雙曲線題型歸納含答案

1、三、典型例題選講（一）考查雙曲線的概念例 1設(shè) P 是雙曲線 x 2y 21上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2 y0，、a 29F1F2分別是雙曲線的左、右焦點若|PF1 | 3，則 |PF2 | （）A1或5B 6C 7D 9分析： 根據(jù)標準方程寫出漸近線方程，兩個方程對比求出a 的值，利用雙曲線的定義求出| PF2 |的值解：雙曲線 x2y21漸近線方程為 y=3 x ，由已知漸近線為 3x2 y0 ，a29aa2, |PF1 | |PF2 | 4， |PF2 |4 |PF1 |.|PF1| 3,|PF2 | 0， |PF2 | 7.故選 C歸納小結(jié) ：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸

2、近線方程的表示法（二）基本量求解例 2(2009 山東理 ) 設(shè)雙曲線 x 2y 21 的一條漸近線與拋物線yx21 只有一個公共a 2b 2點，則雙曲線的離心率為（）5B 5C5D 5A 2422b x ，由方程組ybx ，消去 y，得解析： 雙曲線 x2y21 的一條漸近線為yaabayx21x2 b x 10 有唯一解，所以 = ( b )240 ，aa所以 b2 ， eca2b21( b )25 ，故選 Daaaa歸納小結(jié) ：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，只有一個公共點， 則解方程組有唯一解本題較好地考查了基本概念、基本方法和基本技能例 3（

3、 2009 全國理） 設(shè)雙曲線x2y22a2b21（ a 0，b 0）的漸近線與拋物線 y=x +1 相切，則該雙曲線的離心率等于( )A.3B.2C.5D.6解析： 設(shè)切點 P( x0 , y0 ) ，則切線的斜率為y'|xx02x0由題意有y02x0 又有x0y0 x02 1 ，聯(lián)立兩式解得 :x021, b2, e1( b )25 aa因此選 C例4（2009江西）設(shè) F1和 F2為雙曲線x2y21( a0, b0 )的兩個焦點，若F1，F(xiàn)2 ，a22bP(0,2 b) 是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（）3B 25D 3A C22解析： 由 tanc3有 3c24b24

4、(c2a2 ) ，則 ec2 ，故選 B62b3a歸納小結(jié) ：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出 tanc32b，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)63合思想的應(yīng)用（三）求曲線的方程例 5（ 2009，北京） 已知雙曲線 C : x2y21(a 0,b 0) 的離心率為3 ，右準線方程a2b2為 x33（ 1）求雙曲線 C 的方程；（ 2）已知直線 x y m 0 與雙曲線 C 交于不同的兩點 A， B，且線段 AB 的中點在圓x 2 y2 5 上，求 m 的值分析：（ 1）由已知條件列出a,b, c 的關(guān)系，求出雙曲線C 的方程；（ 2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點坐標公式及點在圓上求出m 的值a23解

5、：（ 1）由題意，得c3，解得 a1, c3.c3a b2c2a22 ，所求雙曲線C 的方程為 x2y212（ 2）設(shè) A、B 兩點的坐標分別為x1, y1,x2 , y2，線段 AB 的中點為 Mx0 , y0，由 x2y21 得 x2m2022mx20 （判別式），xym0 x0x1x2m, y0x0m 2m ，2點 M x , y 在圓 x2y25 上，00 m225 ， m12m另解： 設(shè) A、B 兩點的坐標分別為x1 , y1,x2, y2，線段 AB 的中點為 M x0 , y0，x2y121121由，兩式相減得 ( x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )0

6、.22x22y212由直線的斜率為1， x0x1x2 , y0y1y2 代入上式，得y02x0 .22又 M ( y0 , x0 ) 在圓上，得 y02x025，又 M ( y0 , x0 ) 在直線上，可求得m 的值 .歸納小結(jié) ：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力例 6過 M (1,1)的直線交雙曲線x2y21 于 A, B 兩點，若 M 為弦 AB 的中點，求直線42AB 的方程分析： 求過定點 M 的直線方程，只需要求出它的斜率為此可設(shè)其斜率是k ，利用 M 為弦AB 的中點， 即可求得 k 的值，由此

