)于所有非邊支座，則一律視為固定端支座。（3）將與同一支座相連接的各桿的固端彎矩取代數(shù)和后反號(hào)按分配系數(shù)分配到與支座相連的各桿桿端。這一步的注意點(diǎn)是將固端彎矩代數(shù)和反號(hào)再分配。（4）將分配得到的彎矩視該節(jié)點(diǎn)各桿遠(yuǎn)端支座特征決定是否向遠(yuǎn)端傳遞。這種分配、傳遞將可能進(jìn)行多次。這種次數(shù)只要進(jìn)行的足夠，從理論上講將可以達(dá)到任意要求的精確度。但是工程實(shí)踐上則只要進(jìn)行23個(gè)循環(huán)即可滿足正式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求。（5）將上面四步運(yùn)算之后的與同一節(jié)點(diǎn)相連的每根桿件桿端的固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩分別求代數(shù)和，即為各桿的桿端彎矩

7、。這一步的注意點(diǎn)是與同一支座相連的各桿的桿端彎矩代數(shù)和必定為零，否則說(shuō)明計(jì)算上有錯(cuò)，或尚需進(jìn)一步分配、傳遞。 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只按靜力平衡條件即可確定，其值與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸無(wú)關(guān)。超靜定結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力如只按靜力平衡條件則無(wú)法確定，還必須同時(shí)考慮變形協(xié)調(diào)條件（即各部分的變形必須符合原結(jié)構(gòu)的聯(lián)接條件和支承條件）才能得出確定的解答，故超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力狀態(tài)與結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)。在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿剛度的相對(duì)比值有關(guān)，而與其絕對(duì)值無(wú)關(guān)；在溫度改變、支座移動(dòng)等因素影響下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力則與各桿剛度的絕對(duì)值有關(guān)，并且一般是與各桿剛度的絕對(duì)值成正比的。 對(duì)非結(jié)構(gòu)專業(yè)來(lái)

8、說(shuō)，特別是對(duì)建筑學(xué)專業(yè)，不可能花大量的精力去從事對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)的矩陣分析，因此彎矩分配法這樣簡(jiǎn)明適用的方法就更有它的實(shí)際意義。一方面，彎矩分配法可以滿足對(duì)一般正式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求；另一方面，可以使建筑師加強(qiáng)對(duì)結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計(jì)。所以其優(yōu)越性是顯而易見(jiàn)的。例8-1 圖示一連續(xù)梁，用彎矩分配法作彎矩圖。解：（1）求分配系數(shù)a. 桿AB和桿BC的線剛度相等。b. 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：c. 分配系數(shù)：d. 校核：+=1，分配系數(shù)寫在節(jié)點(diǎn)B上面的方框內(nèi)。（2）求固端彎矩，把梁看成兩根獨(dú)立的單跨梁。查表：AB跨屬表編號(hào)，而B(niǎo)C跨屬表編號(hào)。將結(jié)果寫在相應(yīng)桿端的下方。在節(jié)點(diǎn)B，BA梁與BC梁在B端的固端彎矩代數(shù)和為（）分配并傳

9、遞，將節(jié)點(diǎn)B的固端彎矩代數(shù)和反號(hào)得被分配的彎矩為kN·m，此彎矩按分配系數(shù)分配于兩桿的B端；并由于A端為固端邊支座，所以由BA桿的B端向A端傳遞去B端彎矩的一半；C端由于是鉸支邊支座，故傳遞系數(shù)為零，即不向C端傳遞。a. 分配彎矩：b. 傳遞力矩：用箭頭表示彎矩傳遞的方向。（4）將以上結(jié)果豎向疊加，即得到最后的桿端彎矩?？闪斜磉M(jìn)行，最下面一行表示最后結(jié)果。注意B節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件：注意A端是固定邊支座，只有一根桿AB，其分配系數(shù)為1，故它雖有固端彎矩，但不存在分配或向B端傳遞的問(wèn)題，可A端卻可以接受從B端傳遞過(guò)來(lái)的彎矩。（5）計(jì)算跨中彎矩a. 將AB梁按簡(jiǎn)支梁畫(huà)出計(jì)算簡(jiǎn)圖，其上的荷載

