線性代數(shù)：第四章 向量空間

1、第四章 向量空間向量空間向量空間向量空間的例子子空間子空間 描述子空間的一種方法（回顧chap2.8）無限 有限1231534153415341413 0121 012127003680005-5=0Span , =5hhhhyv v vh時，方程有解，故 在中當(dāng)且僅當(dāng)。此法構(gòu)造的子空間的特例 矩陣的列空間另一種產(chǎn)生子空間的方式 齊次線性方程組的解集 零空間是子空間 m個方程，n個未知數(shù)的非齊次線性方程組的全體解的集合構(gòu)成Rn一個子空間零向量不是非齊次線性方程組的解So, Nul A = Spanu,v,w2436117A122312458412324524545213100022010001

2、xxxxxxx ux vx wxx 12231 24584006121212231 001220000012013 0012200000 零空間的顯式刻畫零空間與列空間的對比零空間與列空間的對比線性變換的核與值域線性變換的核Kernel與值域53 det A=500FFTFFTFT小結(jié) 熟悉向量空間、子空間的定義 熟悉子空間的兩種產(chǎn)生方式：齊次線性方程組的解集，某些確定向量的線性組合的集合 理解零空間、列空間的定義及性質(zhì) 作業(yè) 4.1: 1,11，23,25,31 4.2: 3,7，17,21,25第四章 向量空間線性無關(guān)集線性無關(guān)集 證明類似chap1.6，Th7 EXAMPLE 1 Let

3、 p1(t)=1, p2(t)=t, and p3(t)=4-t. Then p1, p2, p3 is linearly dependent because p3=4p1-p2.37基 一種判定基的方法detA0基的求法102102,Span,013013SH ，123102,013hH let hccc +1231010then(23)0101hccc +132310(2 )3 )01cccc +(10Span01H ，生成集定理ColA和NulA的基44 Bases for Col A123451402000110 ,0000100000Bb b b b b135Col ,BSpan b

4、 b b4512345140211402031215500110 ,281320000152028800000Aa a a a a135Col ,ASpan a a aNot b1,b3,b5 !So, Nul A = Spanu,v,wu,v,w is a basis of Nul A.4636117A122312458412324524545213100022010001xxxxxxx ux vx wxx 12231 24584006121212231 001220000012013 0012200000求NulA的基關(guān)于基的兩點觀察第四章 向量空間坐標(biāo)系（chap2.9）坐標(biāo)系坐標(biāo)的幾何

5、意義 中的坐標(biāo)n 中B-坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換映上的一一的線性變換nV到 的坐標(biāo)映射n坐標(biāo)映射坐標(biāo)映射小結(jié) 理解基的定義以及列空間和零空間基的求法 理解坐標(biāo)向量的定義及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換 理解同構(gòu)映射的定義及性質(zhì) 作業(yè) 4.3： 13, 15, 29, 30及證明下列定理 4.4: 13，21，32 13周考試第四章 向量空間向量空間的維數(shù)坐標(biāo)向量-向量向量空間的維數(shù)向量空間的維數(shù)有限維空間的子空間基定理 求一個基的方法： 線性無關(guān)性 生成性Nul A和Col A的維數(shù)第四章 向量空間行空間 由向量空間概念的幫助，觀察矩陣內(nèi)部，揭示行、列之間的關(guān)系行空間行空間注意rowA(3)=2 rowA(1)

6、 +7 rowA(2)A的列空間的維數(shù)是B中主元列的個數(shù)，同時，B對每個主元有一個非零行，這些行對A的行空間而言構(gòu)成一個基，因此，A的行空間和列空間的維數(shù)相同。秩定理秩定理的應(yīng)用秩和可逆矩陣定理第四章 向量空間基的變換基的變換基的變換坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣小結(jié) 理解維數(shù)的定義 理解基定理、零空間和列空間的維數(shù)定理 理解秩的定義及可逆矩陣定理 理解零空間、列空間和行空間的秩 掌握坐標(biāo)變換矩陣的求法 作業(yè) 習(xí)題4.5: 13，19，20，21 習(xí)題4.6: 3,12,27,28,29 習(xí)題4.7: 6 Vector spaces 向量空間 Subspaces 子空間 Null Space 零空間 Column Space 列空間 Coordinate systems 坐標(biāo)系 The dimension of a vector space維數(shù) Rank 秩 Pn