7、寫出直線AB 的方程 也可設(shè)出弦的兩端點坐標用 “點差法”求解解法一： 顯然直線 AB 不垂直于 x 軸，設(shè)其斜率是 k ，則方程為 y 1 k (x1) x2y21 消去 y 得 (1 2k2 ) x24k(1 k )x 2k 2由424k 6 0y1k( x1)設(shè) A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由于 M 為弦 AB 的中點，所以 x1x22k (1 k )1，所以 k1212k22顯然，當 k1時方程的判別式大于零 .21 ( x所以直線 AB 的方程為 y11) ，即 x 2 y 1 0 2解法二： 設(shè) A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，則x2y

8、211142x22y22142得 ( x1x2 )( x1x2 )2( y1y2 )( y1y2 ) 0 .又因為 x1x22, y1y22 ，所以 x1x22( y1y2 ) 若 xx, 則 yy，由 x x 2, y y22 得 xx 1， y y211212121121則點 A、 B 都不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，所以x1x2 所以 ky1y21 x1x22所以直線 AB 的方程為 y11 ( x1) ，即 x2 y10 2經(jīng)檢驗直線 x2y 1 0符合題意，故所求直線為x2 y 10 解法三： 設(shè) A（ x， y ），由于 A、 B 關(guān)于點 M（ 1，1）對稱，所以 B 的坐標為 （ 2

9、x，2y ），x2y21,42消去平方項，得 x 2 y1 0 則2(2y)2(2-x)421.即點A 的坐標滿足方程，同理點B 的坐標也滿足方程故直線AB 的方程為x2y10 歸納總結(jié)： 由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點為中點的弦不一定存在，所以在求雙曲線（拋物線）中點弦方程時，必須判斷滿足條件的直線是否存在（四）軌跡問題例 7已知點 P1( x0x2y21（ b 為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)2 為雙曲線的右, y0 ) 為雙曲線b28b2焦點，過 P 作右準線的垂線， 垂足為 A ，連接 F A 并延長交 y 軸于 P 求線段 P P 的中點 P 的12212軌跡 E 的方程分析：

10、 求軌跡問題有多種方法，如相關(guān)點法等，本題注意到點P 是線段 P1P2 的中點，可利用相關(guān)點法解： 由已知得 F2 (3b,0),A( 8 b, y0 ) ，則直線 F A 的方程為： y3 y0 ( x3b) 32b令 x0得 y9 y0 ，即 P2 (0,9 y0 ) x0x2設(shè) P（ x， y），則，y0 9 y05 y0y2即x02x 代入 x02y021得： 4x2y21 ，y0y8b2b28b225b25即 P 的軌跡 E 的方程為x2y21 (xR )2b225b2歸納小結(jié) ：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法（五）突出幾何性質(zhì)的考查例 8（ 2006 江西） P 是雙曲

11、線 x2y21 的右支上一點， M ，N 分別是圓 ( x5)2y24916和 ( x 5)2y21上的點，則 | PM| | PN |的最大值為（）A.6B.7C.8D .9解析： 雙曲線的兩個焦點F1( 5,0) 與 F2 (5,0) 恰好是兩圓的圓心，欲使 | PM| |PN |的值最大，當且僅當| PM |最大且| PN |最小，由平面幾何性質(zhì)知，點M 在線段 PF1 的延長線上，點 N 是線段 PF2 與圓的交點時所求的值最大.此時|PM | |PN| (PF2) (PF 1)PFPF239 因此選 D121例 （2009重慶）已知以原點O 為中心的雙曲線的一條準線方程為x59，離心

12、率 e 5 5（ 1）求該雙曲線的方程；（ 2）如圖，點 A 的坐標為 ( 5,0)， B 是圓 x2( y5) 21 上的點，點 M 在雙曲線右支上，求 MAMB 的最小值，并求此時M 點的坐標 .分析：（ 1）比較基礎(chǔ)，利用所給條件可求得雙曲線的方程；（ 2）利用雙曲線的定義將MA 、MB轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解解 ：（ 1 ） 由 題 意 可 知 ， 雙 曲 線 的 焦 點 在 x 軸 上 ， 故 可 設(shè) 雙 曲 線 的 方 程 為x2y21 ( a0, b 0) ，設(shè) ca2b2，由準線方程為x5得 a25，a2b25c5由 e5 得 c5 a解得 a1, c5 . 從而 b2 ，該雙曲線的方程為 x2y21.4（ 2）設(shè)點 D 的坐標為 (5,0) ，則點 A、D 為雙曲線的焦點，則|MA| |MD |2a2 .所以|MA| |MB | 2 |MB| |MD |2 |BD|因為 B 是圓 x2( y5) 21 上的點，其圓心為 C(0,5) ，半徑為1，故|BD|CD| 110