10、有兩種，一是本來(lái)存在的集中荷載，二是在它兩端按彎矩分配法算出的桿端彎矩，以集中力偶的形式作用于A、B兩桿端處。見(jiàn)圖8-10（a）。b. 將AB梁按兩端簡(jiǎn)支梁情況下，僅作用有集中荷載時(shí)求出在中點(diǎn)的彎矩，見(jiàn)圖8-10（b）。c. 將AB梁按兩端簡(jiǎn)支梁情況下，僅在兩端分別有桿端彎矩作用下求出中點(diǎn)的彎矩，實(shí)際上是一個(gè)幾何梯形的中位線長(zhǎng)度縱坐標(biāo)，見(jiàn)圖8-10（c）。d. 跨中點(diǎn)彎矩的最終結(jié)果為b、c兩步縱坐標(biāo)的代數(shù)和。梁段上的其它任一點(diǎn)的彎矩也可以參照以上方法求出。中點(diǎn)彎矩為（6）在計(jì)算有多個(gè)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)梁或剛架時(shí)，若將兩個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)分配和傳遞，這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)既可相鄰也可是被一個(gè)節(jié)點(diǎn)在當(dāng)中隔開(kāi)的形式。若從不平衡

11、力矩（即節(jié)點(diǎn)四周各桿的桿端彎矩的代數(shù)和）較大的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，可使收斂較快。（7）作彎矩圖a. 用彎矩分配法列表計(jì)算出的都是各桿帶正號(hào)或負(fù)號(hào)的桿端彎矩。正順負(fù)逆（順正逆負(fù)）b. 帶+號(hào)（正號(hào)一般省略不寫）的桿端彎矩使桿端作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)想象桿端往遠(yuǎn)端方向稍遠(yuǎn)一些的橫截面固定不動(dòng)。比如圖8-9中AB桿在B端的桿端彎矩，想象離B端稍往左處的桿截面（圖8-9中的D-D截面）固定不動(dòng)，由于正號(hào)桿端彎矩+11.57kN·m，所以它使B端繞這個(gè)想象中被固定的橫截面作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。顯然這個(gè)+11.57kN·m的桿端彎矩使AB上這小段桿件BD的上部纖維受拉，下部纖維受壓。我們總是把彎矩圖畫(huà)在桿件

12、的受拉纖維一側(cè)。因此AB桿在B端的桿端彎矩11.57kN·m應(yīng)畫(huà)在桿的橫線的上方。c. 帶負(fù)號(hào)的桿端彎矩使桿端作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)也同樣想象離桿端往遠(yuǎn)端方向稍遠(yuǎn)一些的橫截面固定不動(dòng)。比如圖8-9中AB桿在A端的桿端彎矩，想象離A端稍往右處的桿截面（圖8-9中的E-E截面）固定不動(dòng)，由于是負(fù)號(hào)桿端彎矩-16.72kN·m，所以它使A端繞這個(gè)想象中被固定的橫截面作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。顯然這個(gè)-16.72kN·m的桿端彎矩使AB上的這一“小段”桿件AE的上部纖維受拉，下部纖維受壓。根據(jù)彎矩圖總是畫(huà)在桿件的受拉纖維一側(cè)的規(guī)定，因此AB桿在A端的桿端彎矩-16.72kN·m

13、也應(yīng)畫(huà)在代表?xiàng)U的橫線的上方。d. 至于每一單跨上的跨中彎矩，只需憑彎矩圖總是畫(huà)在受拉纖維一側(cè)這個(gè)規(guī)定和跨中彎矩的計(jì)算過(guò)程就可以正確的決定它是畫(huà)在代表?xiàng)U的橫線上方還是下方。（8）計(jì)算剪力a. 按每一單跨桿件分別取脫離體求剪力。把每一單跨梁看成簡(jiǎn)支梁，它的荷載有三種：第一種是原來(lái)就作用在單跨上的荷載。第二種是用彎矩分配法算出來(lái)的桿端彎矩。第三種是簡(jiǎn)支梁的兩端兩個(gè)支座反力，它們是未知的，由于脫離體可列出兩個(gè)靜力平衡方程，而支座反力也恰好為兩個(gè)，故可順利求出。而這兩個(gè)支座反力，就是我們要求的剪力。桿端剪力在這里起了“支座反力”的作用。因此將“支座反力”用箭頭表示，方向和大小假定，先不考慮它的真實(shí)指向和

