線性代數(shù)：第四章 向量空間

1、第四章 向量空間向量空間向量空間向量空間的例子子空間子空間 描述子空間的一種方法（回顧chap2.8）無(wú)限 有限1231534153415341413 0121 012127003680005-5=0Span , =5hhhhyv v vh時(shí)，方程有解，故 在中當(dāng)且僅當(dāng)。此法構(gòu)造的子空間的特例 矩陣的列空間另一種產(chǎn)生子空間的方式 齊次線性方程組的解集 零空間是子空間 m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組的全體解的集合構(gòu)成Rn一個(gè)子空間零向量不是非齊次線性方程組的解So, Nul A = Spanu,v,w2436117A122312458412324524545213100022010001

2、xxxxxxx ux vx wxx 12231 24584006121212231 001220000012013 0012200000 零空間的顯式刻畫(huà)零空間與列空間的對(duì)比零空間與列空間的對(duì)比線性變換的核與值域線性變換的核Kernel與值域53 det A=500FFTFFTFT小結(jié) 熟悉向量空間、子空間的定義 熟悉子空間的兩種產(chǎn)生方式：齊次線性方程組的解集，某些確定向量的線性組合的集合 理解零空間、列空間的定義及性質(zhì) 作業(yè) 4.1: 1,11，23,25,31 4.2: 3,7，17,21,25第四章 向量空間線性無(wú)關(guān)集線性無(wú)關(guān)集 證明類似chap1.6，Th7 EXAMPLE 1 Let

3、 p1(t)=1, p2(t)=t, and p3(t)=4-t. Then p1, p2, p3 is linearly dependent because p3=4p1-p2.37基 一種判定基的方法detA0基的求法102102,Span,013013SH ，123102,013hH let hccc +1231010then(23)0101hccc +132310(2 )3 )01cccc +(10Span01H ，生成集定理ColA和NulA的基44 Bases for Col A123451402000110 ,0000100000Bb b b b b135Col ,BSpan b

4、 b b4512345140211402031215500110 ,281320000152028800000Aa a a a a135Col ,ASpan a a aNot b1,b3,b5 !So, Nul A = Spanu,v,wu,v,w is a basis of Nul A.4636117A122312458412324524545213100022010001xxxxxxx ux vx wxx 12231 24584006121212231 001220000012013 0012200000求NulA的基關(guān)于基的兩點(diǎn)觀察第四章 向量空間坐標(biāo)系（chap2.9）坐標(biāo)系坐標(biāo)的幾何

5、意義 中的坐標(biāo)n 中B-坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換映上的一一的線性變換nV到 的坐標(biāo)映射n坐標(biāo)映射坐標(biāo)映射小結(jié) 理解基的定義以及列空間和零空間基的求法 理解坐標(biāo)向量的定義及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換 理解同構(gòu)映射的定義及性質(zhì) 作業(yè) 4.3： 13, 15, 29, 30及證明下列定理 4.4: 13，21，32 13周考試第四章 向量空間向量空間的維數(shù)坐標(biāo)向量-向量向量空間的維數(shù)向量空間的維數(shù)有限維空間的子空間基定理 求一個(gè)基的方法： 線性無(wú)關(guān)性 生成性Nul A和Col A的維數(shù)第四章 向量空間行空間 由向量空間概念的幫助，觀察矩陣內(nèi)部，揭示行、列之間的關(guān)系行空間行空間注意rowA(3)=2 rowA(1)

6、 +7 rowA(2)A的列空間的維數(shù)是B中主元列的個(gè)數(shù)，同時(shí)，B對(duì)每個(gè)主元有一個(gè)非零行，這些行對(duì)A的行空間而言構(gòu)成一個(gè)基，因此，A的行空間和列空間的維數(shù)相同。秩定理秩定理的應(yīng)用秩和可逆矩陣定理第四章 向量空間基的變換基的變換基的變換坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣小結(jié) 理解維數(shù)的定義 理解基定理、零空間和列空間的維數(shù)定理 理解秩的定義及可逆矩陣定理 理解零空間、列空間和行空間的秩 掌握坐標(biāo)變換矩陣的求法 作業(yè) 習(xí)題4.5: 13，19，20，21 習(xí)題4.6: 3,12,27,28,29 習(xí)題4.7: 6 Vector spaces 向量空間 Subspaces 子空間 Null Space 零空間 Column Space 列空間 Coordinate systems 坐標(biāo)系 The dimension of a vector space維數(shù) Rank 秩 Pn