拋物線動弦中點到y(tǒng)軸最短距離的推導(dǎo)計算

1、拋物線 y2 =2px(p>0) 的動弦 AB長為 a, 求動弦 AB的中點 M到 y 軸的最短距離。解：設(shè)直線 AB的方程為 x=ky+b, 與 y2 =2px 聯(lián)立，得：y2 =2p(ky+b)y2 -2pky-2pb=0y1+y2=2pky1*y2=-2pb則(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=4p 2 k2 +8pb(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b) 2 =(ky1-ky2) 2 =k2 (y1-y2) 2 |AB|= (x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 = (k 2 +1)(y1-y2) 2 =(k 2 +1)(4p 2 k2 +8p

2、b)=a (k 2 +1)(4p 2 k2 +8pb)=a (k 2 +1)(4p 2 k2 +8pb)=a2 b=-pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=pk 2 +b點 M的橫坐標(biāo)為： pk2 +b即 M到 y 軸的距離為： pk2 +b而 pk2 +b=pk2 -pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=p （k2 +1）/2+a 2 /8p （k2 +1）-p/2（ a-p ）/2這里， (k 2 +1)=a/2p 能成立時，取得等號。而由于 (

3、k 2 +1)1，只有 a/2p 1，即 a2p 時，可取得等號，即(k 2 +1)=a/2p 能成立。此時，動弦 AB的中點 M到 y 軸的最短距離為（ a-p ）/2 。此時，將解出的 k、b 代入所設(shè)直線 AB的方程為 x=ky+b 可知：弦 AB過拋物線的焦點！當(dāng) a/2p<1 ，即 a<2p 時，不能取得等號。此時， k=0時， M到 y 軸的距離取得最小值 pk2 +b=b=-pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=a 2 /8p此時，將 k=0和解出的 b 代入所設(shè)直線 AB的方程為 x=ky+b 可知：弦 AB平行于 y 軸！已知拋物線 y2=2px(p&g

4、t;0) 的動弦 AB長為 a（a>=2p), 求證動弦 AB的中點 M到y(tǒng) 軸的最短距離是 (a-p)/2。證明：如圖，設(shè)焦點 F 為（ P/2 ，0）作 MN，AP,BQ垂直于準(zhǔn)線 X P/2 ，則有：ABAG+BG=AP+BQ=2MN得 MLa/2 ，a>=2p 時,ML1/2a 能取得等號 ,即 AB過焦點， MN取得最小值。而動弦 AB的中點 M到 y 軸的最短距離=MN取得最小值 -P/2=a/2-P/2=(a-p)/2例1 拋物線 y2 =8x 的動弦 AB的長為 6, 求弦 AB的中點 M到 y 軸的最短距離。解一：當(dāng)|AB|<=2p 時,AB 平行于 y 軸

5、,AB 的中點到 y 軸的距離取得最小值設(shè) A(x1,y1) 、B(x2,y2)AB平行于 y 軸,|y1| = |y2| = 3,且有 :y12=8x1y22=8x2（ x1+x2)/2 = （y12 +y2 2 ）/16 =18/16=9/8即 AB中點 M到 y 軸的最小距離 9/8解二：設(shè)直線 AB的方程為： x=ky+b, 則有：y2 =8(ky+b)y2 -8ky-8b=0y1+y2=8ky1*y2=-8b則(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=64k 2 +32b(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b)2 =(ky1-ky2) 2 =k2(y1-y2

6、) 2|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (k 2 +1)(y1-y2) 2=(k 2 +1)(64k2+32b)=4(k 2 +1)(4k 2 +2b)=6 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=3/2 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=9/42k2 (k 2 +1)+b(k 2 +1)=9/8 b(k 2 +1)=9/8-2k 2 (k 2 +1)b=9/8-2k 2 (k 2 +1)/(k2 +1)=9/8(k 2 +1)-2k 2而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k 2 +b點 M的橫坐標(biāo)為： 4k2 +b即 M到 y

7、軸的距離為： 4k2 +b而4k2 +b=4k2 +9/8(k 2 +1)-2k 2 =2k2 +9/8(k 2 +1)=2(k 2 +1)+9/8(k 2 +1)-2 22(k 2 +1) ×9/8(k 2 +1)-2=1 這里， (k 2 +1)=3/4 時， 2(k 2 +1)=9/8(k 2 +1) 才能取得等號。而(k 2 +1)1即 k=0時， M到 y 軸的距離取得最小值 9/8例2 拋物線 y2 =8x 的動弦 AB的長為 16, 求弦 AB的中點 M到 y 軸的最短距離。解一：設(shè) A（x1,y1 ）、B(x2,y2)弦 AB的中點 M到 y 軸的距離最短 , 則弦

8、AB過焦點 y2 =8x焦點（ 2，0）準(zhǔn)線 x=-2AB的長為 16則 x1+2+x2+2=16 x1+x2=12中點 M到 Y 軸的距離 =(x1+x2)/2=6解二：設(shè)直線 AB的方程為 x=ky+b和拋物線 y2 =8x 聯(lián)立，得：y2 =8(ky+b)y2 -8ky-8b=0y1+y2=8ky1y2=-8b則(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=64k 2 +32b(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b) 2 =(ky1-ky2) 2 =k2 (y1-y2) 2 弦 AB的長為： (x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 =(k 2 +1)(y1-y2)

9、 2 =(k 2 +1)(64k 2 +32b) =4(k 2 +1)(4k 2 +2b) =16 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=4 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=16 2k2 (k 2 +1)+b(k 2 +1)=8 b(k 2 +1)=8-2k 2 (k 2 +1)b=8-2k 2 (k 2 +1)/(k2 +1)=8/(k 2 +1)-2k 2而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k 2 +b點 M的橫坐標(biāo)為： 4k2 +b即 M到 y 軸的距離為： 4k2 +b而4k2 +b=4k2 +8/(k 2 +1)-2k 2=2k2 +8/(k 2 +1)=2