14、大小。b. 按簡(jiǎn)支梁求支座反力的方法列出平衡方程可求出箭頭所示力的大小和正負(fù)號(hào)。剪力大小即等于支座反力，從解方程直接得出，剪力的方向視箭頭所示力的正負(fù)號(hào)而定。如果是正號(hào)，說(shuō)明箭頭指向就是真正的指向；如果是負(fù)號(hào)，說(shuō)明與原假定的指向相反。畫(huà)出剪力圖。例8-2 試計(jì)算圖8-11連續(xù)梁的桿端彎矩和跨中彎矩。并作彎矩圖。解：（1）求固端彎矩：（2）求分配系數(shù)：a. 對(duì)節(jié)點(diǎn)B，相鄰兩桿BA、BC的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度所以b. 同理，對(duì)節(jié)點(diǎn)C有：（3）分配結(jié)果見(jiàn)圖8-11。（4）求跨中彎矩a. 對(duì)AB跨：b. 對(duì)BC跨：c. 對(duì)CD跨見(jiàn)圖8-12。在集中力作用下，CD跨的最大跨間彎矩發(fā)生在集中力P=160kN作用點(diǎn)。（

15、a）在集中力作用下，該點(diǎn)的簡(jiǎn)支梁彎矩（圖8-12b）（b）在桿端彎矩作用下，該點(diǎn)的負(fù)彎矩為（圖8-12c）(c) 該點(diǎn)的彎矩為和的代數(shù)和。（5）作出連續(xù)梁的彎矩圖。例8-4 試用彎矩分配法計(jì)算圖8-14（a）所示等截面連續(xù)梁（帶懸臂梁）的各桿端彎矩。并作彎矩圖。已知各桿EI值為：AB為6，BC為4，CD為4，DE為6 。解：此梁的懸臂EF為一靜定部分，該部分的內(nèi)力根據(jù)靜力平衡條件便可求得：。若將該懸臂部分去掉，而將作為外力作用于節(jié)點(diǎn)E，圖8-14（b）,節(jié)點(diǎn)E便化為鉸支端，整個(gè)計(jì)算即可按此考慮。計(jì)算分配系數(shù)時(shí)，其中計(jì)算固端彎矩時(shí)，對(duì)桿DE，將相當(dāng)于一端固定另一端鉸支的單跨梁，除跨中受集中力作用

16、外，并在鉸支端E處受一集中力和一集中力偶的作用。其中作用在E端的集中力為支座直接承受，在梁內(nèi)不引起彎矩，而E端的力偶40kN·m將使桿DE引起固端彎矩，其值為DE跨在D端的固端彎矩（編號(hào)1）與EF跨在E端的固端彎矩向遠(yuǎn)端D的傳遞彎矩之代數(shù)和，即其余固端彎矩均可查表求得。分配及彎矩圖見(jiàn)8-14。例8-5 求圖8-15所示剛架的彎矩圖。解：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：（2）分配系數(shù)：節(jié)點(diǎn)B：節(jié)點(diǎn)C：（3）固端彎矩：由于只有梁有外荷載，故也只有梁才有固端彎矩，它們?yōu)椋?）力矩分配：按C、B順序分配兩輪，計(jì)算見(jiàn)圖8-16（a）,放松節(jié)點(diǎn)的次序可以任取，并不影響最后的結(jié)果。但為了縮短計(jì)算過(guò)程，最好先放松不平衡力矩較大的節(jié)點(diǎn)，在本例中，先放松節(jié)點(diǎn)C較好。（5）作彎矩圖。圖8-16（b）。討論：（1）當(dāng)剛架豎柱比橫梁的線剛度大很多時(shí)，即，則接近于1（如，誤差在5%以內(nèi)）。桿端（柱端）彎矩接近于固端彎矩。此時(shí)，豎柱對(duì)橫梁而言，起固定支座的作用。也就是說(shuō)，在這種情況下，每相鄰兩個(gè)